专题6.6 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式（6大知识点10类题型）（知识点梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题6.6 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式（6大知识点10类题型）（知识点梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 【知识点2】一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【要点提示】 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 【知识点3】方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【知识点4】一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 【要点提示】求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0，从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 【知识点5】一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 【知识点6】如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 考点与题型目录 【考点一】一次函数与二元一次方程组 【题型1】两直线的交点与二元一次方程组的解...................................3 【题型2】图象法解二元一次方程组.............................................6 【题型3】求直线围成的图形面积...............................................8 【考点二】一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 【题型4】已知直线与坐标轴交点求方程的解.....................................12 【题型5】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点.............................15 【题型6】利用图象法解一元一次方程由直线与坐标轴的交点求不等式的解集.........19 【题型7】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集.................................22 【题型8】根据两条直线的交点求不等式的解集...................................24 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型9】直通中考...........................................................27 【题型10】拓展延伸..........................................................29 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)16 (2)或 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）当时，可求；当时，可求，则，计算求解即可； （2）联立，可求，则，由，可得，可求，进而可求点坐标． 解：（1）当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为16； （2）联立， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点坐标为或． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识．解题的关键是了解二元一次方程组的解与两个二元一次方程整理成的一次函数图象的交点坐标的关系．将点A的横坐标代入求得其纵坐标，然后即可确定方程组的解． 解：∵直线过点， ∴， ∴， ∴， ∵直线与直线交于点A， ∴关于x、y的方程组的解为：， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线：和直线 ：相交于点 B，若直线 上一点M 到直线 的距离是 5 ，则点M 的坐标为 ． 【答案】或 【分析】如图，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为，可求，，联立，可求，由，可得是直角三角形，，即，由直线 上一点M 到直线 的距离是 5，可得，设，则，计算求解，进而可求坐标． 解：如图，记直线与轴的交点为，直线与轴的交点为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， 联立， 解得，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∵直线 上一点M 到直线 的距离是 5， ∴， 设，则， 解得，， ∴或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了直线交点，勾股定理，勾股定理逆定理，点到直线的距离等知识．熟练掌握直线交点，勾股定理，勾股定理逆定理，点到直线的距离是解题的关键． 【题型2】图象法解二元一次方程组 【例2】（22-23八年级上·全国·课后作业）利用一次函数的图象求二元—次方程组的解． 【答案】 【分析】在同一坐标系中作出函数和的图像，交点的横纵坐标即为二元一次方程组的解． 解： 在同一坐标系中作出函数和的图像，两图像交点坐标为， ∴二元—次方程组的解为． 【点拨】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握利用一次函数图像交点求对应二元一次方程组的解是解题关键． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键． 解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得 若，则， ∴B错误，符合题意； 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小， ∴D正确，不合题意． 故选：B． 【变式2】（21-22八年级下·湖南长沙·期中）如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为 ． 【答案】 【分析】根据函数的图像即可得． 解：由图像得，两直线相交于点（2，3）， ∴方程组的解为：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了函数图像求二元一次方程组的解，解题的关键是掌握函数的图像． 【题型3】求直线围成的图形面积 【例3】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交点A的横坐标为2，将直线沿轴向下平移4个单位长度，得到直线，直线与轴交于点B，与直线交于点C，点C的纵坐标为．直线与轴交于点D． (1)求点A与点C的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)A的坐标为，点C的坐标为； (2)16 【分析】（1）把点A的横坐标代入中，求得点A的纵坐标，得到点A的坐标；由平移得的解析式，则可求得直线与y轴的交点B的坐标，将点C的纵坐标代入中求得x的值，从而求得点C的坐标； （2）待定系数法求出直线的解析式为，则可求得点D的坐标，根据点B的坐标得，由三角形面积公式即可求解． 解：（1）把代入，得， ∴A的坐标为． ∵将直线沿y轴向下平移4个单位长度，得到直线， ∴直线的解析式为， ∴时，， ∴． 将代入，得， ∴点C的坐标为． （2）设直线的解析式为， ∵直线过、， ∴，解得，      ∴直线的解析式为； ∵， ∴时，， ∴． ∵， ∴，       ∴的面积． 【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，直线上点的坐标特征，求直线围成的图形面积，一次函数图象的平移等知识．正确求出直线的解析式是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2023）．则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数（，，为常数）与坐标轴所围成的三角形的面积计算．要学会计算一次函数与坐标轴的交点坐标．同时考查了运用为自然数）进行计算的方法．先求出直线与坐标轴的两交点坐标分别为，；然后计算，再分别计算，，最后把它们相加即可． 解：令，则；令，则；所以直线与坐标轴的两交点坐标分别为，，． 所以，为自然数）， 当，； 当，； ； 当，； 则． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数的图象，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的求法，解题的关键是综合运用相关知识进行推理． 过点B作轴于C，先得出为等腰直角三角形，再推出为等腰直角三角形，结合勾股定理可求出，的长，继而可得出结果． 解：过点作轴于， ∵点在直线上，设点的坐标为， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 又， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 又点的坐标为， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的面积=． 故答案为：1 【题型4】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例4】（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集________； (3)为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)的值是，的值是；(2)；(3)的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，点的坐标与函数的特征等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由直线过点，且点的横坐标为1，可求得点的坐标，由直线经过、两点坐标，用待定系数法即可求得、的值即可； （2）由得，观察图象，函数的图象位于函数的图象上方时，自变量的取值即为不等式的解集； （3）由直线的解析式可求得点的坐标，从而得的长，设点的横坐标为，则可表示点、的坐标，从而表示，由列方程即可求得的值，则可得点的坐标． 解：（1）解：在中，当时，， ∴， 把，代入得：， 解得：， ∴的值是，的值是． （2）∵， ∴， 由图象可得，当时，直线在直线上方， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． （3）由（1）知，直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：或 ∴的坐标为或． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，两点在该函数图象上，则 C．方程的解是 D．一次函数的表达式为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据一次函数的图象和性质，以及待定系数法求函数解析式，逐一进行判断即可． 解：由图象可知，直线与轴交于点，与轴交于点，随的增大而减小， 把，代入解析式，得：，解得：， ∴一次函数的表达式为，故D选项正确； ∴，故A选项错误； 方程的解是，故C选项错误， 若，两点在该函数图象上，则，故B选项错误； 故选D． 【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及轴对称的性质，折叠的性质，勾股定理，根据题意得出、两点的坐标是解题的关键． 先求出两点的坐标，故可得出的长，再由轴对称的性质得出，故可得出点坐标，进而可得出结论． 解：直线与轴、轴分别交于点和点， ∴当，， 当时，， ∴， ，， ， 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， ． 将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处， ， 设，则，， ，即，解得， ， ． 故答案为：． 【题型5】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【例5】（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，利用相似求出线段长度是解题的关键． （1）分别令x，y为0即可求得B，A的坐标，利用勾股定理即可求得的长； （2）利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求解． 解：（1）解：令，则， 令，则， 解得： （2）当点G与点B重合时，如图，则 直线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 的面积 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键，先求出直线的解析式，推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标，代入直线的解析式，求出E的横坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而即可求得点D的坐标． 解：∵，， ∴，，． 设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； ∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ 设直线的解析式是：， ∵ 代入得： 解得：   ∴直线的解析式为 令，则 ∴D的坐标为 故选A． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】如图，作轴于，证明，则，，，，待定系数法求直线的解析式为，当时，，可求，进而可得． 解：如图，作轴于， 由题意知，， ∴，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点是解题的关键． 【题型6】利用图象法解一元一次方程由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例6】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，直线：与直线相交于点． (1)分别求直线和直线的函数解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交、于点M、N，当线段时，求点D的坐标． 【答案】(1)直线的函数解析式为；直线的函数解析式为；(2)或. 【分析】（1）将代入，解得a值即可求直线的解析式和，再将交点坐标代入，求解即可； （2）设，则，，得或，解答即可． 本题考查了一次函数的解析式，交点问题，截直线线段长度问题，熟练掌握待定系数法，分类思想，设点坐标是解题的关键． 解：（1）将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 将点代入，得， 解得． ∴直线的函数解析式为． （2）设，则，， ∴或． 解得或． ∴或． 【变式1】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解与一次函数图像的交点坐标，熟练掌握相关知识是解题关键．先求出点的坐标，由图像可知，当时，两个函数的函数值是相等的，即可求解． 解：根据题意得，点的纵坐标为7， 把代入， 可得，解得， ∴点的坐标为， ∵一次函数（且a为常数）与的图像相交于点， ∴关于的方程的解是． 故选：B 【变式2】（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是，故答案为：． 【题型7】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例7】（24-25八年级上·安徽·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)根据图象，写出当取何值时，． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)当时，. 【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）作出点和，过两点作直线即可； （3）根据图象，即求直线位于轴下面的部分的的取值范围． 解：（1）把点和代入一次函数得：， 解得， 则一次函数的解析式是：； （2）如图所示： （3）根据图象可得：当时，． 【变式1】一次函数的图像如图，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的函数图象，当时，函数的图象在y轴的下面，再写出对应的取值范围即可． 解：由一次函数的图象可知， 当时，， 故选：C． 【变式2】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点，，当直线与线段有交点时，k的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，将点，分别代入直线的解析式求出的值，再结合函数图象进行分析即可得．熟练掌握数形结合思想是解题关键． 解：在中，当时，， 则直线恒过定点， 将点代入得：，解得， 将点代入得：，解得， 如图，要使直线与线段相交， 则， 故答案为：． 【题型8】根据两条直线的交点求不等式的解集 【例8】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，   (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据一次函数的图象与轴交于点，利用函数图象分析即可解题； （2）①利用待定系数法求得一次函数的解析式，再根据不等式的解集是，将代入中求解，即可得到点B的坐标； ②根据、以及点B的坐标，结合函数图象分析，即可解题． 解：（1）解：一次函数的图象与轴交于点， 由图象可知不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①一次函数的图象与轴交于点， ， 一次函数的图象与x轴交于点， ， 解得， ， 不等式的解集是， 当时，， 点B的坐标为； ②由图知，不等式组的解集是， 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，两直线与相交于点 ，下列错误的是（   ） A．时， B．当时， C．且时， D．时，且 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用数形结合及求解一元一次不等式的解集即可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、例如时，满足，但是不成立，故原选项错误，符合题意； 、当时，解得，故本选项正确，不符合题意； 、由得解得由，得，解得， ∴且时，，故本选项正确，不符合题意； 、时，直线落在轴的下方，即，直线与轴交于点，时，直线落在直线的上方， 即，故本选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．，且分别交x轴于点，点，则的解集 ．    【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：一次函数与一元一次不等式的关系从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 观察函数图象，写出和的解集，取公共部分即可． 解：由图象可知，当时，， 当时， ∴的解集为． 故答案为：． 【题型9】直通中考 【例9】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 【例2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象平行的条件，利用数形结合的思想是解决本题的关键． （1）将代入先求出k，再将和k的值代入即可求出b； （2）根据数形结合的思想解决，将问题转化为当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，画出临界状态图象分析即可． 解：（1）由题意，将代入得：， 解得：， 将，，代入函数中， 得：， 解得：， ∴； （2）∵， ∴两个一次函数的解析式分别为， 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 即当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得：当直线与直线平行时符合题意或者当与x轴的夹角大于直线与直线平行时的夹角也符合题意， ∴当直线与直线平行时，， ∴当时，对于的每一个值，直线的图象在直线和直线的上方时，， ∴m的取值范围为． 【题型10】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路线问题，全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数的交点问题，过点作，使，连接，可证明，得到，即得，可知当三点共线时，的值最小，此时，点为线段与线段的交点，再利用待定系数法分别求出线段的函数解析式，联立两函数解析式得到方程组，解方程组即可得到点的坐标，确定出点的位置是解题的关键． 解：过点作，使，连接，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 此时，点为线段与线段的交点， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴线段的函数解析式为， 设线段的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴线段的函数解析式为， 联立函数式得，， 解得， ∴点的坐标为 ， 故答案为：． 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，； (2)；(3)；(4)，，， 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 解：（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； （3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点拨】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.6 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式（6大知识点10类题型）（知识点梳理与题型分类讲解） 第一部分【知点梳理与题型目录】 【知识点1】一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 【知识点2】一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 【要点提示】 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 【知识点3】方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解的情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 【知识点4】一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 【要点提示】求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0，从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. 【知识点5】一元一次方程与一元一次不等式 我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解. 【知识点6】如何确定两个不等式的大小关系 （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 考点与题型目录 【考点一】一次函数与二元一次方程组 【题型1】两直线的交点与二元一次方程组的解...................................3 【题型2】图象法解二元一次方程组.............................................4 【题型3】求直线围成的图形面积...............................................4 【考点二】一次函数、一元一次方程和一元一次不等式 【题型4】已知直线与坐标轴交点求方程的解.....................................5 【题型5】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点.............................6 【题型6】利用图象法解一元一次方程由直线与坐标轴的交点求不等式的解集.........7 【题型7】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集.................................8 【题型8】根据两条直线的交点求不等式的解集..................................9 【考点三】直通中考与拓展延伸 【题型9】直通中考.........................................................10 【题型10】拓展延伸........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】两直线的交点与二元一次方程组的解 【例1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． (1)求的面积； (2)直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于、的方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川达州·期中）如图，平面直角坐标系中，直线：和直线 ：相交于点 B，若直线 上一点M 到直线 的距离是 5 ，则点M 的坐标为 ． 【题型2】图象法解二元一次方程组 【例2】（22-23八年级上·全国·课后作业）利用一次函数的图象求二元—次方程组的解． 【变式1】（23-24八年级下·湖北武汉·期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（    ） A．点在的图象上 B．若，则 C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小 【变式2】（21-22八年级下·湖南长沙·期中）如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为 ． 【题型3】求直线围成的图形面积 【例3】（24-25九年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交点A的横坐标为2，将直线沿轴向下平移4个单位长度，得到直线，直线与轴交于点B，与直线交于点C，点C的纵坐标为．直线与轴交于点D． (1)求点A与点C的坐标； (2)求的面积． 【变式1】（23-24九年级上·浙江温州·自主招生）设直线（n为自然数）与两坐标轴围成的三角形面积为（，2，3，．．，2023）．则的值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）如图，直线的解析式为，点的坐标为，于点，则的面积为 ． 【题型4】已知直线与坐标轴交点求方程的解 【例4】（23-24八年级下·河南焦作·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为1． (1)求，的值； (2)请直接写出不等式的解集________； (3)为直线上一点，过点作轴的平行线，交于点，当时，求点的坐标． 【变式1】（24-25八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A． B．若，两点在该函数图象上，则 C．方程的解是 D．一次函数的表达式为 【变式2】（22-23八年级上·广东深圳·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ． 【题型5】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 【例5】（22-23八年级下·贵州六盘水·期中）如图，直线交x轴，y轴分别为A、B两点，点P为x轴上的一个动点，过点P作于点 (1)求出点A、B的坐标，以及线段长； (2)当点G与点B重合时，求的面积． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）已知：如图，平面直角坐标系中，，，、分别在轴的正负半轴上．过点的直线绕点旋转，交轴于点，交线段于点．若与的面积相等，求点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，将一块含角的直角三角板放在平面直角坐标系中，顶点A，B分别在x轴、y轴上，斜边与x轴交于点D．已知，点A坐标为，点B的坐标为，则点D的坐标为 ． 【题型6】利用图象法解一元一次方程由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例6】（23-24八年级下·安徽芜湖·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线：交x轴于点A，交y轴于点B，直线：与直线相交于点． (1)分别求直线和直线的函数解析式； (2)如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交、于点M、N，当线段时，求点D的坐标． 【变式1】（23-24八年级下·陕西商洛·阶段练习）如图，一次函数（且为常数）与的图像相交于点，且点的纵坐标为7，则关于的方程的解是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·山东滨州·期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【题型7】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【例7】（24-25八年级上·安徽·期中）已知一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的表达式； (2)在平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)根据图象，写出当取何值时，． 【变式1】一次函数的图像如图，当时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，点，，当直线与线段有交点时，k的取值范围是 【题型8】根据两条直线的交点求不等式的解集 【例8】（23-24八年级下·河南平顶山·期末）一次函数和的图象如图所示，它们的交点是B，一次函数的图象分别与轴交于点A，与x轴交于点C，且，   (1)根据图象可得，不等式的解集是__________； (2)若不等式的解集是． ①求点B的坐标； ②直接写出不等式组的解集是__________. 【变式1】（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图，两直线与相交于点 ，下列错误的是（   ） A．时， B．当时， C．且时， D．时，且 【变式2】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，一次函数与的图象交于点．，且分别交x轴于点，点，则的解集 ．    【题型9】直通中考 【例9】（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点. (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围. 【题型10】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴建立直角坐标系，分别为线段和线段上一动点，且．当的值最小时，点的坐标为 ． 【例2】（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$