3.2双曲线练习卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2双曲线精选题练习卷-2024-2025学年高二数学上学期人教A版2019 一、单选题 1．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的离心率为，圆与的一条渐近线相交，且弦长不小于2，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．双曲线的焦点坐标为，则（   ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的两个焦点分别为、，点到其中一条渐近线的距离为，点是双曲线上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于、两点，则（    ） A． B． C． D． 6．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的图象不关于原点对称 B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为 D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3 7．已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知双曲线，M为C右支上的一个动点，过M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAMB的周长的可能取值有（    ） A．5 B．8 C．6 D． 10．已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（    ） A．C的方程为 B．C的离心率为2 C．若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D．若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的右支上，则下列说法正确的是（    ） A．若的周长为24，则的面积为48 B． C． D．若为锐角，则点的纵坐标范围是 三、填空题 12．若直线是双曲线的一条渐近线，则 . 13．已知是双曲线的两个焦点，点在上，且，若，则双曲线的方程为 . 14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为，在上，且，，则的离心率为 . 四、解答题 15．已知，分别是双曲线的左、右顶点，是上异于，的一点，直线，的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交的左，右两支于，两点（异于，），求的取值范围. 16．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的方程； (2)设为坐标原点，若直线过点，与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且的面积为，求直线的方程. 17．已知双曲线的左、右焦点分别为. (1)若直线与双曲线交于P，Q两点，求线段的长； (2)若双曲线上存在两点，，满足，求直线的斜率. 18．已知双曲线 的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程 (2)设直线l:y= kx+1与双曲线C交于A，B两点，是否存在k满足（其中O为坐标原点） 若存在，求出k的值； 若不存在，说明理由. 19．已知双曲线过点，一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)若点为双曲线右支上一点，，求的最小值； (3)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，求证：为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A D B D D A BC BC 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】根据双曲线的性质即可求解. 【详解】由，得，， 所以渐近线方程为，即 故选：C 2．B 【分析】根据双曲线的离心率可得渐近线方程为，利用点到直线距离公式，结合圆的弦长公式可得：，运算求解即可. 【详解】设双曲线的半焦距为， 则，解得：， 且双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的渐近线为， 因为圆的圆心为，半径， 可知圆关于轴对称，不妨取渐近线为，即， 则圆心到渐近线的距离，可得：. 又因为圆与双曲线的一条渐近线相交弦长为， 由题意可得：，解得：. 综上可得：的取值范围是. 故选：B 3．A 【分析】根据双曲线方程及焦点坐标直接可得解. 【详解】由已知双曲线的焦点为，则 双曲线方程为， 则， 解得， 故选：A. 4．D 【分析】利用点到直线的距离公式可得出，利用双曲线的定义、余弦定理可求得的值. 【详解】易知点，双曲线的渐近线方程为，即， 所以，焦点到渐近线的距离为， 设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理可得， 即，所以，. 故选：D. 5．B 【分析】根据题设有已知圆的圆心为，半径为1，且双曲线渐近线，判断渐近线与圆的位置关系，进而确定圆心到直线距离，几何法求相交弦长. 【详解】由，圆心为，半径为1， 双曲线渐近线为，又，即，故， 由到距离为，满足题设； 由到距离为，不满足； 所以到直线距离，故. 故选：B 6．D 【分析】将代入方程，可判断A；结合方程，求解整点坐标，可判断B；联立方程组，结合其解唯一求出k的范围，判断C；结合方程以及距离公式可判断D. 【详解】对于A，结合曲线：，将代入， 方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误； 对于B，令，则，解得， 令，则，解得， 令，则，解得， 故曲线经过的整点只能是，B错误； 对于C，直线与曲线：必有公共点， 因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解， 即只有一个解为，即时，无解， 故，即实数的取值范围为，C错误， 对于D，由，可得，时取等号， 则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确， 故选：D 7．D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【详解】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 8．A 【分析】根据三角形的中位线性质，得到，再由双曲线的定义，以及圆的切线性质，即可得到结论． 【详解】由双曲线，可得，则且， 设是双曲线的右焦点，连接， 因为分别为的中点，， 在直角中，可得， 又由双曲线的定义，可得， 所以. 故选：A. 9．BC 【分析】根据题意判断四边形OAMB的形状，利用点到直线的距离和基本不等式计算即可． 【详解】双曲线，M为C右支上的一个动点， 设，则， 两条渐近线方程为，则两条渐近线互相垂直，， 所以，，有，    则，当且仅当时等号成立， 所以四边形OAMB的周长为， 结合选项可知，8，6适合题意， 故选：BC． 10．BC 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，以及内切圆的定义，即可依次计算判断. 【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则， 于是双曲线C的方程为，A错误； 对于B，双曲线C的离心率，B正确； 对于C，， ，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确； 对于D，由点 在双曲线上支上，得，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D错误. 故选：BC 11．BC 【分析】根据双曲线定义结合周长可得，，即可由直角三角形求解面积，判断A，根据双曲线上的点到焦点的距离的范围，结合双曲线定义即可求解B，根据渐近线斜率即可求解C，利用向量的坐标运算即可求解D. 【详解】可得， 由于点在的右支上，故， 对于A，若的周长为24，则， 进而，，故， 故的面积为，A错误， 对于B，由于，当在右顶点时等号取到， 故，故B正确， 对于C，由于双曲线一三象限的渐近线方程为， 故， 又当在右顶点时，，故，C正确， 对于D，设，， 则， 则， 解得或，故D错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是，将问题化为，从而得解. 12．2 【分析】先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即得. 【详解】因双曲线的焦点在轴上，且， 故其渐近线方程为，依题意，易得. 故答案为：2. 13． 【分析】利用双曲线的定义结合焦点三角形的特征求解. 【详解】 设双曲线的标准方程为，， 由已知可得，即， 因为， 所以， 所以，故双曲线的方程为. 故答案为：. 14． 【分析】由已知可求得，进而可得，可求离心率. 【详解】由，可得在双曲线的右支上，因为，， 所以，所以， 所以. 故双曲线的离心率为. 故答案为：. 15．(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，设根据求解即可； （2）设直线的方程为，，，再根据直线与双曲线左右两支相交，所以，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）由题意可知，，因为，所以 设，则，所以， 又， 所以 所以双曲线的方程为 （2）由题意知直线的方程为，，. 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或 16．(1) (2)或 【分析】（1）利用渐近线的斜率及点到直线的距离公式求出即可； （2）由题意直线的斜率存在，设其方程为，联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到的距离，利用三角形的面积公式建立等式求出，即可求出直线的方程． 【详解】（1）∵双曲线的一条渐近线方程为， ∴，即， ∵双曲线的焦点坐标为，焦点到渐近线的距离为， ∴，即， 又，则，解得， 所以双曲线的方程为． （2）由题意直线的斜率存在，设直线方程为，设， 由得， 由题意得，解得， 因为， 所以， 又点O到直线的距离， 所以的面积， 则，即，解得或， 又因为，所以， 所以直线的方程为或．    17．(1) (2) 【分析】（1）联立直线的方程和双曲线的方程，利用根与系数关系求得线段的长. （2）根据对称性进行转化，设出直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】（1）由消去并化简得， 设，则， 所以. （2）依题意，双曲线上存在两点，，满足， 设直线与双曲线的另一个交点为，根据对称性可知， 双曲线对应， 则，依题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为， 由消去并化简得， 则， 即. 设，则①，②， 由得， 所以③， 由①③解得，代入②得： ，由于， 所以，整理得，解得. 【点睛】思路点睛： 联立方程求解交点：首先通过联立直线和双曲线方程，利用代数方法求解交点的位置，这一步是解答线段长度和直线斜率问题的基础. 结合对称性分析直线斜率：通过设定双曲线上存在的对称点，结合对称性推导出直线的斜率，从而确定直线方程的具体形式. 18．(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意得出即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系及数量积运算求出，不满足知不存在. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 故所求双曲线方程为. （2）如图， 设， 由，消元可得，， 当，即时， ，， 所以， 所以，解得， 此时不满足， 故不存在，使得成立. 19．(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案； （2）设，表示出，结合二次函数性质，讨论即可得答案； （3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出的表达式，化简即可证明结论. 【详解】（1）由题意知双曲线过点，一条渐近线方程为， 则，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）点为双曲线右支上一点，设，， 则 ， 当，即时，最小值为， 当，即时，最小值为； （3）当过点的直线斜率不存在时，方程为， 此时不妨取,则； 当当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 不妨令，    联立，得， 由于直线过双曲线的右焦点，必有， 直线与双曲线的右支交于，两点，需满足或， 则， 则 ， 综合以上可知为定值. 【点睛】难点点睛：本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，综合性强，计算量大，难点在于证明定值问题，解答时要注意计算的准确性，基本都是字母参数的运算，需要十分细心. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$