抛物线专项训练-2025届高三数学一轮复习

第8章　 平面解析几何 第七节　抛物线 1．动圆与定圆A：(x＋2)2＋y2＝1外切，且和直线x＝1相切，则动圆圆心的轨迹是(　　) A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．(2021·新高考全国Ⅱ卷)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点到直线y＝x＋1的距离为，则p＝(　　) A．1 B．2 C．2 D．4 3．(2024·榆林模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)上的一点M(x0，1)到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为(　　) A．6 B．4 C．3 D．2 4．设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，M(5，y0)为抛物线C上一点，以M为圆心的圆M与准线l相切，且过点E(9，0)，则抛物线的方程为(　　) A．y2＝4x B．y2＝2x C．y2＝36x D．y2＝4x或y2＝36x 5．(多选题)(2023·新高考全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则(　　) A．p＝2 B．|MN|＝ C．以MN为直径的圆与l相切 D．△OMN为等腰三角形 6．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上一点，则|AB|的最小值为________. 7．已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M为抛物线C上的一点，且|FM|＝6，则M的横坐标是________，作MN⊥x轴于点N，则S△FMN＝________. 8．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程； (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率． 高考训练 9．已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝，则△AFK的面积为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 10．(多选题)已知F是抛物线C：y2＝16x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则(　　) A．C的准线方程为x＝－4 B．点F的坐标为(0，4) C．|FN|＝12 D．△ONF的面积为16(O为坐标原点) 11．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与该双曲线的一个交点．若|PF1|＋|PF2|＝12，则该抛物线的准线方程为________. 12．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，M是抛物线C上一点，MH⊥l于点H.若|MH|＝4，∠HFM＝60˚，则抛物线C的方程为________. 13．已知在抛物线C：x2＝2py(p>0)的第一象限的点P(x，1)到其焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程和点P的坐标； (2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线与y轴垂直，求弦AB的长． 14．(2024·郑州模拟)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，直线x＝4与x轴的交点为M，与抛物线C的交点为N，且|NF|＝. (1)求抛物线C的方程； (2)设过定点(0，6)的直线l与抛物线C交于P，Q两点，连接QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线l的方程． 答案解析 1、D　解析：设动圆的圆心为C，半径为r，则C到定圆A：(x＋2)2＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1，而C到直线x＝1的距离等于r，所以C到直线x＝2的距离为r＋1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线． 2、B　解析：抛物线的焦点坐标为，其到直线x－y＋1＝0的距离为d＝，解得p＝2(p＝－6舍去)． 3、D　解析：由题可知，抛物线的准线为y＝－，可得1＋＝2，解得p＝2，所以该抛物线的焦点到其准线的距离为p＝2. 4、D　解析：由抛物线的定义知，圆M经过焦点F(，0)，点M的横坐标为5，由题意，当E，F不重合时，M是线段EF垂直平分线上的点，所以5＝，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x；当E，F重合时，＝9，所以p＝18，所以抛物线C的方程为y2＝36x. 5、AC　解析：直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，可得＝1，所以p＝2，所以A正确； 抛物线方程为y2＝4x，联立直线方程可得3x2－10x＋3＝0，xM＋xN＝＝xM＋xN＋p＝，所以B不正确； M，N的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线l的距离为1＋，所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确； 因为3x2－10x＋3＝0，所以不妨取xM＝3，xN＝，则yM＝－2， |OM|＝＝＝， 所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确． 6、　解析：设B(x，y)，则x＝y2≥0， 所以|AB|＝＝. 所以当x＝min＝. 7、5　4　解析：因为抛物线的方程为y2＝4x，故p＝2且F(1，0)． 因为|FM|＝6，所以xM＋＝6，解得xM＝5，故yM＝±2， 所以S△FMN＝×(5－1)×2. 8、解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)． 因为点P(1，2)在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2. 故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1. (2)由题意可知kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)， 因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPA＝－kPB. 由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上， 得所以， 整理得y1＋2＝－(y2＋2)，所以y1＋y2＝－4. 由①－②，得＝4(x1－x2)， 所以kAB＝＝－1(x1≠x2)． 9、D　解析：由题可知抛物线的焦点坐标为(4，0)，所以p＝8.过点A作直线AA′垂直于抛物线的准线，垂足为A′(图略)，根据抛物线定义知，|AA′|＝|AF|.在△AA′K中，|AK|＝，故∠KAA′＝45˚，所以直线AK的倾斜角为45˚，直线AK的方程为y＝x＋4，代入抛物线方程y2＝16x得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，x＝4，即A(4，8)，所以△AFK为直角三角形，故△AFK的面积为×8×8＝32. 10、ACD　解析：如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F′，作MB⊥l于点B，NA⊥l于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为x＝－4，点F的坐标为(4，0)，则|AN|＝4，|FF′|＝8.在直角梯形ANFF′中，中位线|MB|＝＝6.由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝6，结合题意，有|MN|＝|MF|＝6，故|FN|＝|MF|＋|MN|＝6＋6＝12，|ON|＝，S△ONF＝. 11、x＝－2　解析：将双曲线方程化为标准方程得＝1，则F1(－2a，0)，F2(2a，0)． 抛物线的准线为x＝－2a，联立解得x＝3a， 即点P的横坐标为3a. 而由＝6－a， 所以|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1， 所以抛物线的准线方程为x＝－2. 12、y2＝4x　解析：如图，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 所以|MF|＝|MH|＝4.又∠HFM＝60˚， 所以△MHF为正三角形，所以|HF|＝4. 记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30˚， 所以p＝|QF|＝|HF|sin ∠QHF＝4sin 30˚＝2， 所以该抛物线的方程为y2＝4x. 13、解：(1)由1＋＝2，可得p＝2， 故抛物线C的方程为x2＝4y. 当y＝1时，x2＝4，又点P(x，1)在第一象限，所以x＝2， 所以点P的坐标为(2，1)． (2)由题意可知直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y＝k (x+1)＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得x2－4kx－4k－2＝0， 所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0， x1＋x2＝4k，x1x2＝－4k－2. 因为∠APB的角平分线与y轴垂直， 所以kPA＋kPB＝0， 即＝0， 即＝0，整理得x1＋x2＋4＝0， 所以x1＋x2＝－4，即k＝－1，x1x2＝2， 所以|AB|＝＝＝4. 14、解：(1)设N(4，y1)，代入x2＝2py，得y1＝， 所以|MN|＝＝. 由题设得， 解得p＝2或p＝－2(舍去)， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. (2)由题知直线l的斜率存在，设其方程为y＝kx＋6， 由消去y，整理得x2－4kx－24＝0， 显然Δ＝16k2＋96＞0. 如图，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 抛物线C在点P(x1，)处的切线方程为y－(x－x1)， 令y＝－1，得x＝，可得R. 由Q，F，R三点共线得kQF＝kFR，所以， 即＋16x1x2＝0， 整理得(x1x2)2－4[(x1＋x2)2－2x1x2]＋16＋16x1x2＝0， 所以(－24)2－4[(4k)2－2×(－24)]＋16＋16×(－24)＝0， 解得k2＝，即k＝±， 故所求直线l的方程为y＝x＋6或y＝－x＋6. 学科网（北京）股份有限公司 $$