4.1.1 n次方根与分数指数幂 教案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

课题 4.1.1n次方根与分数指数幂 课时 1课时 教材 必修1 课前准备 【教材分析】 本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第1节《指数》第１课时。 【主要内容】 从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂 、实数指数幂含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 学情分析： 1.认知基础： 学生在初中已经学习过整数指数幂，在幂函数的学习中，接触过形如的以分数为指数的幂。 2.认知障碍： 从整数指数幂过渡上升转化到分数指数幂的数学抽象需初步培养，还不足以支撑学生非常清晰的理解。 教学目标 1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质 2.能利用根式的性质对根式进行运算 3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化 重难点 重点：根式概念的理解，分数指数幂的理解掌握并还用分数指数幂的运算性质 难点：掌握并运用分数指数幂的运算性质 教学方法 本节课以学生为主体，采用启发式方法，在课堂中设置问题，引导学生积极思考，激发学生数学学习的积极性与主动性，提高学生学习能力。 教学环节 教学设计 设计意图 回顾旧知 4min 探究新知 15min 深入探究数集A f 10min 习题讲解 10miin 课堂小结 5min 作业布置 今天我们要学习的是n次方根与分数指数幂 在学习新课前我要问同学们平方根、立方根是如何定义的呢？是不是不太记得了，没关系我们来看几道题帮助大家快速回忆： 4的平方根是 +-2 4的算术平方根是 2 8的立方根是 2 -8的立方根是 -2 那么，同学们现在是不是能够回想起来平方根、立方根的定义了呢： 如果x2=a，那么x叫做a的平方根， 如果x3=a，那么x叫做a的立方根， 平方根是x^2=a,所以我们也可以叫二次方根，立方根我们可以叫三次方根。么按照这个定义，同学们自己给出四次方根和五次方根的定义： 如果x4=a，那么x叫做a的四次方根 如果x5=a，那么x叫做a的五次方根 按照这个规律，我们把x的指数扩展到n,是不是很简单得到： 如果，那么x叫做a的n次方根 这里我们就得到了n次方根的定义了： 若xn=a，(n=2,3,4……) 那么x叫做a的n次方根 在这里平方根和立方根我们的x都可以用a表示那么四次方根五次方根一直到n次方根呢 是不是就是简单的呢，（有的同学说不是也有同学说是）我们一起从下面的几道题中寻找答案 x2=a，所以x有正负两个值， a不能是负数 x3=a，x只有一个值 （四次方五次方同理） 接下来我们总结规律，那么该怎么入手呢？观察这几个问题的特点（大致分为两种情况），要进行（分类）讨论？ 首先我们看当n是奇数的情况： n为奇数时: （从根入手，从正负入手） a只有一个n次方根 a是正数时，a的奇数次方根 是正数 a是负数时，a的奇数次方根是负数 n为偶数时: a是正数时,有两个互为相反数的 偶数次方根 正的偶数次方根记为 负的偶数次方根记为 a是负数时,没有偶数次方根 0的任何次方根都是0，即=0 接下来我们在回到之前问题是不是就很简单得到答案了。 四次方根n是偶数，所以答案是 5次方根n是奇数，所以答案是 并且我们能得到一个数a开n次方根的通式： 如果xn=a： n为奇数时 n为偶数时 这里我们把叫做根式，由根指数与被开方数组成 在学习完n次方根和根式后，我们来看一道思考题 一定成立吗？为什么？ 大家可以从根指数的奇偶和被开方数的正负入手 这时候我想问问同学们，我把n放进去，这个式子还成立吗 一定成立吗？ 大家还是仿照上一题的方法 从根指数的奇偶和被开方数的正负入手 自己动手做一下 这里我给出我的解题过程 经过观察我们得到根式的两个运算性质： na n为偶数时，a| 接下来同学们利用刚才所学的根式的运算性质 做一下这几道题 （如何去掉绝对值） 题目做完了，我们再回到刚才的运算性质，根据n次方根的定义和这个式子，我们知道 联系整数指数幂的运算性质我们是不是可以得出规律 那么分数指数幂的数存在吗？能算出来吗？ ===4 这种数是存在的,可以被计算出来的数 所以，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是 根式下可以转化为正分数指数幂的形式（同理互化） 这时候同学们是不是要问了：正分数指数幂也可以化为根式的形式 那负分数指数幂？ 事实上正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相 仿，我们规定, 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 学习到这里我们回顾所学的与指数幂相关的知识点 我们以前学过整数指数幂（正负整数），还有今天的分数指数幂（正负分数） 他们共同构成了有理数指数幂 有理数指数幂的运算性质和我们以前学的整数指数幂运算性质是一样的： 下面我们做几个题来巩固一下： 例2 求值：（1） ；（2） 例3 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式( 其中a>0). （从里到外依次计算） 例4 计算下式各式(式中字母均是正数). 、小结： 1，n次方根的表示方法: 2，根式的运算性质： 3，正数的正，负分数指数幂 4，有理数指数幂的运算性质： 作业： 1.整理复习课上例题； 2. P.107 练习 . 复习旧知识，便于开展下面的学习。 联系旧知识，问而不答，激发学生学习兴趣，并引导学生进行进一步的思考 锻炼学生的分类讨论思想和归纳总结能力 通过前面的铺垫，以总结归纳的方式给出a的n次方根的表示方法，便于学生理解和加深印象。 启发学生自主进行思考。对概念性知识进行巩固，并辨析易错点，加深理解 趁热打铁，通过习题对学生自行总结的知识点进行巩固 利用旧知识推导出新知识，再进行验证 将所学的正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相互联系起来 新旧知识结合，帮助学生回忆的同时，建立相关知识体系 巩固练习，难度逐渐增加，锻炼解题能力 总结知识点，进行巩固。 学科网（北京）股份有限公司 $$