精品解析：湖南省湖湘教育三新探索协作体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

高二期中联考 数学 班级：__________姓名：__________准考证号：__________ （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列说法错误的是（ ） A. 若空间中点，，，满足，则A，，三点共线 B. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D. ，，若，则与的夹角为锐角 4. 在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，，，动点在体对角线上，直线与平面所成角的最小值为，则直四棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 10. 如图、在正四棱柱中，点为线段上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 存在点使直线与平面所成角为 11. 曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，则下列结论正确的是（ ） A. 点到轴距离的最大值为 B. 点到原点距离的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为______. 13. 在中，，点在上，满足，，.则的面积为______. 14. 已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为__________、 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，，其中、. （1）若直线经过点，且，求的值； （2）若直线，当直线与直线的距离最大时，求直线的方程. 16. 某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. （1）求王阳第三次答题通过面试的概率； （2）求王阳最终通过面试的概率. 17. 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，点为线段靠近点的三等分点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知圆与圆，，. （1）当时，直线与圆交于，两点，若，求； （2）若，圆与圆只有一条公切线，求的最小值. 19. 如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为. （1）求点的轨迹的方程； （2）当时，点的轨迹方程记为. （i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中联考 数学 班级：__________姓名：__________准考证号：__________ （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分） 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】因为， ， 所以. 故选：B. 2. “”是“直线与直线垂直”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线垂直可得，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为直线与直线垂直， 等价于，即， 所以“”是“直线与直线垂直”的充要条件. 故选：A. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 若空间中点，，，满足，则A，，三点共线 B. 对空间任意一点和不共线三点，，，若，则，，，共面 C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 D. ，，若，则与的夹角为锐角 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据三点共线的结论分析判断；对于B：根据四点共面的结论分析判断； 对于C：根据共面向量的定义分析判断；对于D：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为，且， 所以，，三点共线，故A正确； 对于选项B：因为， 可得，且， 所以，，，共面，故B正确； 对于选项C：若共线，则对任意，均有共面，故C正确； 对于选项D：例如，则，， 可知，即同向，所以与的夹角为，故D错误； 故选：D. 4. 在长方体中，已知，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，， 所以，，， 所以直线与所成角的余弦值为. 故选：C 5. 抛物线的焦点为，为坐标原点，为抛物线上一点，且，的面积为，则抛物线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合抛物线的定义可得，，再根据面积关系运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则， 因为，即， 解得，则，即， 又因为的面积为，且，解得， 所以抛物线方程为. 故选：A. 6. 已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出 点的轨迹为直线，再根据点到直线的距离公式即可得到最值. 【详解】由题意得，， 因为， 又，即， 即， 化简得点的轨迹为，即在直线上， 表示的几何意义为点到原点距离的平方， 故只需计算原点到直线的距离再平方就可得最小值， 即最小值为. 故选：B. 7. 如图所示，在直四棱柱中，底面为菱形，，，动点在体对角线上，直线与平面所成角的最小值为，则直四棱柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，可证平面，可知直线与平面所成角为， 分析可知当点与点重合时，取到最大值，即可得，即可得体积. 【详解】设， 因为底面为菱形，则， 又因为底面，底面，则， 且，平面，则平面， 可知直线与平面所成角为， 则，可得， 因为，可知当点与点重合时，取到最大值， 则， 所以直四棱柱的体积为. 故选：D. 8. 已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线C交于点Q，若，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算出，，然后两次应用余弦定理求得的关系式，从而求得离心率． 【详解】由题意，，且， 在中，由余弦定理得， 同理在中由余弦定理得， 所以，可得，所以离心率为， 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于直线对称 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象结合周期性和最值求，即可判断AB；可得、的解析式，直接代入运算判断对称性，即可判断CD. 【详解】设的最小正周期为，则，即， 且，则，解得，故B正确； 则， 因为，可得， 又因为，则， 可得，解得，故A错误； 所以， 对于选项C：因为， 所以的图象关于点对称，故C错误； 对于选项D：令， 因为（为最小值）， 所以的图象关于直线对称，故D正确. 故选：BD. 10. 如图、在正四棱柱中，点为线段上一动点，，则下列说法正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为 C. 三棱锥外接球的表面积为 D. 存在点使直线与平面所成角为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A，判断不垂直即可；对B，先判断平面平面，再根据等体积计算判断；对C，根据三棱锥外接球即长方体的外接球，再求得表面积即可；对D，先根据等体积法求得到平面的距离，进而可得直线与平面所成角的正弦值判断即可. 【详解】对A，若直线平面，则因为平面，则，矛盾，故A错误； 对B，作辅助线如图，因为，所以四边形为平行四边形， 所以，面，面，故面， 同理得，面，面，故面， 又因为面，面，， 所以平面平面， 又因为P点在平面内， 所以，故B正确； 对于C，三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C正确； 对D，设到平面的距离为，又， 故，又三棱锥的体积为， 则，解得，设直线与平面所成角为， 则，又，即， 故，即，故不存在使得， 即不存在点使直线与平面所成角为，故D错误. 故选：BC 11. 曲线是平面内与两个定点，的距离的积等于的点的轨迹，则下列结论正确的是（ ） A. 点到轴距离的最大值为 B. 点到原点距离的最大值为 C. 周长的最大值为 D. 最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据题意结合面积关系可得，即可得结果； 对于B：根据向量可得，即可得结果； 对于C：利用基本不等式分析判断； 对于D：利用余弦定理结合基本不等式分析判断. 【详解】由题意可知：，，设， 对于选项A： 因为， 即，解得， 当且仅当时，等号成立， 所以点到轴距离的最大值为，故A错误； 对于选项B：因为， 且， 则且， 可得，则，即， 当且仅当同向时，等号成立， 所以点到原点距离的最大值为，故B正确， 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以周长的最小值为，故C错误； 对于选项D：因为， 当且仅当时，等号成立， 可得，所以最大值为，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，为双曲线的两个焦点，点是双曲线上的一点，且，则的面积为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线对于可得，，结合勾股定理可得，即可得面积. 【详解】由双曲线方程可得， 不妨设，则，， 若，则，可得， 即，则， 所以的面积为. 故答案为：1. 13. 在中，，点在上，满足，，.则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，.两次运用余弦定理，构造方程，得到得，再结合三角形面积公式求解即可. 【详解】设，则，. 在中，. 在中，， 解得，故， 所以. 故答案为：. 14. 已知为抛物线上的任意一点，为其焦点，为圆上的一点，则的最小值为__________、 【答案】 【解析】 【分析】取点，根据相似三角形得，则，再通过设点，结合两点距离公式和二次函数性质即可求出最小值. 【详解】由题意得，取点，设圆的圆心为， 则，所以，又因为， 所以，则， . ，即求得最小值， 设，则， 令. 当时，，即的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，，其中、. （1）若直线经过点，且，求的值； （2）若直线，当直线与直线的距离最大时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行得到方程，解出即可； （2）首先求出两直线所过定点，再得到距离最大时的状态，最后根据两直线垂直得到斜率关系即可. 【小问1详解】 由直线过，则，此时 当时，，解得，经验证此时两直线平行. 【小问2详解】 ，即，当，，则直线恒过定点， ，令，则，则直线恒过定点， 故当且与和的连线垂直时，与的距离最大， 因为两定点连线斜率为，则此时的斜率为， 故， 直线的方程为:. 16. 某公司的入职面试中有4道难度相当的题目，王阳答对每道题的概率都是0.7，若每位面试者共有4次机会，一旦某次答对抽到的题目、则面试通过，否则就一直抽题到第4次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. （1）求王阳第三次答题通过面试的概率； （2）求王阳最终通过面试的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知：若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过，结合独立事件概率求法运算求解； （2）先求王阳未通过面试的概率，结合对立事件概率求法运算求解. 【小问1详解】 记“王阳第三次答题通过面试”为事件， 若王阳第三次答题通过面试，则前次均不通过， 所以王阳第三次答题通过面试的概率为. 【小问2详解】 记“王阳最终通过面试”为事件， 王阳未通过面试的概率为， 所以王阳最终通过面试的概率. 17. 如图，在梯形中，，，，将沿边翻折，使点翻折到点，且，点为线段靠近点的三等分点. （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 过作，垂足为， 在等腰梯形中，，，， 可知，所以， 故， 可得， 则，即， 又因为，则， 且，平面，平面，可得平面， 由平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面，即可得结果； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面，则平面平面， 过点作平面，则平面， 以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面法向量为， 则， 令，则，， 可得为平面的一个法向量， 设平面法向量为， 则， 令，则，， 可得为平面的一个法向量， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知圆与圆，，. （1）当时，直线与圆交于，两点，若，求； （2）若，圆与圆只有一条公切线，求的最小值. 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】（1）根据题意可知：圆的圆心为，半径，结合向量可得，即可得结果； （2）分析可知圆与圆内切，可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【小问1详解】 若，则圆的圆心为，半径， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 若圆与圆只有一条公切线，则圆与圆内切， 则，则， 即，且， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值9. 19. 如图，轴垂足为点，点在的延长线上，且.当点在圆上运动时，点的轨迹方程为. （1）求点的轨迹的方程； （2）当时，点的轨迹方程记为. （i）若动点为轨迹外一点，且点到轨迹的两条切线互相垂直，记点的轨迹方程记为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）若，则的方程为，即， 与圆没有交点，理由如下： 由题意可知：圆在椭圆内（有且仅有两个交点）， 但动点为轨迹外一点，所以与圆没有交点； （ii） 【解析】 【分析】（1）设，可得，代入圆即可得结果； （2）根据题意可得的方程为.（i）可知圆在椭圆内，即可得结果；（ⅱ）设，联立方程求得，可得，即可得结果. 【小问1详解】 设， 因为，则， 又因为点在圆上，则， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）由题意可知：， 设，则直线， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则， 令，解得， 由题意可知， 因为，则， 又因为，可得， 所以的取值范围为. 【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中范围问题的方法 一般题目中没有给出明确的不等关系，首先需要根据已知条件进行转化，利用圆锥曲线的几何性质及曲线 上点的坐标确定不等关系；然后构造目标函数，把原问题转化为求函数的值域或引入参数根据参数范围求解，解题时应注意挖掘题目中的隐含条件，寻找量与量之间的转化． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $