5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象（五大题型）（讲义，含配套课件）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 3 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 3 题型二：含绝对值的三角函数 5 题型三：解三角不等式问题 5 题型四：与三角函数有关的零点问题 6 题型五：识图问题 7 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：正弦函数图象的画法 1、描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法． 2、几何法 利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象． 3、五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象． 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 知识点诠释： （1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点． （2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象． 知识点二：正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 知识点诠释： （1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数． 知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象； 2、写出适合不等式在区间上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集． 【典型例题】 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 【典例1-1】用“五点法”作出，的简图. 【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数，的简图： 【方法技巧与总结】 1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点． 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换． 【变式1-1】（2024·高一·全国·单元测试）已知，画出在上的图象． 【变式1-2】作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【变式1-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：    x 0 π 2π 题型二：含绝对值的三角函数 【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 【方法技巧与总结】 分类讨论解决绝对值问题 【变式2-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知函数，． （1）作出函数的图象； （2）求方程的解． 【变式2-2】（2024·高一·全国·课前预习）作函数的图象. 【变式2-3】（2024·高一·上海·课后作业）作出函数的图像． 题型三：解三角不等式问题 【典例3-1】（2024·高一·北京延庆·期中）不等式的解集为 ． 【典例3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【方法技巧与总结】 用三角函数的图象解（或）的方法 （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 【变式3-1】（2024·高三·全国·专题练习）在内，不等式的解集是 ． 【变式3-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）当时，不等式的解集是 ． 【变式3-3】（2024·高一·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 . 【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 题型四：与三角函数有关的零点问题 【典例4-1】（2024·高一·上海·随堂练习）函数，的图象与直线的交点个数为 ． 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数的图像与直线的交点有 个. 【方法技巧与总结】 方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ． 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数的图象与的图象在上的交点个数为 . 【变式4-3】（2024·高一·上海浦东新·期中）定义在区间上的函数与的图象的交点个数为 . 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）函数，的图像与直线的交点坐标为 ． 【变式4-5】（2024·高一·湖南·课后作业）函数，的图象与直线的交点有 个． 【变式4-6】（2024·高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 题型五：识图问题 【典例5-1】（2024·高三·河南·阶段练习）函数的大致图像为（   ） A．     B．   C．   D．   【典例5-2】（2024·青海海东·模拟预测）函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除． 【变式5-1】（2024·高三·江西宜春·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数在的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高一·河南省直辖县级单位·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-4】（2024·高三·广东深圳·阶段练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【变式5-5】（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数，则在上的大致图像是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象 01 02 03 04 目录 CONTENTS 思维导图 知识梳理 真题模拟题 典型例题 01 思维导图 思维导图 02 知识梳理 知识梳理 1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)， ， ， ，(2π，0). (2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)， ， ， ，(2π，1). (π，0) (π，－1) 知识梳理 2.正弦、余弦数的图象 函数 y＝sin x y＝cos x 图象     03 典型例题 【典例1-1】用“五点法”作出，的简图． 【解析】列表： 描点、连线，如图． 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 典型例题 【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数 ，的简图： 【解析】列表 描点，连线，如图所示： 【方法技巧与总结】 1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点． 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换． 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·全国·单元测试）已知，画出在上的图象． 【解析】∵， ∴， 列表： 描点，连线，如图所示． 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 典型例题 【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 【解析】， 的图象如下图所示， 题型二：含绝对值的三角函数 典型例题 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 【解析】函数， 其图如下所示： 【方法技巧与总结】 分类讨论解决绝对值问题 题型二：含绝对值的三角函数 典型例题 【变式2-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知函数，． （1）作出函数的图象； （2）求方程的解． 【解析】（1）当时，，则； 当时，，则． ，函数的图象如下图所示： （2）当时，令，即，得，解得； 当时，令，得，该方程无解． 综上所述，方程的解为． 题型二：含绝对值的三角函数 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·北京延庆·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】在的解集为， 结合的周期为可知， 不等式的解集为． 故答案为：． 题型三：解三角不等式问题 典型例题 【典例3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由得， 所以，解得 不等式的解集为 【方法技巧与总结】 用三角函数的图象解（或）的方法 （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 题型三：解三角不等式问题 典型例题 【变式3-1】（2024·高三·全国·专题练习）在内，不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为在上单调递减，且， 所以在上，由，得； 而在上单调递增，且， 所以在上，由，得； 综上，，即． 故答案为：． 题型三：解三角不等式问题 典型例题 【变式3-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）当时， 不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由可得：， 所以， 解得：， 因为， 所以，， 所以原不等式的解集为：， 题型三：解三角不等式问题 典型例题 【典例4-1】（2024·高一·上海·随堂练习）函数，的图象与直线的交点个数为 ． 【答案】2 【解析】令，，，， 所以或，故所求为2． 故答案为：2． 题型四：与三角函数有关的零点问题 典型例题 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数的图像与直线的交点有 个． 【答案】2 【解析】作出函数的图像与直线， 如图所示： 所以交点个数为2． 故答案为：2 【方法技巧与总结】 方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 题型四：与三角函数有关的零点问题 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，得 画出函数的图象，如下图所示： 由图象可知， 当时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点． 故答案为： 题型四：与三角函数有关的零点问题 典型例题 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数的图象与的图象在上的交点个数为 ． 【答案】 【解析】作出函数与在上的图象， 如图所示： 由图可知，两函数图象在上有个交点． 故答案为： 题型四：与三角函数有关的零点问题 典型例题 【典例5-1】（2024·高三·河南·阶段练习）函数的大致图像为（   ） A．     B．   C．    D．   【答案】D 【解析】函数定义域为， 又因为， 所以函数是奇函数，函数图像关于原点对称，故A和B错误； 当时，则，故C错误． 故选：D． 题型五：识图问题 典型例题 【典例5-2】（2024·青海海东·模拟预测）函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知f（x）是偶函数，排除B，C项； 当时，，所以，排除A项． 故选：D 【方法技巧与总结】 利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除． 题型五：识图问题 典型例题 【变式5-1】（2024·高三·江西宜春·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征．函数在的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，为奇函数，排除A ，，， 故选：D 题型五：识图问题 典型例题 【变式5-2】图中的曲线对应的函数解析式是（  ）   A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件． 故选：C． 题型五：识图问题 典型例题 04 真题模拟题 真题模拟题 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·福建·模拟预测）若函数在上有零点，则整数A的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 A A C $$ 5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象 目录 【题型归纳目录】 2 【思维导图】 2 【知识点梳理】 2 【典型例题】 3 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 3 题型二：含绝对值的三角函数 6 题型三：解三角不等式问题 8 题型四：与三角函数有关的零点问题 11 题型五：识图问题 14 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：正弦函数图象的画法 1、描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法． 2、几何法 利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象． 3、五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象． 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 知识点诠释： （1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点． （2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象． 知识点二：正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 知识点诠释： （1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质． （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数． 知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象； 2、写出适合不等式在区间上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集． 【典型例题】 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 【典例1-1】用“五点法”作出，的简图. 【解析】列表： x 0 0 0 1 0 2 1 2 3 2 描点、连线，如图. 【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数，的简图： 【解析】列表 0 0 1 0 0 0 描点，连线，如图所示： 【方法技巧与总结】 1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点． 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换． 【变式1-1】（2024·高一·全国·单元测试）已知，画出在上的图象． 【解析】∵， ∴， 列表： x 0 2 1 1 2 描点，连线，如图所示． 【变式1-2】作出下列函数的大致图像： (1)，； (2)，． 【解析】（1） 列表如下 作出图象，如图所示. （2）函数的图象如下图所示： 函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到： 【变式1-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：    x 0 π 2π 【解析】补充完整的表格如下： x 0 π 2π 1 3 5 3 1 描点、连线得函数的图象如图所示， 题型二：含绝对值的三角函数 【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）画出函数的简图． 【解析】， 的图象如下图所示， 【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像． 【解析】函数， 其图如下所示： 【方法技巧与总结】 分类讨论解决绝对值问题 【变式2-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知函数，． （1）作出函数的图象； （2）求方程的解． 【解析】（1）当时，，则； 当时，，则. ，函数的图象如下图所示： （2）当时，令，即，得，解得； 当时，令，得，该方程无解. 综上所述，方程的解为. 【变式2-2】（2024·高一·全国·课前预习）作函数的图象. 【解析】 故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图 【变式2-3】（2024·高一·上海·课后作业）作出函数的图像． 【解析】由三角函数的基本关系式，可得，， 当时，函数； 当时，函数； 当时，函数； 结合余弦函数的图象，可得函数图象，如图所示： 题型三：解三角不等式问题 【典例3-1】（2024·高一·北京延庆·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】在的解集为，结合的周期为可知，不等式的解集为. 故答案为：. 【典例3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由得， 所以，解得 不等式的解集为 故答案为： 【方法技巧与总结】 用三角函数的图象解（或）的方法 （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 【变式3-1】（2024·高三·全国·专题练习）在内，不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】因为在上单调递减，且， 所以在上，由，得； 而在上单调递增，且， 所以在上，由，得； 综上，，即. 故答案为：. 【变式3-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）当时，不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】由可得：， 所以， 解得：， 因为， 所以，， 所以原不等式的解集为：， 故答案为： 【变式3-3】（2024·高一·上海·课后作业）在内，不等式的解集是 . 【答案】 【解析】画出，的草图如下： 当时，由，得，又， 观察图象，当时， 所以不等式的解集是. 故答案为： 【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）不等式，的解集为 . 【答案】 【解析】作出在上的图象如图所示， 由图象可知：不等式的解集为. 故答案为：. 题型四：与三角函数有关的零点问题 【典例4-1】（2024·高一·上海·随堂练习）函数，的图象与直线的交点个数为 ． 【答案】2 【解析】令，，，，所以或，故所求为2. 故答案为：2. 【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数的图像与直线的交点有 个. 【答案】2 【解析】作出函数的图像与直线，如图所示： 所以交点个数为2. 故答案为：2 【方法技巧与总结】 方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，得 画出函数的图象，如下图所示： 由图象可知， 当时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点． 故答案为： 【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数的图象与的图象在上的交点个数为 . 【答案】 【解析】作出函数与在上的图象， 如图所示： 由图可知，两函数图象在上有个交点. 故答案为： 【变式4-3】（2024·高一·上海浦东新·期中）定义在区间上的函数与的图象的交点个数为 . 【答案】16 【解析】由于，故为偶函数， 因为也为偶函数，故考虑的情况，画出图像，如图所示： 共有个交点，且时，没有交点，故共有16个交点. 故答案为：16 【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）函数，的图像与直线的交点坐标为 ． 【答案】或 【解析】因为，令，即，则， 所以或， 因为，所以或， 所以函数，的图像与直线的交点坐标为或. 故答案为：或 【变式4-5】（2024·高一·湖南·课后作业）函数，的图象与直线的交点有 个． 【答案】2 【解析】作，的图象及直线如下所示，知两函数图象有两个交点． 故答案为：2 【变式4-6】（2024·高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令得． 作出在上的图像， 如图所示． 要使函数在上有两个零点， 需满足，所以． 故答案为：． 题型五：识图问题 【典例5-1】（2024·高三·河南·阶段练习）函数的大致图像为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】D 【解析】函数定义域为， 又因为， 所以函数是奇函数，函数图像关于原点对称，故A和B错误； 当时，则，故C错误. 故选：D. 【典例5-2】（2024·青海海东·模拟预测）函数在上的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】易知f(x)是偶函数，排除B，C项； 当时，，所以，排除A项. 故选：D 【方法技巧与总结】 利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除． 【变式5-1】（2024·高三·江西宜春·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数在的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据奇偶性排除A，取特殊值，得到答案D，为奇函数，排除A ，，， 故选：D 【变式5-2】图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件. 故选：C. 【变式5-3】（2024·高一·河南省直辖县级单位·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的图象在纵轴右侧先单调递增再递减， 又和在纵轴右侧均先递增，而和在纵轴右侧均先递减，由复合函数的单调性可排除B、C， 若，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象不符，故D错误； 而，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象相符，故A正确. 故选：A 【变式5-4】（2024·高三·广东深圳·阶段练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数定义域为关于原点对称， 且， 则函数为偶函数，故BD错误； 当时，，故A错误，C正确； 故选：C 【变式5-5】（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）已知函数，则在上的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，， 即函数为上的奇函数，所以其图象关于原点对称，排除AB； 不妨取，则，排除D， 故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 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