精品解析：江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

6学科网命组卷网 宜春一中2024-2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 命题人：朱润勋 审题人：彭武军 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.） 1.已知直线l过点A,2),B(3,4),则直线1的倾斜角为《) 、九 A.6 B.3 C.4 D.3 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解。 4-2 ky= =1 【详解】由题可得： 3-1,所以直线1的倾斜角为：45°； 故选：C 2.若0A=(1,2,3),0B=（,34),则以下向量中，能成为平面0AB的法向量的是() A.(17,5) B(1,-7,5) c（-l,-7,5) D.(1,-7,-5) 【答案】C 【解析】 04=0 【分析】设平面01B的法向量为n=(化，z),根据万-OB=0得到x八，2之间的等量关系，分别令 x,y,Z x=1与x=- 即可求解 第1页/共24页 学科网命组卷网 【详解】设平面0AB的法向量为n=(x,y,2) .OA=x+2y+3z=0 则方：0B=-x+3y+4z=0 令x=1,可得y=7,2=-5,故n=(L7,-5)为平面0AB的一个法向量 令x=-1,可得y=-7,z=5,故n=（l,-7,5)为平面0AB的一个法向量 故选：C 3与椭圆4+少= 共焦点且过点P(2,)的双曲线方程是() x A4-y2=1 B2y2=1 x2 y2 C331 D.x2-3y2=1 【答案】B 【解析】 P(2,1) 【分析】根据椭圆方程求出双曲线的半焦距，设出双曲线方程，根据点 在双曲线上，列出方程组， 即可得出双曲线的方程 【详解】在椭圆4 +y2= 中，a2=4,b2=1,.c2=a2-b2=3 x2 y2 =1,(m>0,n>0) 设双曲线方程为mn x2 因为双曲线与椭圆4 +y2=1 有相同的焦点且过点P(2,1) 2卫-1 ∴m+n=3且mn,解之可得m=2,n=1 x2 所以双曲线方程是之少=1 第2页/共24页 学科网命组卷网 故选：B 【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于基础题 4如图，在四面体OABC中，OA=a,OB=b,0C=C.点M在OA上，且OM=2MM,N为BC中 点，则W 等于() a+26+ 1 2 1 A. 23 B. a+ 3 6+ 2 c. a+- 26 2a 2 D.3 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出MN 【详解】依题意有 B+0OC-) 2 故选：B. 5已知点4(-，2列，B(3,1),直线1过点P(0,-)且与线段4B有公英点，则直线的斜率的取值范国( a【30uo （3+ n(m-3如[3+ 【答案】D 第3页/共24页 6学科网 命组卷网 【解析】 【分析】求出PA,PB所在直线的斜率，判断直线I的倾斜角与斜率的变化，数形结合得答案. 【详解】点A(1,2),B(3,),P(0,-) 直线PA的斜幸， 2-（-1) -3,直线PB的e303 _1-（-1)2 -1-0 直线1过点P(0,-)且与线段AB有公共点，则直线I的斜率满足k≤k1或k之km, 即k≤-3或 3,所以直线的斜率的取值范围为 w-小[层+a 故选：D. 6.知图，在直三楼柱4BC-4BG中，MB=BC=M且ABLBC,则直线BC与4B 所成的角为( B B A.6 B.4 C.3 D. π-2 【答案】C 【解析】 第4页/共24页 6学科网 命组卷网 【分析】建立空间直角坐标系，用向量方法求角，先求向量B,℃与4B的夹角，再转化为线线角即可， 【详解】如图，由题意，以B为坐标原点，分别以 C,BA,BB 所在直线为乙少2轴，建立空间直角坐标系 B-xyz 不妨设4B=1,则B0,0,0,4(0,1,CL,00,B(0,0,1） 则BC=0,0,-0,4B=0,-1,-1) 则cos(BC,AB) BC.AB 11 BC482x22, 残所成角的苑用为。 则直线BC与4B所成的角为3 故选：C B C 7.已知点0是坐标原点，点是圆x-3+0+4)=1上的动点，点P心-t4),则当实数‘变化时， Pg+P0的最小值为(） A.8 B.7 C.6 D.5 【答案】C 第5页/共24页 学科网组卷网 【解析】 【分析】由点P的坐标特点得到点P在直线上运动，进而转化为一个动点两个定点的距离和最小问题，只 需要再做一次点关于直线对称即可 【详解】 P-1-在直线'，x+y+4=0 上， 圆心4(3,4)关于直线x+y+4=0对称点B(0,-7） 圆4，(-3+0+4=1关于直线'对称圆8：2+0+7= 如图： 连接OB与圆B交直线I于点P,连接PA交圆A于Q, 此时PO+PO最小，(Pg+PO）m=7-1=6, 故选：C 8.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是 =4y,y∈[0,10]， 在凹槽内放入一个清洁 钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为() A.2 B.1 C.2 【答案】C 【解析】 第6页/共24页 命学科网命组卷网 A(0,b)(b>0) 【分析】清洁钢球半径最大，则圆心必在抛物线的对称轴上，因此设圆心为设 圆能过抛 物线底部（即顶点），只要A到抛物线上点的距离的最小值是A到顶点的距离，此距离的最大值即为所求 结论 【详解】设 0,6)6>0),P,》是抛物线上任一点，显然≥0， 抛物线内以A为圆心的圆能过原点，则PA的最小值是O4, PA=Vx2+0y-b)2=V4y+0y-b)2=Vy2+(4-2b)y+b2=Vy+2-b)2+4b-4 所以y=b-2时，PA取得最小值， 若b-2>0,则P点不可能是原点，即抛物线的顶点，不合题意， 若b-2≤0，即0<b≤2，则y=0时，PA=6,此时圆A半径为b,最大值是2 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的是() Aa=-l"是“直线x-y+l=0与直线-w-2=0 相垂直”的充要条件 B.经过点，)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0 C.已知直线'=V3x,则直线的顿斜角为60 D.若两直线：(3+ax+4y=5-4a与2：2x+(5+ay=9平行，则a=-7 第7页/共24页 命学科网 命组卷网 【答案】CD 【解析】 【分析】直接利用直线间的位置关系以及直线平行和垂直的充要条件可得A错误，D正确：分别讨论截距 是否为零可判断B错误，由直线倾斜角与斜率之间的关系可得C正确 【详解】对于A,“直线4x-y+1=0与直线-四w-2=0互相垂直的充要条件是口+a=0, 解得a=0或-1，故A错误； 对于B:经过点（，1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y-2=0或y=x,故B错误： 对于C,已知直线y=V3x,则直线的倾斜角为满足am8=V5,故倾斜角日=60°，枚C正确： 对于D:若两直线：(3+a)x+4y=5-4a与：2x+5+ay=9平行， 所以(a+3a+5)8=0,解得a=-7或1， 当a=-1时，两直线重合，故a=-1舍去，故D正确. 故选：CD 10已知能因C:r+4少=16的左、右焦点分别为5，B,P是C上的任意一点，则《) A.C的离心率为2 B.PF+PF=8 cP的最大值为4+23 D.使∠FPE为直角的点P有4个 【答案】BCD 【解析】 a,b,c 【分析】根据椭圆的标准方程求出 ,由离心率定义判断A,由椭圆定义判断B,由椭圆的几何性质 判断C,根据以线 F5为直径的圆与椭圆交点个数判断D x2.y2 -十 =1 【详解】由原方程可得椭圆标准方程为16'4 第8页/共24页 可学科网命组卷网 a=46=2→c=2v5,e=c=5 a2,故A错误； 由椭圆定义可知lPE+PE=2a=8 故B正确： 由椭圆的性质知PF1lnax=a+c=4+2√ ,故C正确： 易知以线段 5为直径的圆（因为b<c<a)与C有4个交点，故满足∠FPB为直角的点P有4个，故 D正确 故选：BCD 11.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品“十字 贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于 另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点 （该点为所在棱的中点)若该同学绘制的“十字贯穿体"由两个底面边长为2，高为4√2 的正四棱柱构成， 在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，下列说法正确的是() 图① 图② A.GE=6 B.点C的坐标为(-2,2,2W5) C.O,E,F,A四点共面 2 D.直线CE与直线DG所成角的余弦值为3 第9页/共24页 6学科网命组卷网 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出相关点的坐标，利用空间向量的坐标运算求解判断各个选项 【详解】依题意，正方形ABCD的对角线BD=2V2,则BD=V2 所以G2,2,2N2,E0,232),A0,422),F02,V2).D(-1,332).B-13,2) 对于A,GE=V2-02+(2-22+(22-3V2)3=V6,故A正确： 对于B,由DC=B=(-,-,-V2),得C(-2,22W2,放B错误： 对于C,0A=04,22).0E=(02,32,0F=(0,2,V2) 于是0A=20F,又0为三个向量的公共起点，因此9 O,E,F,A 四点共面，故C正确： 对FD,正=20.DG=6-12,os(@,DG- CE.DG 4 .2 CE‖DG√6·2W33· √2 所以直线CE与直线DG所成角的余弦值为3，故D正确。 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 2若直线y2x是双曲线又京=b>0的一条流远 【答案】2 【解析】 【分析】先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即可得解。 】因双曲线x-2=1(b>0)的焦点在x轴上，月 故其渐近线方程为 依题意，易得b=2 yF±bx 第10页/共24页 6学科网6组卷网 故答案为：2. 13.圆×+y+x-2y-20=0与圆+y=25 相交所得公共弦长为. 【答案)45 【解析】 【分析】两圆方程作差得公共孩所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得C到直线'的距腐，最后 由2F-d 即可得解 【详解】记网G:×+y+x-2y-20=0,因9：+少=25， 两个方程作差可得， x-2y+5=0 :x-2y+5=0 所以两圆公共弦所在直线方程为 5 d=- 圆心C2(0,0)到直线，的距离为 P+(2y-5 所以公共弦长为2×V52-(5)=45 故答案为： 4V5 4已吹数不y满足时+号-1测小5x+y-同的取范足为 5 【答案】 0,V6) 【解析】 【分析】根据，的取值正负先确定出曲线图象，然后将问愿转化为“求曲线上的点到√5x+y-V6=0 的距离的6信，最后分类讨论各个象限图象上的点到直线V5x+y-6=0的距离，由此求解出结果 第11页/共24页 6学科网列组卷网 【详解】当x>0,y>0,表示椭圆tx业2 +5=引第一象限的部分： 当x>0,y<0,表示双曲线x-51 =1 第四象限的部分： 当x<0,y>0,表示双曲线x2x业 1 第二象限的部分： 当r<0y<0,x2- 51 不表示任何图形： 当x=0时，y=5,当y=0时，x=1,所以曲线经过，0)，(0，V5)两点， 作出大致图象如图， 5x+y-6 曲线上的点到V5x+y-V6=0的距离为d= √6 根据双曲线方程可得第二、四象限双曲线的渐近线方程都是y=士V5x】 6-0 直线y=-5x与5x+y-6=0距离为 二1 V5+1 曲线第二、四发限上的点到V5x+y-V石=0的能高为1= 5x+y-6 小于且无限接近1， r2 -=1 联立 ，消得 V5x+y-V6=0y10x2-230x+1=0 A=120-40=80>0,且5+x=30x5=1 5x10 所以方程10r-2W30x+1=0有两个正根， 第12页/供24页 6学科网6组卷网 所以直线√5x+y-V6=0与椭圆之+5=第一象限的部分有两个交 考虑到由线第一象限的点到V5x+y-V6=0距离的最小值为0， 当'=一5x+m与椭圆部分在第一象限相切时， y=-5x+m 联立 可得 0x2-25mx+m2-5=0 令A=(-25m-4×10x(m2-5)=0,解得m=士10， 因为切点在第一象限，所以m=V10 此时5x+y-6=0与5x+y-V0=0的距离为 0-65-1<1. 6 n). 所以 故答案为： [0,6)】 5x+y-N6-0 y=-W5x 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15.已知空间三点 -2,02,B(-1L,2,C(-3,0),设=孤，6=4C （1)求和5的夹角9的余弦值 第13页/供24页 6学科网 组卷网 （2)若向量a+b与a-26互相垂直，求k的值 W10 【答案】(1)10 5 (2)2或2 【解析】 【分析】(1)利用空间向量的坐标表示求出4b,再利用向量夹角的坐标表示计算即得 (2)利用垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律，结合(1)中信息列出方程求解即可. 【小问1详解】 由点4(-2,0,2B-1,山2，C(-3,04,得i=AB=(0,1,0),b=AC=（-1,0,2), 所以c0s0= a.b -10 V2×510,所以和6夹角的余弦值为-0 0 10 【小问2详解】 由(1)可得ā+6=化-1，k,2),a-26=(k+2,k,-4) 因为向量a+6与a-26互相垂直， 则ā+6)-(ka-26)=(k-1k+2)+2-8=0 整理可得2k2+k-10=0,解得k=2或 2, 5 所以k的值为2或2 16己知△ABC的顶点 4》，边4B上的高我CH新在的直线方起为+)-1=0，边1C1的车线 BM所在的直线方程为 x-y-1=0 第14页/供24页 学科网列组卷网 (1)求点B的坐标： (2)求直线BC的方程. 【答案】(1) （-1,-4) 7x+y+11=0 (2) 【解析】 【分析】(1)由垂直关系求出直线AB的方程，再求出两直线的交点坐标即得 (2)设出点C的坐标，利用中点坐标公式求出点C坐标，再利用两点式求出直线方程 【小问1详解】 由边1B上的高线CH所在的直线方程为x+y-1=0,彩 0,得直线1B的斜率为1， 直线4B方程为'-1=x-4,即y=x-3 y=x-3 由3x-y-1=0,解得x=-1,y=-4, 所以点B的坐标是 （-1,-4) 【小问2详解】 M2+,1-a 由点C在直线x+y-1=0上，设点C(a,l-a),于是边AC的中点 22在直线3x-y-1=0 上， 第15页/供24页 命学科网命组卷网 -4-3 k三 1 因6+1+0，解得2，即得点C23,直线C的率1上2 所以直线BC的方程为'-3=-7x+2).即7x+y+11=0 ，即 知插圆C:京+京三（之0>之0的右焦点F与抛物线y=4x的焦点重合，且椭圆的房 3· (1)求椭圆C的方程： (2)过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M,V两点， MN=8,求直线方程. =1 【答案】(1)32 (2)y=x-l成y=-x+1 或 【解析】 【分析】(1)利用焦点坐标和离心率可求得椭圆方程： (2)分别时论直线斜率是否存在，联立直线和抛物线方程利用焦点弦公式可得MW 242-8 即得直线方程 【小问1详解】 抛物线广=4x的焦点坐标为L,0) 所以椭圆中c=1, 因为椭图的商心率为3，即e==】日 5 a a3, 所ya=v5,bB2=ad2-c2=3-1=2 第16页/供24页 6学科网命组卷网 x2,y2 所以椭圆方程为了+之=] 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，易知此时 MN=4,不合题意： 所以直线斜率存在，设过抛物线焦点的直线方程为y=k(x-）,如下图所： [y2=4x 联立1y=k(x-1)得k2x2-（22+4)x+K2=0: 设M(y)N,2),则5+名=2+4 k2, 根据焦点弦公式可得MW=+写+p=22+4, 24+2=8 k2=1k=±1 解得 y=x-1y=-x+1 所以直线方程 或 18.在平行六面体 BCD-ABCD中，AB=AM=2.AD=1,∠BAD=∠BM4=∠DMA=60° D D B 第17页/供24页 6学科网 组卷网 (1求4C的长 (2)求4到直线BC的距离： (3)动点P在线段CD上运动，求P.CF的最小值 【答案】(1)V5 、 (2)2 (3)4. 【解析】 【分析】(4)先由8，D,M为基底表示4，再由4C-B+D-4) 求解： (2)先论证4D1BC,BD⊥BC,再利用线面垂直的判定地理明BC上平面4BD,从而4B为 A到直线BC的距离求解： (3)设Cp=CD,由P.CF=PiPC=(PC+CB+BaPC [2-)丽--]丽-4)42-4获解 【小问1详解】 如图所示： D A B 由题知， AB=AA=2,AD=1,∠BAD=∠BAA,=∠DAA,=60° 第18页/供24页 6学科网列组卷网 因为4C=C-瓜=+而-4，所以4G=AB+AD-4 =AB'+AD'+44+24B.AD-24B.A4-2AD.A4, B.4DA01c60-2x1x1】 公 AB.4=4B cos60 =2x2x1-2 2 4D-4=@4cos60=1x2×}l 所以4C=V5,即4C的长度为V5, 【小问2详解】 D=4cos60=2X2，以4D1A0,AD川C 因为 所以4D⊥BC 在AAD巾，BD=VD+4B-2MD-Acos60=+4-2x1x2×)-5】 2 所以4D+BD=AB,即BD⊥BC,又因为4DnBD=D,AD,BDC平面4BD 所以BC⊥平面4BD, 而4BC平面4BD,所4B1BC,即4B为4到直线BC的距离， 而14=AB=2,∠AAB=60,所以三角形14 为等边三角形，即4B=2 即A到直线BC的距离为2， 【小问3详解】 第19页/供24页 学科网命组卷网 设C=CD,则AP.CP=PAPC=(PC+CB+BPC -(ADC-AD-AB)AD.C=(14B-AD-AB14B=(1-1)4B-144-AD(4B-44 =(-)-(-)B-MB+材-B+D -(-1)x2-(2-1)cos60+x2cos60+cos60 =46-川2以-02x2x+4-2×1x2x4切-=2--号 当1、1 1 4时，这时AP.CP的最小，且为4. 19.中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建 筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰：如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆C和圆C组成，F,B是 椭圆的两个焦点，园C以线段F5为直径， B 2 图1 图2 图3 (1)设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ (2)经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米 ①)从F射出的任意一束光线1照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示建模小组的同 F ∠AFB 学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB,B为切点，然后用量角器探究猜测 是定值，请帮他们证明上述猜 第20页/供24页 6学科网6组卷网 想。 ()建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点P是G上的一个动点，P,Q关于原点 对称，过P和P分别作圆的切线，交于风，3，求四边形装饰 PROS 面积°的取值范围。 【答案】(1 2 (2)(i)证明：由测量数据可得2a=4,2c=2, 数9号+苦1.FKL0.药在84 易知直线 4斜率存在，设 A:y=x+D,可得4，-3 3x2+4y2=12 设切线4B:y+3k=m(x+4):联立y+3k=m(x+4): 则(3+4m2）x+8m(4m-3k)x+44m-3}2-12=0 相切可得△=64m(4m-3k'-163+4m)儿(4m-3-3]=0, 则4m(4m-3k)2-(3+4m2)4m-3k+33+4m）=0, 则(4m-32=3+4m2>0 4m(4m-3k)__4m(4m-3k=-_ 4m 切点。=-3+4m (4m-3k)24m-3k, 4m2(3k-4m+(4m-3)(3+4m2）12km2-16m3+12m+16m3-9k-12km2 yR= 3+4m2 3+4m2 _12m-9k_3(4m-3k)_3 3+4m2(4m-3k)24m-3k, 第21页/供24页 6学科网命组卷网 4m B 3 故气4m-3k’4m-3k, -(nn FA=(-3,-3),FB.FA=0, 故FB1EA,则 ∠AEB= 2 (ii) 【解析】 【分析】4)根据>C,即可根据稀圆中 a,b,c 的关系以及离心率公式求解， (2)(i)联立直线与韬圆方程，根据判别式为0可得(4m-3y=3+4>0,进面可得 4m 3 B 4m-3k'4m-3k, 利用向量的坐标运算，即可求证： PROS ()根据法向量可得切线方程，进而根据点到直线的距离公式可得 是平行四边形，结合全等和切 PROS 线长性质可得 是菱形，即可根据三角形相似，结合函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由题意可知椭圆满 hxex0bxcod-0200326<3 故9 2 【小问2详解】 (i)略 ()设动点P(）,则(-，)，不妨设过P(x,)点的两条切线法向量为”=(a,B）, 第22页/共24页 命学科网命组卷网 过(，-%)点的两条切线法向量为乃=(a,b）,均为非零向量， 故切线方程为4(x-)+6(y-%)=0和4(x+)+b,(y+%)=0 la xo +hyol =1 azxo+bayol =1 则满足 va+b2 和 Va+b好 PROS H,G 由此可知两组切线分别对应平行，四边形 是平行四边形，过圆心做一组邻边的垂线，垂足为 P,Q R,S OR=OS,OG⊥PR,OH⊥QS 由于 关于原点对称，故也关于原点对称，又 △ROG=△SOH,PR=PG+RG=PK+KS=PS 故 ,故平行四边形 PROS 是菱形 R G PROS 下面研究菱形 的面积： 过O作PR的垂线GH,则GH=2,由(i)可知 ∠POR= 2,故△POR~△PG0, √dP-1,则°V 段OP则a:吹2R-G解PR三一 其中=+=3+至，d 41 的取值范围是[3,4]， 2t 2 S= Vt-11,1 d2=t √+在[3,4上是单调函数， 故、的取值范围是 3 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件能明显体现几 第23页/共24页 6学科网命组卷网 何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系， PROS 则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将四边形 的面积用表示出来，然后再 利用函数的单调性求解最值. 第24页/共24页 宜春一中2024-2025学年第一学期高二年级期中考试 数学试卷 命题人：朱润勋 审题人：彭武军 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A. B. C. D. 3. 与椭圆共焦点且过点的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直三棱柱中，且，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.） 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 已知直线，则直线的倾斜角为 D. 若两直线与平行，则 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上的任意一点，则（ ） A. C的离心率为 B. C. 的最大值为 D. 使为直角的点P有4个 11. “十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图①是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图②所示的空间直角坐标系，下列说法正确的是（    ） A. B. 点的坐标为 C. ，，，四点共面 D. 直线与直线所成角的余弦值为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12. 若直线是双曲线的一条渐近线，则_____________. 13. 圆与圆相交所得公共弦长为__________． 14. 已知实数满足，则的取值范围是为______. 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分. ） 15. 已知空间三点，设. （1）求和的夹角的余弦值; （2）若向量与互相垂直，求的值. 16. 已知的顶点，边上的高线所在的直线方程为，边上的中线所在的直线方程为． （1）求点的坐标； （2）求直线的方程． 17. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过抛物线焦点的直线和抛物线相交于M，N两点，，求直线方程． 18. 在平行六面体中，，，. （1）求的长； （2）求到直线的距离； （3）动点在线段上运动，求的最小值. 19. 中国古典园林洞门、洞窗具有增添园林意境，丰富园林文化内涵的作用，门、窗装饰图案成为园林建筑中具有文化价值以及文化内涵的装饰.如图1所示的一种椭圆洞窗，由椭圆和圆组成，， 是椭圆的两个焦点，圆以线段为直径， （1）设计如图所示的洞窗，椭圆的离心率应满足怎样的范围？ （2）经测量椭圆的长轴为4分米，焦距为2分米. （i）从射出的任意一束光线照在左侧距椭圆中心4分米的竖直墙壁上，如图2所示.建模小组的同学用长绳拉出椭圆洞窗的切线AB，B为切点，然后用量角器探究猜测是定值，请帮他们证明上述猜想. （ii）建模小组的同学想设计一个如图3的四边形装饰，满足：点是上的一个动点，P，Q关于原点对称，过和分别作圆的切线，交于R，S，求四边形装饰面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $