圆锥曲线中的求值与证明问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

第8章　 平面解析几何 第8节　 圆锥曲线中的求值与证明问题 1．已知点P(－2，－1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上一点，且C的离心率为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若M为C上第二象限内一点，点M关于直线x＝－2的对称点为N，直线PN与C交于另一点Q，O为坐标原点，求证：MQ∥OP. 2．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(2，1)是抛物线内一点，P为抛物线上的动点，且|AP|＋|PF|的最小值为3. (1)求抛物线E的方程； (2)过点(1，1)作斜率之和为0的两条直线l1，l2，(l1的斜率为正数)，其中l1与曲线E交于M，C两点，l2与曲线E交于B，N两点，若四边形MBCN的面积等于16，求直线l1的方程． 3．已知抛物线C1：y2＝2px(p>0)上的点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离． (1)求抛物线C1的标准方程； (2)过抛物线C1上一点P作圆C2：(x－3)2＋y2＝4的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C1交于异于点P的M，N两点．证明：直线MN与圆C2相切． 4．(2024·西安模拟)已知抛物线C：y＝x2的焦点为F1 ，准线与坐标轴的交点为F2，F1，F2是离心率为的椭圆S的焦点． (1)求椭圆S的标准方程； (2)设过原点O的两条直线l1和l2，l1⊥l2，l1与椭圆S交于A，B两点，l2与椭圆S交于M，N两点．求证：原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值． 答案解析 1、(1)解：由点P(－2，－1)在椭圆C上，得＝1①， 由椭圆C的离心率为，得②. 由①②，解得a2＝8，b2＝2， 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)证明：因为点M，N关于直线x＝－2对称，所以直线PM与PN关于直线x＝－2对称， 则kPM＋kPN＝0，易知直线PM的斜率存在且不为0. 设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为－k， 又P(－2，－1)，所以直线PM的方程为y＋1＝k(x＋2)，即y＝k(x＋2)－1， 与椭圆方程联立，得消去y， 并整理得(4k2＋1)x2＋(16k2－8k)x＋16k2－16k－4＝0， Δ＝(16k2－8k)2－4(4k2＋1)(16k2－16k－4)＝64k2＋64k＋16＝16(2k＋1)2＞0，即k≠－. 设M(x1，y1)，则－2x1＝， 设Q(x2，y2)，同理可得x2＝， 所以直线MQ的斜率kMQ＝＝ ＝. 又直线OP的斜率为，且直线OP与MQ不重合， 所以MQ∥OP. 2、解：(1)过点P作抛物线E的准线的垂线，垂足为D(图略)，则|PF|＝|PD|， 于是|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PD|. 当A，P，D三点共线时，＝3，解得p＝2， 所以抛物线E的方程为y2＝4x. (2)依题意可知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，并互为相反数． 由(1)知F(1，0)，设直线l1的方程为x＝m(y－1)＋1(m>0)，M(x1，y1)，C(x2，y2)， 将l1的方程代入抛物线方程并化简，得y2－4my＋ 4m－4＝0， 则y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4. |MC|＝， 同理得|BN|＝4. 设直线l1的倾斜角为θ，则tan θ＝， 则直线l1，l2的夹角α＝2θ或π－2θ， 所以sin α＝sin 2θ＝， 因此四边形MBCN的面积S＝·sin2θ＝16m. 令t＝m2，得t(t＋1)2－t2＝3， 从而有t3＋t2＋t＝3，解得t＝1，即m2＝1， 此时m＝1，故直线l1的方程为y＝x. 3、(1)解：因为点到坐标原点的距离等于该点到准线的距离，所以点到坐标原点的距离等于该点到焦点的距离，所以，解得p＝2， 所以抛物线C1的标准方程为y2＝4x. (2)证明：因为圆C2：(x－3)2＋y2＝4，所以圆C2的圆心坐标为(3，0)，半径r＝2， 设P，y1≠y2≠y3， 所以直线PM的方程为y－y2＝， 即4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0. 因为直线PM与圆C2相切，所以＝2，整理得＝0， 直线PN与圆C2相切，同理可得＝0， 所以y2，y3是关于y的方程y2＋16y1y＋80－＝0的两个根， 所以y2＋y3＝. 又因为直线MN的方程为4x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0， 所以圆C2的圆心(3，0)到直线MN的距离d＝＝2＝r， 所以直线MN与圆C2相切． 4、(1)解：将抛物线C：y＝x2的方程化为标准方程，即C：x2＝4y，得F1(0，1)． 设椭圆S的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则由题意得c＝1，，得a＝2，所以b＝. 又椭圆S的焦点在y轴上，所以椭圆S的标准方程为＝1. (2)证明：由题意知A，O，B三点共线，M，O，N三点共线，且AB⊥MN. 又由椭圆的对称性，知|OA|＝|OB|，|OM|＝|ON|， 所以四边形AMBN为菱形，且原点O为其中心，AM，BN为一组对边． 所以原点O到直线AM和到直线BN的距离相等． 下面求原点O到直线AM的距离． 根据椭圆的对称性，不妨设A在第一象限． 当直线AM的斜率为0或不存在时，四边形AMBN为正方形，直线AB和直线MN的方程分别为y＝x和y＝－x，且AM∥x轴或AM∥y轴． 设A(m，m)，则M(－m，m)或M(m，－m)． 于是有＝1，得m2＝. 原点O到直线AM的距离为d＝|m|＝. 当直线AM的斜率存在且不等于0时，设直线AM：y＝kx＋h. 由消去y，整理得(3k2 ＋4)x2 ＋6khx＋3h2－12＝0， 且Δ＝(6kh)2－4×(3k2＋4)×(3h2－12)＝144k2－48h2＋192. 设A(x1，y1)，M(x2，y2)，则x1＋x2＝－， 所以y1y2＝(kx1＋h)(kx2＋h)＝k2x1x2＋kh(x1＋x2)＋h2 ＝k2×＋h2＝. 由OA⊥OM，得x1x2＋y1y2＝0，即＝0， 得h2＝，满足Δ>0. 所以原点O到直线AM的距离为d＝＝. 所以原点O到直线BN的距离也为. 综上所述，原点O到直线AM和到直线BN的距离相等且为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$