第八章　平面解析几何 第四节　直线与圆、圆与圆的位置关系专项训练-2025届高三数学一轮复习

第8章　 平面解析几何 第4节　 直线与圆、圆与圆的位置关系 1．在平面直角坐标系中，直线x cos α＋＝1(α∈R)与圆O：x2＋y2＝的位置关系为(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 2．圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的公切线的条数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．过点A(a，0)(a＞0)，且倾斜角为30˚的直线与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相切于点B，且|AB|＝，则△OAB的面积是(　　) A． B． C．1 D．2 4．已知圆C的圆心在直线l1：x＋2y－7＝0上，且与直线l2：x＋2y－2＝0相切于点M(－2，2)，则圆C被直线l3：2x＋y－6＝0截得的弦长为(　　) A．2 B． C． D． 5．若圆C：x2＋y2－6x－6y－m＝0上有到(－1，0)的距离为1的点，则实数m的取值范围为(　　) A．(－18，6] B．[－2，6] C．[－2，18] D．[4，18] 6．(多选题)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 7．(2023·新高考全国Ⅱ卷)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC的面积为”的m的一个值________. 8．已知圆C与圆x2＋y2＋10x＋10y＝0相切于原点，且过点A(0，－6)，则圆C的标准方程为______________. 9．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4. (1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相交； (2)若过点P(1，0)的直线l′与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积S的最大值，并求此时直线l′的方程． 高考训练 10．(2024·昆明模拟)直线2x·sin θ＋y＝0被圆x2＋y2－2y＋2＝0截得的弦长的最大值为(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 11．已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为(　　) A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0 12．(新定义)有数学家证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，当点P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是________. 13．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝1与x轴切于点A，与y轴切于点B，设劣弧AB的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是______________. 14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求切线的方程； (2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求|PM|取得最小值时点P的坐标． 15．已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方． (1)求圆C的方程． (2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(点A在x轴上方)，问：在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析 1、D　解析：因为圆心到直线的距离d＝， 当且仅当α＝kπ＋(k∈Z)时，等号成立． 又圆O：x2＋y2＝的半径为， 所以直线与圆相交或相切． 2、C　解析：圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为C1(－1，2)，半径为2，圆C2：(x－3)2＋(y－2)2＝4的圆心为C2(3，2)，半径为2，两圆的圆心距|C1C2|＝＝4＝2＋2，即两圆的圆心距等于两圆的半径之和，故两圆外切，故公切线的条数为3. 3、B　解析：在Rt△AOB中，∠OBA＝90˚，∠BAO＝30˚，|AB|＝＝1， 所以S△OAB＝＝. 4、D　解析：设圆C的圆心坐标为(a，b)， 则有， 解得a＝－1，b＝4，则圆心为C(－1，4)， 半径r＝， 则圆心C到直线2x＋y－6＝0的距离d＝， 则弦长为2. 5、C　解析：将圆C的方程化为标准方程得(x－3)2＋(y－3)2＝m＋18，所以m>－18. 因为圆C上有到(－1，0)的距离为1的点， 所以圆C与圆C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共点， 所以≤|CC′|≤＋1. 因为|CC′|＝＝5， 所以≤5≤＋1，解得－2≤m≤18. 6、ACD　解析：设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋<5＋ ＝10，故A正确； 易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4< －4＝1，故B不正确； 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q， 如图所示，连接MB，MN，MQ， 则当∠PBA最小时，点P与点N重合，|PB|＝， 当∠PBA最大时，点P与点Q重合，|PB|＝，故C，D正确． 7、2　解析：由⊙C：(x－1)2＋y2＝4， 可得圆心坐标为C(1，0)，半径为r＝2. 因为△ABC的面积为，可得S△ABC＝×2×2×sin ∠ACB＝，解得sin ∠ACB＝. 设∠ACB＝θ，所以2sin θcos θ＝. 由，得，所以tanθ＝或tan θ＝2， 所以cos θ＝或cos θ＝. 故圆心C(1，0)到直线x－my＋1＝0的距离d＝或， 即或，解得m＝±或m＝±2. 8、(x＋3)2＋(y＋3)2＝18　解析：设圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r. 因为x2＋y2＋10x＋10y＝0可化为(x＋5)2＋(y＋5)2＝50， 所以其圆心为(－5，－5)，半径为5. 因为两圆相切于原点O，且圆C过点(0，－6)，点(0，－6)在圆(x＋5)2＋(y＋5)2＝50的内部，所以两圆内切， 所以 解得a＝－3，b＝－3，r＝3， 所以圆C的标准方程为(x＋3)2＋(y＋3)2＝18. 9、(1)证明：转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0， 可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0. 由解得 所以直线l恒过点(2，3)． 由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4， 得点(2，3)在圆C内， 即直线l恒过圆C内一点， 所以无论m为何值，直线l都与圆C相交． (2)解：由圆C的圆心为(3，4)，半径r＝2， 易知此时直线l′的斜率存在且不为0， 故设直线l′的方程为x＝ny＋1(n≠0)，即ny－x＋1＝0， 圆心到直线l′的距离d＝＝， 所以|AB|＝2， 所以S2＝ ＝• 令t＝， 可得S2＝4t－t2，当t＝2时，Smax2＝4， 所以△ABC面积S的最大值为2. 由2＝，整理得7n2－8n＋1＝0，解得n＝1或n＝，符合题意， 此时直线l′的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0. 10、D　解析：易知圆的标准方程为x2＋2＝3， 所以圆心为，半径r＝. 由题意知圆心到直线2x·sin θ＋y＝0的距离d＝<，解得sin2θ>， 所以弦长为2. 因为<4sin2θ＋1≤5，所以1≤<3， 所以2∈. 所以当4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1时，弦长有最大值2. 11、D　解析：圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，则圆心为M(1，1)，点M到直线l的距离为d＝＞2，所以直线l与圆M相离．由圆的性质可知，点A，P，B，M四点共圆，且AB⊥PM，所以|PM|·|AB|＝4S△PAM＝4×＝4|PA|.而|PA|＝min＝min＝1，此时|PM|·|AB|最小，直线PM的方程为y－1＝，即x－2y＋1＝0. 由解得所以P(－1，0)．所以以PM为直径的圆的方程为(x－1)(x＋1)＋y(y－1)＝0，即x2＋y2－y－1＝0.两圆的方程相减可得2x＋y＋1＝0，即为直线AB的方程． 12、2　解析：以经过点A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A(－1，0)，B(1，0)． 设P(x，y)，因为，所以， 整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即(x－3)2＋y2＝8， 当点P到AB(x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大，此时面积为. 13、x－y＋2－＝0　解析：因为圆C与两轴相切，且M是劣弧AB的中点，所以直线CM是第二、四象限的角平分线，所以斜率为－1，所以过点M的切线的斜率为1.因为圆心到原点的距离为＝－1，所以M()，所以切线方程为y－1＋＋1，整理得x－y＋2－＝0. 14、解：(1)圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心为(－1，2)，半径为，易知切线斜率存在． 由圆C的切线在两坐标轴上的截距相等，可分两种情况： ①当截距不为零时，可设切线的方程为x＋y－b＝0， 由，解得b＝－1或b＝3， 故切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. ②当截距为零时，可设切线的方程为y＝kx，即kx－y＝0， 由，解得k＝2＋或k＝2－， 故切线的方程为y＝x或y＝x. 综上可知，切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或y＝x或y＝x. (2)因为|PM|＝|PO|，所以|PO|取最小值时，|PM|也取最小值． 因为切线PM与半径CM垂直， 所以|PM|2＝|PC|2－|CM|2. 又|PM|＝|PO|，所以|PC|2－|CM|2＝|PO|2， 所以(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝， 整理得2x1－4y1＋3＝0， 即点P(x1，y1)在直线2x－4y＋3＝0上， 所以|PO|的最小值等于点O到直线2x－4y＋3＝0的距离d，此时d＝. 故|PO|取得最小值时，|PO|2＝， 所以解得 所以此时点P的坐标为. 15、解：(1)设圆心C(a，0)， 则＝2，解得a＝0或a＝－5(舍去)． 所以圆C的方程为x2＋y2＝4. (2)当直线AB⊥x轴，即直线AB的斜率不存在时，x轴平分∠ANB. 当直线AB的斜率存在时，显然斜率不为0，设直线AB的方程为y＝k(x－1)， N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， Δ＝4k4－4(k2＋1)(k2－4)＞0， 所以x1＋x2＝. 若x轴平分∠ANB，则kAN＝－kBN，即＝0，＝0， 整理得2x1x2－(t＋1)·(x1＋x2)＋2t＝0， ＋2t＝0，解得t＝4， 所以当点N的坐标为(4，0)时，能使得x轴平分∠ANB. 学科网（北京）股份有限公司 $$