椭圆专项训练-2025届高三数学一轮复习

第8章　 平面解析几何 第5节　 椭圆 1．若椭圆C：＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 2．已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 3．设椭圆＝1(m＞0，n＞0)的离心率为e，则“e＝”是“m＝4n”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．(2022·全国甲卷)椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为(　　) A． B． C． D． 5．已知B是圆A：2＋y2＝16内一点，点C是圆A上任意一点，线段BC的垂直平分线与AC相交于点D，则动点D的轨迹方程为______________. 6．设B是椭圆C：＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是________. 7．已知椭圆C：＝1(a>b>0)，焦点，左顶点为A，点E的坐标为，点A到直线b. (1)求椭圆C的离心率； (2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60˚，△PF1F2的面积为，求椭圆C的标准方程． 高考模拟 8．已知过椭圆的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F1是线段AB的三等分点，则该椭圆的标准方程是(　　) A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 9．已知椭圆＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为(　　) A． B． C． D． 10．设椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点是同一个正三角形的顶点，焦点与椭圆上的点的最短距离为，则这个椭圆的方程为__________，离心率为__________. 11．如图，椭圆＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆上的点P作y轴的垂线，垂足为Q.若四边形F1F2PQ为菱形，则该椭圆的离心率为________. 12．如图所示，已知椭圆＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90˚，求椭圆的离心率； (2)若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程． 13．已知F1，F2是椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点． (1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率； (2)若存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围． 答案解析 1、C　解析：因为椭圆的短轴长等于焦距，所以b＝c，所以a2＝b2＋c2＝2c2，所以e＝. 2、C　解析：由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6. 由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤ 当且仅当＝3时，等号成立． 3、B　解析：当m＞n时，e＝，则m＝4n； 当m＜n时，e＝，则n＝4m. 所以e＝推不出m＝4n，充分性不成立． 当m＝4n时，则e＝，必要性成立． 综上，“e＝”是“m＝4n”的必要不充分条件． 4、A　解析：设P(m，n)(n≠0)，则Q(－m，n)，易知A(－a，0)， 所以kAP·kAQ＝(*)． 因为点P在椭圆C上，所以＝1，得n2＝(a2－m2)， 代入(*)式，得，所以e＝. 5、＋y2＝1　解析：如图，连接BD，由题意得|BD|＝|CD|，则|BD|＋|DA|＝|CD|＋|DA|＝4>＝2|AB|. 由椭圆的定义可得动点D的轨迹为椭圆，其焦点坐标为，长半轴长为2， 故短半轴长为1，故动点D的轨迹方程为＋y2＝1. 6、≤b.由＝1，可得2＝＋(y0－b)2＝－2by0＋a2＋b2≤4b2. 因为当y0＝－b时，|PB|2取得最大值4b2， 所以－≤－b，得2c2≤a2， 所以离心率e＝∈. 7、解：(1)由题意得A(－a，0)， 直线EF2的方程为x＋y＝c. 因为点A到直线EF2的距离为b， 即b，所以a＋c＝b，即(a＋c)2＝3b2. 又b2＝a2－c2，所以(a＋c)2＝3(a2－c2)， 所以2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0， 解得e＝或e＝－1(舍)， 所以椭圆C的离心率为. (2)由(1)知离心率e＝，即a＝2c①， 因为∠F1PF2＝60˚，△PF1F2的面积为， 则sin 60˚＝，所以|PF1||PF2|＝4. 由 得a2－c2＝3②， 联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆C的标准方程为＝1. 8、B　解析：如图，不妨设A(x0，y0)在第一象限，由椭圆的左焦点F1(－1，0)，点C，F1是线段AB的三等分点， 得C为AF1的中点，F1为BC的中点，所以x0＝c＝1， 易得y0＝，即A， 所以C. 将点B的坐标代入椭圆方程，得＝1， 即＝1，结合a2－b2＝c2＝1， 解得a2＝5，b2＝4， 所以椭圆的标准方程是＝1. 9、C　解析：取AP的中点Q，则， 所以·＝0， 所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形， 即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a. 因为点P在直线x＝上， 所以|FP|≥－c，即a≥－c， 所以－1，所以e2＋e－1≥0， 解得e≥或e≤. 又0＜e＜1，故≤e＜1. 10、＝1或＝1　　解析：焦点与椭圆上的点的最短距离为a－c＝， 又短轴的一个端点与两焦点组成正三角形，所以a＝2c，所以c＝，b＝3， 所以椭圆的方程为＝1或＝1，离心率e＝. 11、　解析：由题意，F1(－c，0)，F2(c，0)， 因为四边形F1F2PQ为菱形，所以P. 将点P的坐标代入＝1，可得＝1， 整理得4c4－8a2c2＋a4＝0， 所以4e4－8e2＋1＝0，解得e2＝. 又0＜e＜1，所以e＝. 12、解：(1)若∠F1AB＝90˚， 则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)， 由，得 解得x＝. 代入＝1，得＝1. 即＝1，解得a2＝3. 所以b2＝a2－1＝2. 所以椭圆的方程为＝1. 13、解：(1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知， 在△F1PF2中，∠F1PF2＝90˚，|PF2|＝c，|PF1|＝c， 于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝c， 故C的离心率为e＝－1. (2)由题意可知，满足条件的点P(x，y)存在当且仅当·2c＝16，＝1， 即c|y|＝16①，x2＋y2＝c2②，＝1③. 由②③及a2＝b2＋c2得y2＝. 又由①知y2＝，故b＝4. 由②③及a2＝b2＋c2得x2＝(c2－b2)， 所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4. 所以b＝4，a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$