直线与圆锥曲线的位置关系专项训练-2025届高三数学一轮复习

第8章　 平面解析几何 第八节　直线与圆锥曲线的位置关系 1．若直线y＝kx＋2与椭圆＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　) A．m>1 B．m>0 C．0<m<4且m≠1 D．m≥4且m≠7 2．(2024·长春模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点．若使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则p等于(　　) A． B． C．1 D．2 3．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C：＋y2＝1的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点．若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝(　　) A． B． C．－ D．－ 4．(2024·巴中模拟)已知双曲线C：＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为的直线与C的右支交于点P.若线段PF1恰被y轴平分，则C的离心率为(　　) A． B． C．2 D．3 5．(多选题)过双曲线x2－＝1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|＝4，则下列满足条件的直线l有(　　) A．x＝ B．x＋2y－1＝0 C．x－＝0 D．x＋＝0 6．过点(0，3)的直线l与抛物线y2＝4x只有一个公共点，则直线l的方程为________. 7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与C交于M，N两点．若线段MN中点的纵坐标为，则点F到C的准线的距离为________. 8．已知焦点在x轴上的椭圆C：＝1(a>b>0)，短轴长为2，椭圆左顶点A到左焦点F1的距离为1. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆的右顶点为B，过点F1的直线l与椭圆C交于点M，N，且S△BMN＝，求直线l的方程． 高考训练 9．(思维创新)(2024·淮北模拟)已知A(－2，0)，B(2，0)，过P(0，－1)且斜率为k的直线上存在不同的两个点M，N满足|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝2，则k的取值范围是(　　) A． B． C． D． 10．(多选题)已知直线l：x＝ty＋4与抛物线C：y2＝4x交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率分别记为k1，k2，则(　　) A．y1y2为定值 B．k1k2为定值 C．y1＋y2为定值 D．k1＋k2＋t为定值 11．已知点A(0，1)，抛物线C：y2＝ax(a＞0)的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA与抛物线C的准线相交于点N.若|FM|∶|MN|＝1∶2，则实数a的值为________. 12．椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，斜率为的直线l过左焦点F1且交C于A，B两点，且△ABF2内切圆的周长是2π.若椭圆C的离心率为＝________. 13．已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P在双曲线C上． (1)求双曲线C的方程； (2)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2，求直线l的方程． 14．已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知直线l过定点E，若椭圆C上存在两点A，B关于直线l对称，求直线l的斜率k的取值范围． 答案解析 1、D　解析：直线y＝kx＋2恒过定点(0，2)，若直线y＝kx＋2与椭圆＝1总有公共点，则点(0，2)在椭圆＝1内部或在椭圆上，所以≤1，m≥4.由方程＝1表示椭圆，则m>0且m≠7.综上，m的取值范围是m≥4且m≠7. 2、C　解析：由抛物线的对称性知，要使|AB|＝2的直线l有且仅有1条，则AB必须垂直于x轴，故A，B两点的坐标分别为或，代入抛物线方程可解得p＝1. 3、C　解析：记直线y＝x＋m与x轴交于M(－m，0)， 因为椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为，F2， 且由△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，可得|F1M|＝2|F2M|， 所以＝2，解得xM＝或xM＝3. 所以－m＝或－m＝3，所以m＝－或m＝. 联立可得4x2＋6mx＋3m2－3＝0. 因为直线y＝x＋m与C相交，所以Δ>0，解得m2<4， 所以m＝－3不符合题意，故m＝－. 4、C　解析：如图，设PF1交y轴于点A，A为PF1的中点． 又因为O为F1F2的中点，所以AO为△PF1F2的中位线，则AO∥PF2.而AO⊥F1F2，所以PF2⊥F1F2. 因为直线PF1的斜率为，故在Rt△PF2F1中，tan∠PF1F2＝， 设|PF2|＝3t，则|F1F2|＝4t，|PF1|＝5t， 结合双曲线的定义以及点P在双曲线右支上， 得4t＝2c，|PF1|－|PF2|＝2a＝2t，则2a＝c，所以e＝＝2. 5、ACD　解析：由题意知F， 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝， 由得y＝±2， 所以|AB|＝|y1－y2|＝4满足题意． 当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k， 由 得(2－k2)x2＋2k2x－3k2 －2＝0. 当2－k2＝0时，不符合题意， 当2－k2≠0时，Δ＝2＋4(2－k2)(3k2＋2)＞0，x1＋x2＝， |AB|＝＝＝＝4， 解得k＝±. 所以直线l的方程为y＝±， 即x±＝0. 6、y＝x＋3或y＝3或x＝0　解析：当直线l的斜率k存在且k≠0时，直线l的方程为y＝kx＋3(k≠0)，与抛物线方程联立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，由题可知Δ＝(6k－4)2－4×k2×9＝0，解得k＝，所以直线l的方程为y＝x＋3；当k＝0时，直线l的方程为y＝3，此时直线l平行于抛物线的对称轴，且与抛物线只有一个公共点；当k不存在时，若直线l与抛物线只有一个公共点，则直线l的方程为x＝0.综上，过点(0，3)且与抛物线y2＝4x只有一个公共点的直线l的方程为y＝x＋3或y＝3或x＝0. 7、5　解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则＝2px2， 两式相减得＝2px1－2px2，即(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)． 因为M，N两点在斜率为的直线l上，所以， 得(y1＋y2)＝2p. 因为线段MN中点的纵坐标为，所以y1＋y2＝2， 则， 所以F到C的准线的距离为5. 8、解：(1)由得 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)由题意知，直线l的斜率存在且不为0，F1(－1，0)，B(2，0)， 设直线l的方程为x＝my－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， Δ＝36m2＋4×9×(3m2＋4)＞0， 则y1＋y2＝. 又S△BMN＝＝＝， 解得m＝±1， 所以直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y＋1＝0. 9、C　解析：因为|MA|－|MB|＝|NA|－|NB|＝2＝4， 所以M，N是以A(－2，0)，B(2，0)为焦点的双曲线的右支上的两点，且c＝2，a＝， 所以b＝＝1， 所以双曲线的方程为－y2＝1， 则过P(0，－1)且斜率为k的直线方程为y＝kx－1. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 由 消去y，整理得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0， 所以 解得＜k＜，即k的取值范围为. 10、ABD　解析：由得y2－4ty－16＝0， Δ＝16t2＋64＞0， 则 对于A，y1y2＝－16为定值，故A正确； 对于B，k1k2＝＝－1为定值，故B正确； 对于C，y1＋y2＝4t，不为定值，故C错误； 对于D，k1＋k2＋t＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确． 11、　解析：依题意得抛物线的焦点F的坐标为，过点M作抛物线的准线的垂线，垂足为K(图略)， 由抛物线的定义知|MF|＝|MK|. 因为|FM|∶|MN|＝1∶2，所以|KN|∶|KM|＝1. 又kFA＝，F，N，A三点共线， 所以－，解得a＝. 12、4　解析：如图所示，由椭圆定义可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，则△ABF2的周长为4a. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， △ABF2内切圆的半径为r， 又△ABF2内切圆的周长是2π，故2π＝2πr，则r＝1. 由题意得， 得|y1－y2|＝＝4， 所以|AB|＝＝4. 13、解：(1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4， 则双曲线C的方程为＝1(0<a2<4)． 将点P代入上式，得＝1， 解得a2＝2或a2＝50(舍去)， 故双曲线C的方程为＝1. (2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2， 代入双曲线C的方程并整理， 得(1－k2)x2－4kx－6＝0. 因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 所以 解得(*) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝， 所以|AB|＝＝. 又原点O到直线l的距离d＝， 所以S△OAB＝＝. 又S△OAB＝2，即＝1， 所以k4－k2－2＝0，解得k＝±，满足(*)． 故满足条件的直线l有两条， 其方程分别为y＝x＋2和y＝－x＋2. 14、解：(1)因为椭圆的离心率为e＝，长轴长为2a＝4， 所以a＝2，c＝1，则b2＝3， 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)易知直线的斜率k存在，设直线l的方程为y＝"，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称． 当k≠0时，有kAB＝， 设线段AB的中点坐标为(x0，y0)，因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上， 所以 两式相减得3(x1＋x2)(x1－x2)＝－4(y1＋y2)·(y1－y2)，即3kx0＝4y0. 又y0＝k， 解得x0＝1，y0＝. 因为线段AB的中点在椭圆内部， 所以<1，即<1， 解得－2<k<0或0<k<2. 综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2，2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$