必修一综合测评-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

( 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) ( 姓名 班级 考号 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 ) 全书综合测评 全卷满分150分　　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合M=,P=xx=±90°,k∈Z,则集合M,P之间的关系为(　　) A.M=P 　　　　B.M⫋P　　　　C.P⫋M　　　　D.M∩P=⌀ 2.若“x>2a2-3”是“1≤x≤4”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是(　　) A.[-,]　　　　B.(-,)　　　　C.(-1,1)　　　　D.[-1,1] 3.已知a=ln 3,b=sin ,c=,则a,b,c的大小关系是(　　) A.a>b>c　　　　B.a>c>b　　　　C.c>b>a　　　　D.c>a>b 4.北京时间2023年2月10日0时16分,经过约7小时的出舱活动,神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同,圆满完成出舱活动全部既定任务.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭,火箭在发射时会产生巨大的噪声,已知声音的声强级d(x)(单位:dB)与声强x(单位:W/m2)满足关系式:d(x)=10lg.若某人说话时的声强级约为60 dB,且火箭发射时的声强与此人说话时的声强的比值约为107.8,则火箭发射时的声强级约为(　　) A.125 dB　　　　B.132 dB　　　　C.138 dB　　　　D.156 dB 5.函数f(x)=2xlog3|x|-2x+的部分图象大致为(　　) 　　　　 　　　　 6.已知奇函数f(x)在R上单调递增,正数m,n满足f +f(n-1)=0,则2m+的最小值为(　　) A.3　　　　B.4　　　　C.2+2　　　　D.3+2 7.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), f(0)=1, f(3x+1)=-f(-3x+1),则f(k)=(　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.0　　　　D.1 8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),为f(x)图象的一个对称中心,直线x=为f(x)图象的一条对称轴,且f(x)在上单调递减,记满足条件的所有ω的值的和为S,则S=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.已知实数a,b,c,则下列结论正确的是(　　) A.若ac2>bc2,则a>b　　　　 B.若a>b,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2>ab　　　　 D.若a>b>1,则a->b- 10. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标伸长或缩短为原来的倍(k>0),得到g(x)的图象,则下列说法正确的是(　　) A.若k=2,则g(x)的最小正周期为π B.若k=,则为g(x)的图象的一个对称中心 C.若g为偶函数,则k的最小值为1 D.f(x)的单调递增区间为,m∈Z 11.已知函数f(x)=则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)为增函数 B.∀x1,x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|<1 C.若f(x)<在x∈[n,+∞)上恒成立,则自然数n的最小值为2 D.若关于x的方程2m[f(x)]2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)有三个不同的实数根,则-8≤m<-4 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.已知tan(5π+α)=2,则的值为　　　　.  13.函数y=loga(x+2)-3(a>0且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则+的最小值为　　　　.  14. 已知函数f(x)和g(x)的定义域分别为D1和D2,若对任意的x0∈D1,都恰有n个不同的实数x1,x2,x3,…,xn∈D2,使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2,3,…,n,n∈N*),则称g(x)为f(x)的“n重覆盖函数”. (1)若函数g(x)=cos x(0<x<4π)是f(x)=(0<x<4π)的“n重覆盖函数”,则n=　　　　;  (2)若g(x)=为f(x)=lo的“2重覆盖函数”,记实数a的最大值为M,则sin[(M+1)π]=　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设全集U=R,函数f(x)=log3(-x2+6x-5)的定义域为集合A,集合B={x|2-a<x<1+2a},其中a∈R. (1)当a=1时,求∁U(A∩B); (2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数a的取值范围. 16.(15分)已知函数f(x)=x2-ax-a,g(x)=(a+1)x2-(1+2a)x-a+1(a∈R). (1)若f(x)在区间[0,2]上的最大值为2,求实数a的值; (2)当a>0时,求不等式f(x)>g(x)的解集. 17.(15分)已知函数f(x)=loga(a>0且a≠1). (1)试判断函数f(x)的奇偶性; (2)当a=2时,求函数f(x)的值域; (3)若g(x)=x-2,∀x1∈[-4,4],∃x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)≥2,求实数a的取值范围. 18.(17分)已知函数f(x)=是定义在R上的奇函数. (1)求实数a的值; (2)解关于x的不等式f(x2+2x-3)+f(1-3x)<0; (3)是否存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是?若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,请说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),点P在其图象上. (1)若函数g(x)=mf(2x)+(2m-1)f(x)有最小值,求实数m的取值范围; (2)设函数h(x)=若存在非零实数x0,使得h(-x0)=h(x0),求实数λ的取值范围. 答案全解全析 1.B　因为M=={x|x=(2k±1)·45°,k∈Z}, 所以集合M中的元素是45°的奇数倍, 因为P=={x|x=(k±2)·45°,k∈Z}, 所以集合P中的元素是45°的整数倍,所以M⫋P.故选B. 2.B　因为“x>2a2-3”是“1≤x≤4”的必要不充分条件, 所以2a2-3<1,即a2<2,解得-<a<.故选B. 3.B　因为函数y=ln x在(0,+∞)上单调递增,3>e,所以a=ln 3>ln e=1.b=sin=-sin =-<0.因为函数y=3x在R上单调递增,-<0,所以0<<30=1,即0<c<1,所以a>c>b.故选B. 4.C　设此人说话时的声强为x1 W/m2, 则火箭发射时的声强约为107.8x1W/m2,且60=10lg,解得x1=10-6, 则火箭发射时的声强约为107.8×10-6=101.8(W/m2), 将其代入d(x)=10lg,得d(101.8)=10lg=138, 故火箭发射时的声强级约为138 dB,故选C. 5.B　因为f(x)=2xlog3|x|-2x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,且f(-x)=-2xlog3|x|+2x-=-f(x), 所以函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,故排除C,D, f(1)=-2+1=-1<0,故排除A.故选B. 6.D　由题意得f =-f(n-1)=f(-n+1),所以=-n+1,即+n=1, 所以2m+==3+2mn+≥3+2=3+2,当且仅当=2mn且+n=1,即m=1+,n=-1时,等号成立,所以2m+的最小值为3+2.故选D. 7.D　令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),又f(x)的定义域为R,关于原点对称,故f(x)为偶函数. 因为f(3x+1)=-f(-3x+1),所以令x=0,则f(1)=-f(1),所以f(1)=0, 又由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0, 所以f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,则f(2)=-f(0)=-1. 因为f(x+1)+f(-x+1)=0,所以f(x+2)=-f(-x),又f(x)为偶函数, 所以f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4, 故f(3)=f(-1)=f(1)=0, f(4)=f(0)=1, 故f(k)=f(0)+[f(1)+f(2)+…+f(2 024)]=1+506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=1+506×(0-1+0+1)=1,故选D. 8.A　由题意,得+=+kT(k∈Z)或+=+kT(k∈Z), ∴=·(k∈Z)或=·(k∈Z), ∴ω=(1+4k)(k∈Z)或ω=(3+4k)(k∈Z). ∵f(x)在上单调递减, ∴-≤,∴≤·,∴ω≤2. ①当ω=(1+4k)(k∈Z)时,取k=0,得ω=, ∵直线x=为f(x)图象的一条对称轴, ∴×+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z), 又|φ|≤,∴φ=, ∴f(x)=sin,当x∈时,x+∈,满足f(x)在上单调递减, ∴ω=符合题意; 取k=1,得ω=2,易知φ=, ∴f(x)=sin,当x∈时,2x+∈,满足f(x)在上单调递减,∴ω=2符合题意; 当k≤-1,k∈Z时,ω<0,不符合题意; 当k≥2,k∈Z时,ω>2,也不符合题意. ②当ω=(3+4k)(k∈Z)时,取k=0,得ω=, ∵直线x=为f(x)图象的一条对称轴, ∴×+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-(k∈Z), 又|φ|≤,∴φ=,∴f(x)=sin, 当x∈时,x+∈, 此时f(x)在上单调递增,不符合题意; 当k≤-1,k∈Z时,ω<0,不符合题意; 当k≥1,k∈Z时,ω>2,也不符合题意. 综上,ω=或ω=2.所以S=+2=.故选A. 9.ACD　对于A,若ac2>bc2,则c2>0,由不等式的基本性质可得a>b,故A正确; 对于B,若a>b,不妨取a=1,b=-1,则a2=b2,故B错误; 对于C,若a<b<0,由不等式的基本性质可得a2>ab,故C正确; 对于D,因为a>b>1,所ab>1,a-b>0, 则-=a-b+=a-b-=>0, 所以a->b-,故D正确.故选ACD. 10.BCD　由题图可得A=2.由f(x)的图象过点(0,1),得2sin φ=1, ∴sin φ=.又|φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.根据函数f(x)的图象关于直线x=对称及“五点作图法”可得ω·+=,解得ω=2,故f(x)=2sin.将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长或缩短为原来的倍(k>0),得到g(x)的图象,则g(x)=2sin. 对于A,当k=2时,g(x)=2sin,则g(x)的最小正周期T==,故A错误; 对于B,当k=时,g(x)=2sin,由g=0,得点是g(x)的图象的一个对称中心,故B正确; 对于C,由题意得,g=2sin,因为g是偶函数,所以+=+nπ,n∈Z,所以k=1+3n,n∈Z,又k>0,所以k的最小值为1,故C正确; 对于D,由2mπ-≤2x+≤2mπ+,m∈Z,得mπ-≤x≤mπ+,m∈Z,所以f(x)的单调递增区间为,m∈Z,故D正确.故选BCD. 11.BCD　当x∈[1,2)时,x-1∈[0,1),所以f(x-1)=, 又f(x)=f(x-1),所以当x∈[1,2)时, f(x)=; 当x∈[2,3)时,x-1∈[1,2),所以f(x-1)=, 又f(x)=f(x-1),所以当x∈[2,3)时, f(x)=; 当x∈[3,4)时,x-1∈[2,3),所以f(x-1)=, 又f(x)=f(x-1),所以当x∈[3,4)时, f(x)=; 由此可知,当x∈[n,n+1)时, f(x)=, 作出函数y=f(x)的部分图象,如图①所示: 图① 由图①可知,函数f(x)不是增函数,故A错误; 易知f(x)∈[0,1),所以∀x1,x2∈[0,+∞),|f(x1)-f(x2)|<1,故B正确; 在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象和直线y=,如图②所示: 图② 由图②可知,当x∈[2,+∞)时, f(x)<恒成立,所以自然数n的最小值为2,故C正确; 令t=f(x),则t∈[0,1),方程2m[f(x)]2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)等价于2mt2+(m+2)t+1=0(m∈R),即(mt+1)(2t+1)=0,解得t=-或t=-(舍去),在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象,直线y=和直线y=,如图③所示: 图③ 由图③可知,当-∈,即-8≤m<-4时,关于x的方程2m[f(x)]2+(m+2)f(x)+1=0(m∈R)有三个不同的实数根,故D正确.故选BCD. 12.答案　3 解析　由tan(5π+α)=2,得tan α=2, 所以===3. 13.答案　5 解析　对于函数y=loga(x+2)-3,令x+2=1,可得x=-1,y=-3,可知A(-1,-3), 因为点A(-1,-3)在直线mx+ny+1=0上,所以-m-3n+1=0,即m+3n=1, 则+=+=++3,因为mn>0,所以>0,>0, 所以+=++3≥2+3=5, 当且仅当=,即m=n=时,等号成立,所以+的最小值为5. 14.答案　(1)4　(2)- 解析　(1)因为2x>0,所以2x+1>1⇒0<<1⇒0<<2, 因为2x-1<2x+1,所以f(x)=<1, 又因为f(x)==1->1-2=-1,所以-1<f(x)<1, 因为g(x)=cos x(0<x<4π),所以g(x)∈[-1,1], 作出函数f(x)与g(x)在(0,4π)内的大致图象,如图所示: 因为g(4π)=cos 4π=1,而函数f(x)在(0,4π)上单调递增,且-1<f(x)<1, 所以f(4π)<1,由此可知方程f(x)=g(x)在(0,4π)内有4个解, 所以g(x)是f(x)在(0,4π)的“4重覆盖函数”,故n=4. (2)f(x)=lo=lo的定义域为(0,+∞), 则对任意的x0∈(0,+∞),都有2个不同的实数x1,x2∈R, 使得g(xi)=f(x0)(其中i=1,2), 因为x>0,所以2x>1, 所以2x+1>2⇒0<<⇒0<<1, 所以0<1-<1,所以f(x)=lo∈(0,+∞), 即g(xi)=f(x0)=lo∈(0,+∞),即对任意的k>0,g(x)=k有2个实数根, 当x>1时,g(x)=log2x=k有一个根,故只需x≤1时,g(x)=k有且仅有1个根,即ax2+(2a-3)x+1=k在(-∞,1]上有且仅有一个根, 当a=0时,ax2+(2a-3)x+1=-3x+1≥-2,符合题意; 当a>0时,需满足g(1)=a+2a-3+1≤0,解得0<a≤; 当a<0时,y=ax2+(2a-3)x+1的图象开口向下,y=ax2+(2a-3)x+1有最大值,不能满足对任意的k>0, g(x)=k有且仅有1个根,故不成立. 综上,实数a的取值范围是,故M=, 故sin[(M+1)π]=sin=-. 15.解析　(1)由题意得,-x2+6x-5>0,解得1<x<5,所以A={x|1<x<5},当a=1时,B={x|1<x<3}.(1分) 则A∩B={x|1<x<3},(3分) 所以∁U(A∩B)={x|x≤1或x≥3}.(6分) (2)由(1)知,A={x|1<x<5}, 由“x∈A”是“x∈B”的充分条件,得A⊆B,(9分) 所以解得a≥2. 综上,实数a的取值范围是{a|a≥2}.(13分) 16.解析　(1)函数f(x)=x2-ax-a的图象的对称轴为直线x=, 当≤1,即a≤2时, f(x)max=f(2)=4-3a=2,解得a=;(3分) 当>1,即a>2时, f(x)max=f(0)=-a=2,解得a=-2,不满足a>2. 综上,a=.(7分) (2)由题知,g(x)-f(x)=ax2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)<0,而a>0, 因此不等式为(x-1)<0,(10分) 当<1,即a>1时,不等式(x-1)<0的解集为; 当=1,即a=1时,不等式(x-1)<0的解集为⌀; 当>1,即0<a<1时,不等式(x-1)<0的解集为.(14分) 所以当a>1时,原不等式的解集为; 当a=1时,原不等式的解集为⌀; 当0<a<1时,原不等式的解集为.(15分) 17.解析　(1)易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称, 因为f(-x)=loga=loga=f(x),所以函数f(x)是偶函数.(2分) (2)当a=2时, f(x)=log2. 因为2x>0,=2x+≥2,当且仅当2x=1,即x=0时取等号, 所以f(x)=log2≥log22=1,即函数f(x)的值域为[1,+∞).(5分) (3)因为∀x1∈[-4,4],∃x2∈[0,4],使得f(x1)-g(x2)≥2, 所以f(x)在[-4,4]上的最小值减去g(x)在[0,4]上的最小值再加上2后大于或等于0.(7分) 在函数y=g(x)+2=x-2+2(x∈[0,4])中,令t=,则t∈[0,2],原函数等价为h(t)=t2-2t+2,所以y=g(x)+2在[0,4]上的最小值等于h(t)在[0,2]上的最小值. 易知h(t)在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增, 所以h(t)在[0,2]上的最小值为h(1)=1, 所以[f(x)]min≥1,x∈[-4,4].(9分) 因为f(x)为偶函数,所以f(x)在[-4,4]上的最小值等于f(x)在[0,4]上的最小值.设v(x)=,则f(x)=logav(x). 任取x1,x2∈[0,4],且x1<x2,则v(x1)-v(x2)=-=(-), 因为0≤x1<x2≤4,所以-<0,x1+x2>0,>1,1->0, 所以(-)<0,即v(x1)<v(x2), 所以v(x)=在[0,4]上单调递增.(12分) 当0<a<1时,函数f(x)=logav(x)在[0,4]上单调递减, 所以f(x)min=f(4)=loga=loga, 所以loga≥1,解得a≥(舍去). 当a>1时,函数f(x)=logav(x)在[0,4]上单调递增, 所以f(x)min=f(0)=loga2,所以loga2≥1,解得a≤2,(14分) 又a>1,所以1<a≤2. 综上,实数a的取值范围为(1,2].(15分) 18.解析　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(0)=0,即=0,解得a=1.(1分) 此时f(x)=, f(-x)===-f(x),满足题意, ∴a=1.(3分) (2)由(1)知, f(x)=.任取x1,x2∈R且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-= =. ∵x1<x2,∴-<0,又+1>0,+1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上为增函数.(6分) 原不等式可化为f(x2+2x-3)<-f(1-3x),即f(x2+2x-3)<f(3x-1), ∴x2+2x-3<3x-1,∴x2-x-2<0,∴-1<x<2, ∴原不等式的解集为{x|-1<x<2}.(9分) (3)假设存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是,则即 ∴方程2xf(x)=k,即2x·=k有两个不相等的实数根, ∴方程-(k+1)2x-k=0有两个不相等的实数根.(13分) 令2x=t,则t>0,故方程t2-(k+1)t-k=0有两个不相等的正根, 故解得-3+2<k<0, ∴存在实数k,使得函数f(x)在区间[m,n]上的取值范围是, 此时k的取值范围为(-3+2,0).(17分) 19.解析　(1)由题意可知, f(-2)=a-2=,因为a>0,且a≠1,所以a=2, 所以f(x)=2x, 则g(x)=mf(2x)+(2m-1)f(x)=22xm+(2m-1)2x,(2分) 令s=2x(s>0),则原函数即为y=ms2+(2m-1)s, 当m=0时,函数y=-s在(0,+∞)上无最小值,不符合题意; 当m≠0时,要使得函数y=ms2+(2m-1)s在(0,+∞)上有最小值, 则需所以0<m<, 故实数m的取值范围是.(5分) (2)由(1)知f(x)=2x. ①当0<|x0|≤2时,由h(-x0)=h(x0),得-λ·-4=-λ·-4,得λ==+, 不妨设t=,0<x0≤2,则t∈(1,4],λ=t+, 由对勾函数的性质可知,函数y=t+在(1,4]上单调递增, 则λ=t+∈;(9分) ②当2<|x0|<3时,不妨设x0∈(2,3), 由h(-x0)=h(x0),得cos=-λ·-4,得λ=-, 令m(x)=,p(x)=2x-,其中x∈(2,3),任取x1,x2∈(2,3),且2<x1<x2<3, 则<<<,易知余弦函数y=cos u在上单调递减, 所以cos>cos>0,则cos+4>cos+4>0, 因为>>0,所以>>0, 由不等式的基本性质可得>>0,即m(x1)>m(x2), 所以函数m(x)=在(2,3)上单调递减, 又因为函数y=2x在(2,3)上单调递增, 所以函数p(x)=2x-在(2,3)上单调递增, 又p(2)=4-=,p(3)=8-=, 所以当x∈(2,3)时,p(x)∈,即λ∈;(13分) ③当|x0|≥3时,不妨设x0≥3,由h(x0)=h(-x0),可得-λ·-4=2,则λ=-,令q(x)=2x-,x∈[3,+∞), 因为函数y=2x,y=-在[3,+∞)上单调递增, 所以函数q(x)=2x-在[3,+∞)上单调递增, 则q(x)≥q(3)=8-=,即λ≥. 综上所述,实数λ的取值范围是(2,+∞).(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$