5.5 一元一次方程的应用 学案 2024—2025学年浙教版七年级数学上册

第五章 一元一次方程 5.5 一元一次方程的应用学习目标 学习目标： 1.学生能够熟练运用一元一次方程解决调配问题，理解调配中数量关系的变化； 2.掌握行程问题中速度、时间、路程的关系，能用方程准确求解相关问题； 3.培养学生分析实际问题、建立方程模型的能力，提高逻辑思维和解决问题的能力。 核心素养目标： 1. 建模能力：引导学生将调配与行程情境转化为方程模型，培养数学建模思维。 2. 逻辑推理：在解题过程中，依据条件推理方程关系，锻炼逻辑分析能力。 3. 实际应用：通过解决实际问题，提高运用方程知识解决生活中调配与行程问题的能力。 学习重点：掌握调配与行程问题中的数量关系，列出方程。 学习难点：理清复杂情境中的等量关系，准确求解。 预习自测 一、知识链接 1.劳力调配问题要搞清人数的变化，常见题型有 (1)既有调入又有________； (2)只有调入没有调出，________变化，其余不变； (3)只有调出没有调入，________变化，其余不变。 2.行程问题是反映物体________________的应用题，涉及的变化较多，一个、两个或多个物体的运动，可分为“________”（相遇问题）、“________”（追及问题）和“________”（相离问题）三种情况。可以归纳为：速度×时间=________。 3.直线形相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=________________。 4.直线形追及问题:快者走的路程=慢者走的路程+________________;快者所走的路程=慢者先走的路程+________________。 5.环形相遇问题:同起点、同时间、背向出发,首次相遇时,相等关系是二者合走了________圈；从出发到相遇所用时间为________________；第n次相遇时,二者合走了________圈。 6.环形追及问题:同起点、同时间、同向出发,首次相遇时,相等关系:是快者比慢者多走_______圈，追及所用时间为________________；第n次相遇时，快者比慢者多走_______圈。 二、自学自测 1.甲、乙之间的水路是234千米，一只船从甲港到乙港需9小时，从乙港返回甲港需13小时，问船速和水速各为每小时多少千米？ 2.汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？ 课堂探究 一、创设情境、导入新课 一项任务，甲车间单独做需要12天完成，乙车间单独做需要15天完成。两车间合作4天后，由乙车间单独完成。思考：乙车间单独做了几天？ 二、合作交流、新知探究 探究一：引入概念 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌?(一张方桌有1个桌面，4条桌腿) 思考：调配问题应如何作解？ 劳力调配问题的关键： 劳力调配问题要搞清人数的变化，常见题型有 (1)既有调入又有调出； (2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； (3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 行程问题的关键： 行程问题是反映物体匀速运动的应用题，涉及的变化较多，一个、两个或多个物体的运动，可分为“相向运动”（相遇问题）、“同向运动”（追及问题）和“相背运动”（相离问题）三种情况。可以归纳为：速度×时间=路程。 行程问题： 相等关系:路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度； (1)直线形相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=两地之间的距离； (2)直线形追及问题:快者走的路程=慢者走的路程+两人初始距离差;快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。 (3)环形相遇问题:同起点、同时间、背向出发,首次相遇时,相等关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间为；第n次相遇时,二者合走了n圈。 (4)环形追及问题:同起点、同时间、同向出发,首次相遇时,相等关系:是快者比慢者多走1圈，追及所用时间为；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 其他行程问题中的相等关系。 (1)航行问题:顺水速度=静水速度水速;逆水速度=静水速度-水速。 (2)火车过桥问题: ①从车头刚上桥到车尾离开桥:过桥速度×过桥时间:桥长+车长; ②火车过桥全路程-桥长=车长。 探究二：例题讲解 教材第149页 ▶例5 A，B两地相距260千米，甲、乙两车分别从A，B两地出发，相向而行，甲车先出发1小时，乙车出发2小时后与甲车相遇。已知甲车每小时比乙车少行5千米，问：甲、乙两车的速度分别是多少？ ▶例6 学校组织植树活动，已知在甲地植树的有23人，在乙地植树的有17人。现调20人去支援，使在甲地植树的人数是乙地植树人数的2倍. 问：应调往甲、乙两地各多少人？ 想一想：如果设调往乙地的人数为x，方程应怎么列？ 课堂练习 【例1】某校组织七年级(1)班学生分成甲、乙两队参加社会劳动实践,其中甲队人数是乙队人数的2倍,后因劳动需要,从甲队抽调16人支援乙队,这时甲队人数是乙队人数的一半,则甲队原来有_______人。 【例2】某年亚运会组委会组织高校学生去做志愿者,已知去乒乓球赛场的有10人,去羽毛球赛场的有16人,现调10人去支援,使在羽毛球赛场的人数是在乒乓球赛场人数的2倍,设应调往乒乓球赛场x人,则可列方程为（ ） A.10+x=2(16+10-x) B.2(10+x)=16+10-x C.10+10-x=2(16+x) D.2(10+10-x)=16+x 【例3】某城举行自行车环城赛最快的人在开始45min后遇到最慢的人,已知最慢的人的速度是xkm/h,是最快的人的速度的,环城一周是6km,由此可知最慢的人的速度是（ ） A.20km/h B.25km/h C.28km/h D.15km/h 【例4】一队学生去校外参加劳动,以4km/h的速度步行前往,走了半小时,学校有紧急通知要传给队长,通讯员以14km/h的速度按原路追上去,则通讯员追上学生队伍所需的时间是（ ） A.10min B.11min C.12min D.13min 【选做】5.甲、乙两人在环形跑道上练习跑步,已知环形跑道一圈长400米,乙每秒跑6米,甲的速度是乙速度的倍。 (1)如果甲、乙两人在跑道上相距50米处同时反向出发,那么经过多少秒两人第二次相遇？ (2)如果甲在乙的前50米处,两人同时同向出发,那么经过多少秒两人首次相遇？第二次相遇呢？ 【选做】6.劳动课上杨老师带领七(1)班50名学生制作圆柱形小鼓,其中男生人数比女生人数少6人,并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面。 (1)男生有_______人，女生有_______人。 (2)①老师组织全班学生制作小鼓,要求一个鼓身配两个鼓面,为了使每小时制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套,应该分配多少名学生制作鼓身?多少名学生剪鼓面? ②若想每小时制作90个小鼓,且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套,应再加人多少名学生? 课堂总结 知识点1 劳力调配问题： 劳力调配问题要搞清人数的变化，常见题型有： (1)既有调入又有调出； (2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变； (3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变。 知识点2 行程问题： 相等关系:路程=速度×时间；速度=路程÷时间；时间=路程÷速度； (1)直线形相遇问题:甲走的路程+乙走的路程=两地之间的距离； (2)直线形追及问题:快者走的路程=慢者走的路程+两人初始距离差;快者所走的路程=慢者先走的路程+慢者后走的路程。 (3)环形相遇问题:同起点、同时间、背向出发,首次相遇时,相等关系是二者合走了1圈；从出发到相遇所用时间为；第n次相遇时,二者合走了n圈。 (4)环形追及问题:同起点、同时间、同向出发,首次相遇时,相等关系:是快者比慢者多走1圈，追及所用时间为；第n次相遇时，快者比慢者多走n圈。 作业布置 必做题： 1.某车间为提高生产总量在原有16名工人的基础上,新调入若干名工人,使得调整后车间的总人数比调入工人人数的3倍多4人。 (1)求调人多少名工人; (2)每名工人每天可以生产1200个螺桂或2000个螺母,1个螺柱需要2个螺母,为使天生产的螺柱和螺母刚好配套,应该安排生产螺柱和螺母的工人各多少名? 2.某桥长1200m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过,测得火车从上桥到完全过桥共用50s,而整个火车在桥上的时间是30s,则火车的速度为_______。 3.一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港,然后调头逆流向上到达中游的乙港,共用了12小时.已知这艘轮船的顺流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每小时2千米,从甲港到乙港相距18千米,则甲丙两港间的距离为_______千米。 4.正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙,开始时甲在A处,乙在C处,它们沿着正方形轨道按顺时针方向同时出发,甲的速度为每秒1cm,乙的速度为每秒5cm,已知正方形轨道ABCD的边长为2cm,则乙在第2023次追上甲时的位置在（ ） A.AB上 B.BC上 C.CD上 D.AD上 选做题： 5.某人乘船由A地顺流而下到B地,然后又逆流而上到C地,共乘船6h,已知船在静水中的速度是16km/h,水流速度是4km/h,若A,C两地的距离为4km,则A,B两地间的距离是_______km. 6.上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他。然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明、再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？ 【拓展题】某条城际铁路线共A.B,C三个车站,每日上午均有两班次列车加A站驶往C站,其中D1001次列车从A站发,经停B站后到达C站,G1002次列车从A站始发,直达C站,两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变,某校数学学习小绍对列车运行情况进行研究,收集到列车运行信息如下表所示。 请根据表格中的信息,解答下列问题: (1)D1001次列车从A站到B站行驶了_______分钟,从B站到C站行驶了_______分钟; (2)记D1001次列车的行驶速度为,离A站的路程为； G1002次列车的行驶速度为,离A站的路程为. ①=_______； ②从上午8:00开始计时,时长记为t分钟(如:上午9:15,则t=75),已知=240千米/小时(可换算为4千米/分钟),在G1002次列车的行驶过程中(25≤t≤150),若∣-∣=60,求t的值. 参考答案 【预习自测】 1.【解析】从甲到乙顺水速度：234÷9=26(千米/小时)。 从乙到甲逆水速度：234÷13=18(千米/小时)。 船速是：(26+18)÷2=22(千米/小时)。 水速是：(26-18)÷2=4(千米/小时)。 2.【解析】假设AB两地之间的距离为480÷2=240(千米)，那么总时间=480÷48=10(小时)，回来时的速度为240÷(10-240÷40)=60(千米/时)。 【作业布置】 必做 1.【解析】(1)设调入x名工人.根据题意得16+x=3x+4,解得x=6,故调入6名工人. (2)16+6=22(名).设y名工人生产螺柱,则(22-y)名工人生产螺母. 根据题意得2×1200y=2000(22-y), 解得y=10,则22-y=22-10=12， 所以10名工人生产螺柱,12名工人生产螺母。 2.30 m/s【解析】火车“完全通过”和“完全在桥上”是两种不同的情况、可以借助如图所示线段图理解. (1)火车完全通过: (2)火车完全在桥上: 【解析】设火车车身长为xm.根据题意,得=,解得x=300,所以==30.故火车的长度是 300 m,车速是30 m/s. 3．44【解析】设轮船在静水中的速度为x千米/时.由题意得x+2 =2(x-2),解得x=6,则轮船的顺流速度为8千米/时,逆流速度为4千米/时,设乙、丙两港相距y千米,则+=12,解得y=26,所以y+18=44,即甲、丙两港间的距离为44千米,故答案为44. 4.C【解析】设乙走x秒第1次追上甲,根据题意,得5x-x=4,解得x=1,所以乙走1秒第1次追上甲,则乙在第1次追上甲时的位置在AB上,设乙再走y秒第2次追上甲.根据题意,得5y-y=8,解得y=2,所以乙再走2秒第2次追上甲,则乙在第二次追上甲时的位置在BC上.易得乙再走2秒第3次追上甲,则乙在第3次追上甲时的位置在CD上.乙再走2秒第4次追上甲,则乙在第4次追上甲时的位置在DA上.乙再走2秒第5次追上甲,则乙在第5次追上甲时的位置又回到AB上.故每4次为一个循环.因为2023÷4=505……3,所以乙在第2023次追上甲时的位置与第3次追上甲时的位置相同,在CD上.故选C. 选做 5.42.5或47.5【解析】设 A,B两地间的距离是xkm.当点A在BC之间时,B,C两地的距离为(x+4)km.根据题意得+=6，所以3x+5(x+4)=360,所以8x=340,所以x=42.5.当点C在AB 之间时,B,C两地的距离为(x-4)km.根据题意得+=6所以3x+5(x-4)=360,所以8x=380,所以x=47.5.综上,A,B两地间的距离是42.5 km 或47.5km.故答案为42.5或47.5. 6. 8点32分【解析】设第一次t分追上，小明速度为v(千米/时)。从第一次追上到第二次追上时,小明走4千米,爸爸走 12千米,则爸爸的速度是3v。3v·t=(8+t)·v , 3t=8+t , t=4 小明行4千米,用4+8=12(分), 行8千米用24分，所以这时是8点32分。 拓展 【解析】】(1)D1001次列车从A站到B站行驶了90分钟,从B站到C站行驶了60分钟,故答案为90,60. (2)(①)根据题意得,D1001次列车从A站到C站共行驶了90+60 =150(分)。G1002次列车从A站到C站共行驶了35+60+30= 125(分),所以150=125,所以=，故答案为。 (②)因为=4千米/分钟,,所以=4.8千米/分钟.因为 4×90=360(千米),所以A站与B站之间的路程为360千米,所以G1002次列车从A站到B站共行驶了360÷4.8=75(分),所以当t=100时,G1002次列车到达B站。由题意可知,当90≤t≤110时,D1001次列车在B站停车,所以G1002次列车到达B站时. D1001次列车正在B站停车。 ①当25≤t<90 时,>,所以∣-∣=-所以4t-4.8(t-25)=60,解得=75; ②当90≤t≤100时,,所以∣∣=所以360-4.8(t-25)=60,解得t=87.5,不合题意,舍去; ③当100<t≤110 时,,所以∣∣=,所以4.8(t-25)-360=60,解得t=112.5,不合题意,舍去; ④当110<t≤150 时,,所以∣∣=,所以4.8(t-25)-[360+4(t-110)]=60,解得t=125. 综上所述,当t=75或125时,∣∣=60. 学科网（北京）股份有限公司 $$