微专题55 三角函数的实际应用5种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题55 三角函数的实际应用5种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 三角函数在物理中的应用 题型2 三角函数在生活中的应用 题型3 三角函数模型在圆周运动问题中的应用 题型4 三角函数在几何中的应用 题型5 拟合法建立三角函数模型 1、函数(,)中,各参数的物理意义 振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离　　　  周期 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间  频率 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数　　　 相位 时的相位称为初相  2、应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 3、三角函数的应用 （1）三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． （2）用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 4、处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 5、解三角函数应用问题的基本步骤 6、建立函数模型的一般步骤 7、运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． (2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 8、处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤 (1)根据原始数据绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式． (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 题型1 三角函数在物理中的应用 【例1】【多选】如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（    ）    A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3 C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小 【变式1】阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】【多选】在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 【变式3】【多选】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，其中.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（    ）    A． B． C．与时的相对于平衡位置的高度之比为 D．与时的相对于平衡位置的高度之比为2 【变式4】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ） A． B． C． D． 题型2 三角函数在生活中的应用 【例2】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃. 【变式1】如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为（，）（，的单位：），若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t小时，飞机从北京出发向南的飞行距离为，可以近似地表示为，则 ， ． 【变式3】若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示． (1)求该函数的周期； (2)求s时钟摆的高度． 【变式4】【多选】血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0)，他的血压p（t）(mmHg)与经过的时间t（h）满足关系式，则（ ） A．当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升 B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg C．当天陈华没有高血压 D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg 题型3 三角函数模型在圆周运动问题中的应用 【例3】如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是（    ）    A．、、 B．当时，点到轴距离的最大值是 C．当时，函数单调递减 D．当时， 【变式1】【多选】水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（    ） A．水斗作周期运动的初相为 B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加 C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是6 D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6 【变式2】某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时的值； 【变式3】近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义；A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点水平面的竖直距离关于时间t的函数解析式为 ． 题型4 三角函数在几何中的应用 【例4】如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【变式1】如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【变式2】如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场． (1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式； (2)当为多少时，S最大，并求最大值． 题型5 拟合法建立三角函数模型 【例5】海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（    ）（要考虑船只驶出港口需要一定时间） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 A．至 B．至 C．至 D．至 【变式1】弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【变式2】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2 经长期观察，的曲线可近似的满足函数. (1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式； (2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？ $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题55 三角函数的实际应用5种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 三角函数在物理中的应用 题型2 三角函数在生活中的应用 题型3 三角函数模型在圆周运动问题中的应用 题型4 三角函数在几何中的应用 题型5 拟合法建立三角函数模型 1、函数(,)中,各参数的物理意义 振幅 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离　　　  周期 它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间  频率 它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数　　　 相位 时的相位称为初相  2、应用三角函数模型解决问题的一般程序 应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,通过分析它的变化趋势,确定它的周期,从而建立起适当的三角函数模型,解决问题的一般程序如下:  (1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系. (2)建模,分析题目特性,选择适当的三角函数模型. (3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析研究得到数学结论. (4)还原,把数学结论还原为实际问题的解答. 3、三角函数的应用 （1）三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． （2）用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 4、处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 5、解三角函数应用问题的基本步骤 6、建立函数模型的一般步骤 7、运用三角函数模型解决问题的几种类型 (1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． (2)由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． (3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 8、处理曲线拟合与预测问题时，通常需要以下几个步骤 (1)根据原始数据绘出散点图． (2)通过观察散点图，画出与其“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线． (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数解析式． (4)利用函数解析式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据． 题型1 三角函数在物理中的应用 【例1】【多选】如图是某质点作简谐运动的部分图象，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系式是（，，），则（    ）    A．该简谐运动的初相为 B．该简谐运动的周期为3 C．第4秒该质点的位移为 D．当时，位移随着时间的增大而减小 【答案】BD 【分析】先根据函数图象求出函数解析式，结合选项逐个判定即可. 【详解】由图可知，时，，时，，所以,; 因为，所以或； 因为时，，所以，，所以或，； 由图可知周期满足，即，解得，所以，此时； 解析式为，该简谐运动的初相为，周期为，A不正确，B正确； 当时，，位移是，C不正确； 令，当时，， 结合的简图可得，在区间为减函数，D正确. 故选：BD. 【变式1】阻尼器是一种以提供运动的阻力，从而达到减振效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减振装置，被称为“镇楼神器”.某阻尼器模型的运动过程可近似看为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系式为，其中，若该阻尼器模型在摆动过程中连续三次位移为的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器偏离平衡位置的位移的大小小于1.5cm的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意得， 故函数的周期为，则，可得， 位移的大小即，故令，得， ，或, 则， 或者， 故总时间为：，故选：C. 【变式2】【多选】在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】根据函数的图象，，，故，所以； 当时，， 所以，，整理得，， 由于，所以当时，，故． 对于A，，频率为，初相为，故A错误； 对于B：当时，，故B正确； 对于C：由于，故，故，故C错误； 对于D：，则，若在上恰有4个零点， 则，解得， 故的取值范围是，D正确．故选：BD． 【变式3】【多选】如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，其中.小球从最高点出发，经过后，第一次回到最高点，则（    ）    A． B． C．与时的相对于平衡位置的高度之比为 D．与时的相对于平衡位置的高度之比为2 【答案】BD 【解析】由题可知小球运动的周期，所以，解得，故B正确； 当时，. 又，所以，故A错误； 则， 所以与时的相对于平衡位置的高度之比为，故C错误，D正确. 故选：BD. 【变式4】智能主动降噪耳机工作的原理是通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪声，然后通过主动降噪芯片生成与噪声相位相反、振幅相同的声波来抵消噪声（如图）．已知噪声的声波曲线（其中，，）的振幅为1，周期为，初相位为，则通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为1， 则，周期为，则，初相位为，， 所以噪声的声波曲线的解析式为， 所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为．故选：A. 题型2 三角函数在生活中的应用 【例2】某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数（x=1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温为28℃；12月份的月平均气温为18℃，则10月份的平均气温为___________℃. 【答案】20.5 【解析】据题意得 ， 解得 ， 所以 令 得 . 故答案为：20.5 【变式1】如图所示是一个主体高为的螺旋形旋转滑梯.某游客从该滑梯顶端出发一直滑到底部，把其运动轨迹投影到滑梯的轴截面上，得到的曲线对应的方程为（，）（，的单位：），若该游客整个运动过程中相位的变化量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由旋转滑梯高为知，投影到轴截面上后，游客对应在横轴上移动的距离是， 当时，初相为，且游客一直滑到底部，则最后的相位为， 故整个运动过程中，相位的变化量为 ，.故选：D. 【变式2】一架飞机从北京向南飞行1935公里到达广州，假设在广州白云国际机场上空的等待航线是圆形，飞机到达机场上空后，继续沿原航线向南飞行20公里后，开始在直径40公里的圆形等待航线上飞行，飞机每15分钟飞行一周，如图所示，设飞机在等待航线上飞行的时间为t小时，飞机从北京出发向南的飞行距离为，可以近似地表示为，则 ， ． 【答案】 20 【解析】依题意，，而，因此， 又飞机每15分钟飞行一周，则函数的周期小时，因此. 故答案为：20； 【变式3】若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示． (1)求该函数的周期； (2)求s时钟摆的高度． 【答案】(1)s (2)20mm． 【分析】（1）根据函数图象可求出函数的周期； （2）利用函数的周期结合图象求解即可. 【详解】（1）由图象可知，该函数的周期为s； （2）设，因为函数的周期为s， 所以， ∴s时钟摆的高度为20mm． 【变式4】【多选】血压(blood pressure，BP)是指血液在血管内流动时作用于单位面积血管壁的侧压力，它是推动血液在血管内流动的动力．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压．在未使用抗高血压药的前提下，18岁以上成人的收缩压≥140 mmHg或舒张压≥90 mmHg，则说明该成人有高血压．设从未使用抗高血压药的陈华今年45岁，从某天早晨6点开始计算(即早晨6点时，t=0)，他的血压p（t）(mmHg)与经过的时间t（h）满足关系式，则（ ） A．当天早晨6~7点，陈华的血压逐渐上升 B．当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg C．当天陈华没有高血压 D．当天陈华的收缩压与舒张压之差为40 mmHg 【答案】ABD 【解析】由已知，选项A，当天早晨6~7点，则t∈[0，1]，t+∈[]， 所以函数p（t）在[0，1]上单调递增，陈华的血压逐渐上升，故该选项正确； 选项B，当t=3时，p（t）=115+20sin=125， 所以当天早晨9点时陈华的血压为125 mmHg，故该选项正确； 选项C、选项D，因为p（t）的最大值为115+20=135，最小值为115-20=95≥90， 所以陈华的收缩压为135 mmHg，舒张压为95 mmHg， 因此陈华有高血压，故选项C错误 且他的收缩压与舒张压之差为40 mmHg，故选项D正确. 故选：ABD. 题型3 三角函数模型在圆周运动问题中的应用 【例3】如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时秒，经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述错误的是（    ）    A．、、 B．当时，点到轴距离的最大值是 C．当时，函数单调递减 D．当时， 【答案】C 【详解】A选项： 有题意，，， 因从点出发，所以， 代入得， 得，因，所以，故A正确， 选项B： 由A得，， 当时，， 所以， 故点到轴距离的最大值是，B正确； 选项C： 因， 令，， 得，， 故当时，函数不是单调递减的，C错误； 选项D： 当，， 故，，故D正确， 故选：C 【变式1】【多选】水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（    ） A．水斗作周期运动的初相为 B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加 C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是6 D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6 【答案】ACD 【分析】求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质依次判断各选项即可． 【详解】对于选项A：由，则， 且，所以， 当时，点P在点A位置，有，解得， 又因为，所以，故A正确； 对于选项B：由选项A可知， 当，，所以函数先增后减，故B错误； 对于选项C：当，，则， 所以点到轴的距离的最大值为6，故C正确； 对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为， 所以，故D正确． 故选：ACD． 【变式2】某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离与时间的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为分钟． (1)求1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式； (2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时的值； 【答案】(1)；(2)分钟或分钟. 【解析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（，，）， 依题意可得，， ． 依题意，， 当时，，， ． （2）令，即，， ，， 或，解得或， 或时，1号座舱与地面的距离为17米． 【变式3】近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进．农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置．如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为，圆上两点A，B始终满足，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化．现定义；A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值．假设运动开始时刻，即秒时，点A位于圆心正下方：则秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点水平面的竖直距离关于时间t的函数解析式为 ． 【答案】 【解析】记时，点对应的角为，则点对应的角为， 设为，两点的竖直距离， 由题意可知， 由题意可知秒后，点所对应的角为：， 此时点所对应的角为：， 所以， ， 由题意可得 ． 故答案为：． 题型4 三角函数在几何中的应用 【例4】如图，已知OAB是半径为2千米的扇形，，C是弧AB上的动点，过点C作，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由△AOC和矩形ODEH组成，且，若风景区的修建费为100万元/平方千米，则该风景区的修建最多需要（    ） A．260万元 B．265万元 C．255万元 D．250万元 【答案】D 【分析】设，，利用表示风景区的面积，求出最大值，进而可求得该风景区的修建最多需要多少费用． 【详解】设，，则，， 所以矩形ODEH的面积， 又， 所以风景区面积， 当时，有最大值，故最多需要万元的修建费． 故选：D． 【变式1】如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，求当取何值时，矩形的面积最大？并求出最大面积． 【答案】，矩形的面积最大，为． 【分析】由题意可得，，从而可得矩形的面积，再由可得，由此可得当时，取得最大值. 【详解】在中，，， 在中，， 所以， 所以， 设矩形的面积为，则 ， 由，得， 所以当，即时，， 因此，当时，矩形的面积，最大面积为. 【变式2】如图所示，是一声边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形草地，是弧上一点，其余部分都是空地，现开发商想在空地上建造一个有两边分别落在和上的长方形停车场． (1)设，长方形的面积为S，试建立S关于的函数关系式； (2)当为多少时，S最大，并求最大值． 【答案】(1)，． (2)时，面积最大为 【分析】（1）利用三角函数定义，结合图形直接表示即可； （2）令换元，然后由二次函数性质可解. 【详解】（1）延长交于，设， 则，， ，． ，． （2）设， ，知，，， ． 当，即时，有最大值． 答：长方形停车场面积的最大值为平方米． 题型5 拟合法建立三角函数模型 【例5】海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为米，安全间隙（船底与海底距离）为米，该船在开始卸货，吃水深度以米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择（）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港口的时间大概控制在（    ）（要考虑船只驶出港口需要一定时间） 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 A．至 B．至 C．至 D．至 【答案】C 【分析】根据题意，求出函数的表达式为，即可得解. 【详解】由题意得，函数的周期为，振幅，所以， 又因为达到最大值， 所以由，可得， 所以，所以函数的表达式为， 令，解得，所以在可安全离港， 故选：C 【变式1】弹簧振子的振动是简谐振动.下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的事件t与位移s之间的测量数据，那么能与这些数据拟合的振动函数的解析式为（    ） t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 s 0.1 10.3 1.7 20.0 17.7 10.3 0.1 A．， B． C． D．， 【答案】D 【解析】设简谐振动的解析式为，其中 由表格可知：振幅，周期，过点， 由周期，且，可得， 由过点，可得，即，则， 可得， 所以简谐振动的解析式为.故选：D. 【变式2】海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据： 0 3 6 9 12 15 18 21 24 2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2 经长期观察，的曲线可近似的满足函数. (1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式； (2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？ 【答案】(1)图象见解析，；(2) 【解析】（1）函数简图如下： ， 过点， 则， 的一个解析式可以为 （2）由题意得：即， 或 解得或 又，解得 又 故开放时间共. $$