函数模型及其应用专项训练-2025届高三数学一轮复习

第2章　 函数 第九节　函数模型及其应用 1．(2024·枣庄模拟)某种动物繁殖量y(单位：只)与时间x(单位：年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到(　　) A．200只 B．300只 C．400只 D．500只 2．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是(　　) 3．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过5 000元的部分不必纳税，超过5 000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算： 全月应纳税所得额 税率 不超过3 000元的部分 3% 超过3 000元至12 000元的部分 10% 超过12 000元至25 000元的部分 20% 有一职工八月份收入20 000元，该职工八月份应缴纳个税为(　　) A．2 000元 B．1 500元 C．990元 D．1 590元 4．(新情境)北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功．神舟十七号是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的第二次载人飞行任务．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中大于0的常数p0是听觉下限阈值，p是实际声压．声压级的单位为分贝(dB)，声压的单位为帕(Pa)．若人正常说话的声压约为0.02 Pa，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大100 dB，则火箭发射时的声压约为(　　) A．2 Pa B．20 Pa C．200 Pa D．2 000 Pa 5．某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇，开发生产一智能产品，该产品每年的固定成本是25万元，每生产x万件该产品，需另投入成本ω(x)万元，ω(x)＝若该公司一年内生产的该产品全部售完，每件的售价为70元，则该企业每年利润的最大值为(　　) A．720万元 B．800万元 C．875万元 D．900万元 6．如图所示，学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60 m，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽x应为________m. 高考训练 7．(2024·深圳模拟)某生物研究所于元旦在实验水域中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在水中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲覆盖面积为36 m2，凤眼莲覆盖面积y(单位：m2)与月份x的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋q(p>0，q>0)可供选择． (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 8．(2024·惠州模拟)近期某市某企业为了激励销售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据员工的销售额发放奖金(奖金和销售额单位都为万元)，奖金发放方案同时具备两个条件：①奖金f (x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增加；②奖金不低于销售额的5%(即奖金f (x)大于等于x·5%)．经测算该企业决定采用函数模型f (x)＝(a>0，b>0)作为奖金发放方案． (1)若a＝b＝，此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由． (2)若b＝，要使奖金发放方案满足条件，求实数a的取值范围． 答案解析 1、A　解析：由题意，繁殖量y与时间x的关系为y＝alog3(x＋1)．又这种动物第2年有100只，即当x＝2时，y＝100，所以100＝alog3(2＋1)，解得a＝100，故y＝100log3(x＋1)．所以当x＝8时，y＝100×log3(8＋1)＝100×2＝200.故选A． 2、B　解析：由于所给的圆锥形漏斗上口径大于下口径，当时间取t时，漏斗中液面下降的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B． 3、D　解析：由题意，职工八月份收入为20 000 元，其中纳税部分为20 000－5 000＝15 000(元)，其中不超过3 000元的部分，纳税额为3 000×3%＝90(元)，超过3 000元至12 000元的部分，纳税额为9 000×10%＝900(元)，超过12 000元至 25 000 元的部分，纳税额为3 000×20%＝600(元)，所以该职工八月份应缴纳个税为90＋900＋600＝1 590(元)．故选D． 4、D　解析：设人正常说话时的声压级为，火箭发射时的声压级为，则＝100.又人正常说话的声压p1＝0.02 Pa，火箭发射时的声压为p2，于是＝20×，两式相减得20(lg p2－lg 0.02)＝100，解得p2＝2 000，所以火箭发射时的声压约为2 000 Pa.故选D． 5、C　解析：由题意，设该企业每年利润为f (x)＝当0<x≤40时，f (x)＝－x2＋60x－25＝－(x－30)2＋875，在x＝30时，f (x)取得最大值875；当x>40时，f (x)＝920－＝720(当且仅当x＝100时等号成立)，即在x＝100时，f (x)取得最大值720.因为875>720，所以该企业每年利润的最大值为875万元．故选C． 6、10　解析：设每个花圃的面积为y，则y＝x·(x－10)2＋150(0<x<20)，所以当x＝10时，y最大． 7、解：(1)函数y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋q(p>0，q>0)在(0，＋∞)上都是单调递增的， 随着x的增加，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增长的越来越快， 而函数y＝＋q的值增长的越来越慢， 由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型y＝kax(k>0，a>1)符合要求． 根据题意可知解得 故该函数模型的解析式为y＝，1≤x≤12，x∈N*. (2)当x＝0时，y＝，即元旦放入凤眼莲的覆盖面积是 m2， 由>10·，得>10， 所以x＞log10＝＝≈5.68. 因为x∈N*，所以x≥6，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份是六月份． 8、解：(1)不满足条件．理由如下：当a＝b＝时，f (x)＝， 因为y＝在[2，8]上单调递增，y＝－在[2，8]上单调递增， 则f (x)＝在[2，8]上单调递增，所以条件①满足． 对于条件②，f (x)＝≥5%·x，即， 整理可得x2－2x＋2≤0，此不等式无解，不满足条件②. 故a＝b＝不满足条件． (2)当b＝时，f (x)＝， 因为a>0，所以f (x)在[2，8]上单调递增，奖金发放方案满足条件①. 由条件②，可知f (x)≥，即在[2，8]时恒成立， 所以a≤－在x∈[2，8]时恒成立． 因为函数y＝在[2，8]上单调递增， 所以当x＝2时，y取得最小值，即a≤. 所以要使奖金发放方案满足条件，实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$