空间距离专项训练-2025届高三数学一轮复习

第6章　 立体几何与空间向量 第七节　空间距离 1．已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D之间的距离为(　　) A. B． C． D． 2．(数学与文化)(2024·滁州模拟)《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以基，其形露矣．”文中“阳马”是底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．在阳马P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，则点A到平面PBD的距离为(　　) A． B． C． D． 3．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点F，G分别是AB，CC1的中点，则△D1GF的面积为(　　) A． B． C．2 D． 4．(多选题)在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是(　　) A． B． C．2 D． 5．已知两平行平面α，β分别经过点O(0，0，0)和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，则这两个平面间的距离是________． 6．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE之间的距离为________． 7．如图，在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点． (1)求点B到直线AC1的距离； (2)求直线FC到平面AEC1的距离． 高考模拟 8．如图，四棱锥P­ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点(不含端点)，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得截面的面积为y.若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f (x)的图象是(　　) 9．如图，已知四棱锥P­ABCD的底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝，PD⊥底面ABCD.若点D到平面PAC的距离为，则PD＝(　　) A．2 B． C．1 D．2 10．(多选题)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，平面α过B，C1，E三点，下列说法正确的是(　　) A．CD与平面α平行 B．平面A1B1CD与平面α垂直 C．平面α截正方体所得截面的面积为 D．正方体的顶点到平面α距离的最大值为 11．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a 的正方体ABCD­A1B1C1D1 ，点M 是线段DC1 上的动点，则点M 到直线AD1 距离的最小值为________． 12．如图，在四棱锥P­ABCD 中，侧面PAD⊥ 底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD 为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD 的中点．试问：在线段AD上是否存在点Q，使点Q到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 答案解析 1、B　解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(－1，0，0)． 设平面A1C1D的法向量为m＝(x，y，z)，则所以 取x＝1，则y＝1，z＝1，所以m＝(1，1，1)为平面A1C1D的一个法向量． 显然平面AB1C∥平面A1C1D， 所以平面AB1C与平面A1C1D之间的距离d＝. 2、B　解析：如图，连接BD，取BD的中点E，连接PE.因为ABCD为长方形，AB＝AD＝2，所以BD＝2.因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，所以PB＝.所以PE⊥BD，PE＝.设点A到平面PBD的距离为h，则三棱锥P­ABD的体积为PA＝S△PBD·h，即有×h，所以h＝. 3、B　解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则D1(0，0，2)，G(0，2，1)，F(1，1，0)， 所以＝(－1，－1，2)，＝(－1，1，1)， 所以点D1到直线GF的距离d＝. 又，所以＝. 4、CD　解析：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，3)．设P(0，t，0)(0＜t＜3)， 所以＝(－3，t，0)，＝(－3，0，3)，＝(0，3，0)． 设平面AD1P的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 取y＝3，则x＝t，z＝t，所以n＝(t，3，t)为平面AD1P的一个法向量． 所以点B到平面AD1P的距离为d＝. 因为0＜t＜3，所以点B到平面AD1P的距离的取值范围是. 5、　解析：因为两平行平面α，β分别经过点O(0，0，0)和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量为n＝(－1，0，1)，所以这两个平面间的距离d＝. 6、　解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，＝(－1，2，1)，＝(－1，0，2)． 设BC1与AE的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)， 则所以 取z＝1，则x＝2，y＝，所以n＝为BC1与AE的公垂线的一个方向向量． 又因为＝(0，2，0)， 所以异面直线BC1与AE之间的距离为d＝. 7、解：(1)以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，E(1，，0)，F(1，，1)， 所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，－1)， . 取a＝＝(0，1，0)，u＝， 则点B到直线AC1的距离为. (2)因为， 所以FC∥EC1，而FC⊄平面AEC1，EC1⊂平面AEC1， 所以FC∥平面AEC1， 所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离． 设平面AEC1的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 取z＝1，则x＝1，y＝2，所以n＝(1，2，1)为平面AEC1的一个法向量． 又因为， 所以点F到平面AEC1的距离为，即直线FC到平面AEC1的距离为. 8、C　解析：如图1，过点M作MN⊥AB，交AB于点N，则MN⊥平面ABCD，过点N作NQ∥AD，交CD于点Q，过点Q 作QH∥PD，交PC于点H，连接MH，则平面MNQH是所作的平面α. 图1 因为MN⊥平面ABCD，平面MNQH∥平面PAD，所以平面MNQH与平面PAD之间的距离x＝AN，MNQH为直角梯形，所以y＝S梯形MNQH.由题意得，解得MN＝4－2x. 由HQ∥PD得，即，解得QH＝(2－x)． 图2 如图，过点H作HE⊥NQ，则HE＝MN. 在Rt△HEQ中，EQ＝＝2－x， 所以NE＝2－(2－x)＝x，所以MH＝x. 所以y＝f (x)＝＝－x2＋4(0<x<2)． 所以函数y＝f (x)的图象如图2所示．故选C． 9.D　解析：设E为BC的中点，连接DE，因为底面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB＝，所以DE⊥BC，而AD∥BC，所以DE⊥DA. 以D为原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设PD＝a(a＞0)，则D(0，0，0)，P(0，0，a)，A(4，0，0)，C， 所以＝(4，0，－a)，＝＝(4，0，0)． 设平面PAC的法向量为n＝(x，y，z)， 则所以取x＝a，则y＝a，z＝4， 所以n＝为平面PAC的一个法向量． 设点D到平面PAC的距离为d，所以d＝，解得a＝2(负值舍去)． 10、BC　解析：因为平面α过B，C1，E三点，所以AB与平面α相交．因为CD∥AB，所以CD与平面α不可能平行，故A错误． 因为在正方体中，CD⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.又因为B1C⊥BC1，B1C∩CD＝C，B1C，CD⊂平面A1B1CD，所以BC1⊥平面A1B1CD.因为BC1⊂平面α，故平面A1B1CD与平面α垂直，故B正确． 如图，平面α截正方体所得截面为等腰梯形EFC1B，其中F是A1D1的中点，EF＝，计算得梯形EFC1B的高为，所以梯形EFC1B的面积为，故C正确． 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，D(0，0，0)，所以＝(0，－2，1)，＝(－2，0，2)，＝(2，2，0)． 设平面BEC1的法向量为m＝(x，y，z)，则所以 取y＝1，则x＝2，z＝2，所以m＝(2，1，2)为平面BEC1的一个法向量． 所以点D到平面BEC1的距离为＝2， 即正方体的顶点D到平面α的距离为2，大于，故D错误． 11、a　解析：由题意知D1(0，0，a)，A(a，0，0)．设M(0，m，m)(0≤m≤a)， 易知s＝为直线AD1的一个单位方向向量，＝(0，－m，a－m)， 故点M 到直线AD1 的距离为 d＝＝ ＝＝ ， 所以当m＝时，d取得最小值，为a，故d的最小值为a . 12、解：存在．因为PA＝PD，O 为AD 的中点，所以PO⊥AD. 因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，PO⊥平面PAD， 所以PO⊥底面ABCD. 连接OC，建立如图所示的空间直角坐标系， 易得C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)， 所以＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)． 假设在线段AD 上存在点Q，使点Q 到平面PCD 的距离为. 设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则＝(－1，y，0)． 设平面PCD 的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 则 取x0＝1，则y0＝1，z0＝1，所以n＝(1，1，1)为平面PCD的一个法向量． 所以点Q 到平面PCD 的距离d＝， 解得y＝－ 或y＝ (舍去)． 此时AQ＝. 所以存在点Q 满足题意，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $$