5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象（五大题型）（精练）-2024-2025学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象 目录 【题型归纳】 2 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 2 题型二：含绝对值的三角函数 3 题型三：解三角不等式问题 3 题型四：与三角函数有关的零点问题 4 题型五：识图问题 4 【重难点集训】 5 【高考真题】 8 【题型归纳】 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 1．（2024·高一·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 2．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.    3．（2024·高一·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图． (1)； (2)． 4．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 5．（2024·高一·全国·课后作业）用“五点法”作出函数的简图． 题型二：含绝对值的三角函数 6．（2024·高三·全国·专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)； (2). 题型三：解三角不等式问题 7．（2024·高一·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 8．（2024·高一·安徽合肥·期末）在内不等式的解集为 ． 9．（2024·高一·上海嘉定·期中）已知是定义在（0，3）上的函数，的图象如图所示，则不等式的解集是 . 10．（2024·高一·上海·课后作业）根据正弦函数的图象可得不等式（）的解集为 ． 题型四：与三角函数有关的零点问题 11．（2024·高一·陕西宝鸡·期末）与交点个数为 个． 12．（2024·高一·全国·课后作业）函数y＝sin x＋2|sin x|在[0，2π]上的图象若与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 ，若与直线有四个不同的交点，则k的取值范围是 ． 13．（2024·高一·上海·课后作业）函数，的图像与直线的交点有 个． 14．（2024·高一·全国·课后作业）函数的图象与直线的交点共有 个. 题型五：识图问题 15．（2024·高一·江苏无锡·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 16．（2024·高一·全国·课后作业）函数，的图像是（    ）． A． B． C． D． 17．（2024·高一·全国·课后作业）函数，的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   18．（2024·高三·全国·阶段练习）已知某函数图象如下图所示，则此函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【重难点集训】 1．（2024·高一·全国·单元测试）方程的实数根的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2024·高一·海南海口·期末）若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高一·北京·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·四川绵阳·阶段练习）若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北·一模）已知函数的部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 6．（2024·高一·湖北·期末）已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（9-10高一下·山西·阶段练习）图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 8．（2024·高一·湖北·期末）已知函数在上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知（），若方程在区间上恰有3个实根，则的取值可能是（    ） A． B．1 C． D． 10．（多选题）（2024·高一·贵州黔东南·期末）已知函数在上恰有3个零点，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C． D． 11．（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）函数，的图象与直线的交点个数可能是（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高一·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 13．（2024·高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 14．（2024·高一·上海·课后作业）已知函数，，则方程的所有根的和等于 . 15．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数为偶函数，求的最小值． 16．（2024·高一·江苏·课后作业）画出函数在长度为一个周期闭区间上的大致图象. 17．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，直接写出的最小正周期； (2)当时，作出函数的简图，借助图象判断的最小正周期. 【高考真题】 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024·福建·模拟预测）若函数在上有零点，则整数A的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象 目录 【题型归纳】 2 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 2 题型二：含绝对值的三角函数 5 题型三：解三角不等式问题 6 题型四：与三角函数有关的零点问题 8 题型五：识图问题 10 【重难点集训】 12 【高考真题】 20 【题型归纳】 题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 1．（2024·高一·上海·随堂练习）请用“五点法”作出下列函数在区间的图象： (1)； (2). 【解析】（1）列表如下： 0 1 0 -1 0 1 0 -1 -2 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： （2）列表如下： 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 -1 0 描点连线，画出函数的图，如下图所示： 因为是偶函数，利用函数的奇偶性画出的完整的图，如下图所示： 2．（2024·高一·全国·专题练习）已知函数．用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图象.    【解析】列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图象如图： 3．（2024·高一·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图． (1)； (2)． 【解析】（1）①取值列表如下： x 0 π 2π sinx 0 1 0 －1 0 1－sinx 1 0 1 2 1 ②描点连线，如图所示. （2）①取值列表如下： x 0 π 2π cosx 1 0 －1 0 1 －1＋cosx 0 －1 －2 －1 0 ②描点连线，如图所示． 4．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数 请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 0 x 【解析】令，得： 0 x 0 1 0 0 画出函数在一个周期的图象，如图， 5．（2024·高一·全国·课后作业）用“五点法”作出函数的简图． 【解析】（1）列表： 0 1 0 0 1 1 1 （2）描点，连线可得函数在上的图象，将函数图象向左、向右平移（每次个单位长度），就可以得到函数的图象，如图所示． 题型二：含绝对值的三角函数 6．（2024·高三·全国·专题练习）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ (1)； (2). 【解析】（1）， 将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. . （2）， 将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. . 题型三：解三角不等式问题 7．（2024·高一·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】 画出的图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故答案为： 8．（2024·高一·安徽合肥·期末）在内不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】∵， ∴， 根据余弦曲线可得， ∴. 故答案为： 9．（2024·高一·上海嘉定·期中）已知是定义在（0，3）上的函数，的图象如图所示，则不等式的解集是 . 【答案】 【解析】由图象可知：时，； 当时，． 又余弦函数在时，时， 当时，， 故答案为：． 10．（2024·高一·上海·课后作业）根据正弦函数的图象可得不等式（）的解集为 ． 【答案】 【解析】当时，由，得或， 结合正弦函数的图象可知：不等式（）的解集为. 故答案为：. 题型四：与三角函数有关的零点问题 11．（2024·高一·陕西宝鸡·期末）与交点个数为 个． 【答案】 【解析】作出函数与的大致图象，如图： 因为，，，， 且两个函数图象均关于原点对称，所以两个函数图象有个交点， 故答案为： 12．（2024·高一·全国·课后作业）函数y＝sin x＋2|sin x|在[0，2π]上的图象若与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是 ，若与直线有四个不同的交点，则k的取值范围是 ． 【答案】 1<k<3 0<k<1 【解析】先写出分段函数，结合正弦函数图象作出分段函数的图象和直线，数形结合即得有两个和有四个不同的交点时参数k的取值范围.y＝sin x＋2|sin x| ， 故在同一坐标系中作出分段函数的图象和直线，如图所示， 若有两个不同的交点，则1<k<3； 若有四个不同的交点，则0<k<1． 故答案为：1<k<3；0<k<1． 13．（2024·高一·上海·课后作业）函数，的图像与直线的交点有 个． 【答案】2 【解析】令，即，，或， 所以函数，的图像与直线的交点有2个. 故答案为：2. 14．（2024·高一·全国·课后作业）函数的图象与直线的交点共有 个. 【答案】4 【解析】当时，求得，当时，求得，在同一坐标系中画出画出两个函数的图象，结合图象，即可求解.由题意，函数， 当时，，则； 当时，，则， 在同一坐标系中画出与的图象，如图所示， 可的在范围内两者有4个交点. 故答案为：4. 题型五：识图问题 15．（2024·高一·江苏无锡·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数是定义域上的奇函数 其图象关于原点对称，排除选项D； 当时，，此时， ∴当时，的图象在轴上方，排除选项B； 当时，，的图象在轴下方，排除选项C； 综上所述，函数的大致图象为选项A. 故选：A. 16．（2024·高一·全国·课后作业）函数，的图像是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为与的图像关于轴对称，只有D符合题意. 故选：D 17．（2024·高一·全国·课后作业）函数，的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【解析】利用代入特殊值法进行排除，再结合正弦函数的单调性，即可得结果.时，故CD错误； 时，单调递增，故单调递减，所以函数单调递减，故A错误，B正确. 故选：B. 18．（2024·高三·全国·阶段练习）已知某函数图象如下图所示，则此函数的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析各选项中函数的奇偶性及其在轴右侧函数值符号变化，结合图象可得出合适的选项.根据题意，由图象可得：该函数为偶函数，且在轴右侧，先为正值，后为负值，据此分析选项，四个选项中函数的定义域均为. 对于A选项，，， 该函数为偶函数，当时，，，则，不合乎题意； 对于B选项，，， 该函数为偶函数，当时，，，则，合乎题意； 对于C选项，，， 该函数为奇函数，不合乎题意； 对于D选项，，， 该函数为奇函数，不合乎题意. 故选：B. 【重难点集训】 1．（2024·高一·全国·单元测试）方程的实数根的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由，得，即， 方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数， 当时，两函数图象如图所示， 两图象有3个公共点，同理，当时，两图象也有3个公共点， 故两图象共有6个公共点，从而方程有6个实数根． 故选：C. 2．（2024·高一·海南海口·期末）若函数，（，）图象的相邻两个对称中心之间的距离为，且恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为图象的相邻两个对称中心之间的距离为，所以，即， 又，所以，解得， 所以，又恒成立，所以， 解得，又，所以. 故选：B 3．（2024·高一·北京·期中）设a是实数，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，显然， 对A，由图知，根据，则，则，则， 则其最小正周期，其最小值应为，则A中图象满足题意； 对B，显然因为不恒为0，则B错误； 对C，由图知，根据A可知，但图中其最小正周期小于，故矛盾，故C错误； 对D，由图知，则，则， 则其最小正周期，但由图易知其最小正周期大于，故矛盾，则D错误； 故选：A. 4．（2024·高一·四川绵阳·阶段练习）若函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以，解得， 所以实数的最大值是. 故选：D. 5．（2024·河北·一模）已知函数的部分图象如下，与其交于A，B两点．若，则（    ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】令，则，，， 则，且，所以. 故选：A 6．（2024·高一·湖北·期末）已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 因为函数在区间上有2个零点， 所以，解得， 即的取值范围是 故选：C. 7．（9-10高一下·山西·阶段练习）图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A选项，当时，，A选项不满足条件； 对于B选项，当时，，，B选项不满足条件； 对于C选项，令，该函数的定义域为，， 故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当时，，D选项不满足条件. 故选：C. 8．（2024·高一·湖北·期末）已知函数在上恰有5个不同的x值，使其取到最值，则正实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数， 当时，， 在上恰有5个不同的x值，使其取到最值； ，，则正实数， 故选：A. 9．（多选题）（2024·高一·湖南长沙·阶段练习）已知（），若方程在区间上恰有3个实根，则的取值可能是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】BC 【解析】由，得，解得或， 当时，，则的可能取值为，，，，…， 由在上恰有3个实根，得，解得， 所以的取值范围是，的取值可能是1，. 故选：BC 10．（多选题）（2024·高一·贵州黔东南·期末）已知函数在上恰有3个零点，则的值可能为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】BC 【解析】由，得， 则，解得，选项中只有5和满足. 故选：BC 11．（多选题）（2024·高三·全国·专题练习）函数，的图象与直线的交点个数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由题意可得， 作出函数、的图象如下图所示： 当或时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象有两个交点； 当或时，直线与函数的图象有三个交点； 当时，直线与函数的图象有四个交点. 故选：ABC. 12．（2024·高一·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 【答案】5 【解析】方程的实数解的个数， 即为函数与图象交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数共有5个交点， 所以方程的实数解的个数为5. 故答案为：5. 13．（2024·高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令得． 作出在上的图像， 如图所示． 要使函数在上有两个零点， 需满足，所以． 故答案为：． 14．（2024·高一·上海·课后作业）已知函数，，则方程的所有根的和等于 . 【答案】0 【解析】函数与函数的图象如下图所示 不妨设方程的所有根从小到大为， 由对称性可知， 则方程的所有根的和等于0. 故答案为：0 15．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数为偶函数，求的最小值． 【解析】（1）函数，且两相邻对称中心之间的距离为， 则，解得． 函数的图象关于直线对称，则， 解得． 由于，则， 故函数． 所以的最小正周期． 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）函数为偶函数， 则， 得，解得， 当时，． 16．（2024·高一·江苏·课后作业）画出函数在长度为一个周期闭区间上的大致图象. 【解析】函数的周期为，列表如下： 故函数在区间上的图象如下图所示： 17．（2024·高一·全国·课后作业）已知函数. (1)当时，直接写出的最小正周期； (2)当时，作出函数的简图，借助图象判断的最小正周期. 【解析】（1）当时，，函数图象如图所示： 观察图象可知， 当时，函数的最小正周期为 （2）当时，，函数图象如图所示： 观察图象可知，当时，函数的最小正周期为. 【高考真题】 1．（2024·陕西榆林·模拟预测）方程在内实数根的个数为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【解析】由，得， 方程实根的个数就是函数与图象公共点的个数， 当时，由两函数图象可知两图象共有11个公共点，从而方程有11个实数根． 故选：A 2．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为函数是偶函数，所以， 即， 所以，所以，即，故A正确. 故选：A. 3．（2024·福建·模拟预测）若函数在上有零点，则整数A的值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由于函数在上有零点， 所以方程在上有实数根， 即与在上有交点， 令，则，当，单调递减， 故在区间上最多只有1个零点， 又，即， 解得，由于A是整数，所以. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$