8.3圆的方程专项训练-2025届高三数学一轮复习

第8章　 平面解析几何 第三节　圆的方程 1．(2024·宁德模拟)已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为(　　) A．－6<k< B．k<－6或k> C．k>－6 D．k< 2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　) A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13 C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52 3．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知圆C的半径为2，圆心在x轴正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0 C．x2＋y2＋2x－3＝0 D．x2＋y2－4x＝0 5．自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为(　　) A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0 C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0 6．(多选题)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任意一点，则点P到直线y＝kx－1的距离的值可以为(　　) A．4 B．6 C．3＋1 D．8 7．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标为________，半径为________. 8．(新背景)如图所示，两根杆(杆足够长)分别绕着定点A和B(AB＝2a)在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是______________. 9．已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和点B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．若线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程． 高考训练 10．曲线x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是(　　) A． B．2 C．＋1 D．－1 11．圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称，则的最小值是(　　) A．2 B． C． D． 12．(2024·平顶山模拟)已知A，B为圆O：x2＋y2＝4上的两动点，|AB|＝2，点P是圆C：(x＋3)2＋(y－4)2＝1上的一点，则的最小值是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 13．写出一个过点O(0，0)，且与直线x＋y－4＝0相切的圆的标准方程：__________________. 14．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点． (1)求点M的轨迹方程； (2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积． 15．在平面直角坐标系中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C. (1)是否存在以AB为直径且过点C的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． (2)求证：过A，B，C三点的圆过定点． 答案解析 1、A　解析：因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0， 所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k， 所以圆心坐标为(1，－2)，半径r＝. 若点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足>， 且1－2k>0，即13>1－2k且k<，所以－6<k<. 2、A　解析：如图，由圆的几何性质及直角三角形中线的性质，可知圆的半径r＝.故此圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13. 3、A　解析：若圆C与y轴相切于原点，则圆C的圆心在x轴上，设圆心的坐标为(a，0)，则半径r＝|a|.当E＝F＝0且D<0时，圆心为，半径为，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0.故“E＝F＝0且D＜0”是“圆C与y轴相切于原点”的充分不必要条件． 4、D　解析：设圆心为(a，0)(a>0)，由题意知圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝r＝2，解得a＝2，所以圆心坐标为(2，0)，则圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，化简得x2＋y2－4x＝0. 5、D　解析：由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图所示． 设P(x0，y0)，由题意可知|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2， 所以＋4＝(x0－3)2＋(y0＋4)2，即6x0－8y0－21＝0，结合选项知D符合题意． 6、ABC　解析：如图，圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)． 由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6，最小值为0.故选ABC． 7、(－2，－4)　5　解析：由圆的一般方程的形式知，a＋2＝a2， 解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，该方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0， 因为D2＋E2－4F＝12＋22－4×＜0，所以a＝2不符合题意； 当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25， 所以圆心坐标为(－2，－4)，半径为5. 8、x2＋y2＝a2　解析：如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0)． 设P(x，y)，因为PA⊥PB，所以＝－1(x≠±a)．化简得x2＋y2＝a2(x≠±a)．当x＝±a时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式．故杆的交点P的轨迹方程是x2＋y2＝a2. 9、解：设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D. 又kAB＝－3，所以km＝，所以直线m的方程为x－3y－3＝0. 由得即圆心C(－3，－2)， 则半径r＝|CA|＝＝5， 所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25. 设点M(x，y)，Q(x0，y0)， 因为点P的坐标为(5，0)，M为PQ的中点， 所以即 又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动， 所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25， 即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25， 整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝. 即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝. 10、C　解析：因为圆心(0，1)到直线x－y－1＝0的距离为>1，所以半圆x2＋(y－1)2＝1(x≤0)上的点到直线x－y－1＝0的距离的最大值为＋1，最小值为点(0，0)到直线x－y－1＝0的距离，为，所以a－b＝＋1. 11、C　解析：由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39. 因为圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a＞0，b＞0)对称， 所以该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0， 所以a＋3b＝3(a＞0，b＞0)， 所以(a＋3b)， 当且仅当，即a＝b＝时取等号，故的最小值为. 12、C　解析：设M是AB的中点，因为|AB|＝2＝＝1， 即点M在以O为圆心，1为半径的圆上， ，所以＝2. 又|PO|min＝|OC|－1＝－1＝4，所以＝|PO|min－1＝4－1＝3， 所以min＝2×3＝6.故选C． 13、(x－1)2＋(y－1)2＝2(答案不唯一)　解析：设点O(0，0)为圆的直径的端点， 点O(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离，d＝， 故满足条件的一个圆的半径为r＝. 由于圆心所在的直线与x＋y－4＝0垂直， 且该直线经过原点，所以圆心所在的直线方程为y＝x. 由解得 所以圆心的坐标为(1，1)． 所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2. 14、解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16， 所以圆心为C(0，4)，半径为4. 设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)． 由题设知＝0，故x(2－x)＋(y－4)·(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 所以点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知点M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P(2，2)在圆N上，从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3，所以直线l的斜率为－， 故直线l的方程为x＋3y－8＝0. 又|ON|＝＝|NM|＝＝|OP|＝2， O到直线l的距离为， 所以|PM|＝2，所以S△POM＝， 故△POM的面积为. 15、解：令y＝0，得x2－mx＋2m＝0. 设A(x1，0)，B(x2，0)， 由题意知Δ＝m2－8m>0， 得m<0或m>8， x1＋x2＝m，x1x2＝2m. 令x＝0，得y＝2m，故C(0，2m)． (1)若存在以AB为直径且过点C的圆，则＝0，又＝(－x1，2m)，＝(－x2，2m)，所以x1x2＋4m2＝0， 即2m＋4m2＝0，解得m＝0或m＝－. 因为m<0或m>8，所以m＝－， 此时C(0，－1)，所求圆的圆心为线段AB的中点，半径r＝，故所求圆的方程为. (2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0， 将C(0，2m)代入，可得E＝－1－2m， 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0， 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0. 令解得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和. 学科网（北京）股份有限公司 $$