直线、平面平行的判定与性质 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第6章　 立体几何与空间向量 第三节　直线、平面平行的判定与性质 1．如图，已知P为四边形ABCD外一点，E，F分别为BD，PD上的点．若EF∥平面PBC，则(　　) A．EF∥PA B．EF∥PB C．EF∥PC D．以上均有可能 2．(多选题)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，则下列说法正确的是(　　) A．若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β B．若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l C．若m⊥α，l⊥m，则l∥α D．若m∥α，m⊂β，α∩β＝l，则m∥l 3．(多选题)已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的两条直线AC，BD分别交α于点A，B，交β于点C，D，且PA＝6，AC＝9，AB＝8，则CD的长为(　　) A．20 B．16 C．12 D．4 4．如图，在四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AD＝4，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，点E是线段AB的中点，点F在线段PA上，且EF∥平面PCD，直线PD与平面CEF交于点H，则线段CH的长度为(　　) A． B．2 C．2 D．2 5．如图，CD，AB均与平面EFGH平行，E，F，G，H分别在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB，则四边形EFGH的形状为________. 6．如图，正方形ABCD和直角梯形ABEF不在同一个平面内，AF∥BE，∠ABE＝90˚，AF＝1，BE＝2，P是BE的中点，则平面DEF与平面PAC的位置关系为________. 7．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，CD，SC的中点，求证： (1)EG∥平面BDD1B1； (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 高考模拟 8．(2024·南宁模拟)在三棱锥D-ABC中，M，N分别是△ACD，△BCD的重心，以下与直线MN平行的是(　　) A．直线CD B．平面ABD C．平面ACD D．平面BCD 9．如图，已知点E，F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 10．(多选题)如图，这是四棱锥P-ABCD的平面展开图，其中四边形ABCD是正方形，E，F，G，H分别是PA，PD，PC，PB的中点，则在原四棱锥中，下列结论中正确的有(　　) A．平面EFGH∥平面ABCD B．EF∥平面BDG C．EF∥平面PBC D．FH∥平面BDG 11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M，N在正方体的表面上运动，分别满足：AM＝2，AN∥平面BDC1.设点M，N的运动轨迹的长度分别为m，n，则＝________. 12．(数学与生活)(2022·全国甲卷)小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒．包装盒如图所示，底面ABCD是边长为8(单位：cm)的正方形，△EAB，△FBC，△GCD，△HDA均为等边三角形，且它们所在的平面都与平面ABCD垂直． (1)证明：EF∥平面ABCD； (2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)． 13．(2024·烟台模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点． (1)求证：CE∥平面PAD. (2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论；若不存在，请说明理由． 答案解析 1、B　解析：由线面平行的性质定理可知EF∥PB. 2、AD　解析：若l∥m，l∥β，则m∥β或m⊂β，故A正确； 若α∥β，m⊂α，l⊂β，则m∥l或l，m异面，故B错误； 若m⊥α，l⊥m，则l∥α或l⊂α，故C错误； 由线面平行的性质定理知D正确． 3、AD　解析：因为过点P的两条直线AC，BD确定的平面交α于AB，交β于CD，且平面α∥平面β，所以AB∥CD. 分两种情况： 当点P在两平行平面之外时，PC＝AC＋PA＝15，，所以CD＝20； 当点P在两平行平面之间时， PC＝AC－PA＝3，，所以CD＝4. 4、C　解析：因为直线PD与平面CEF交于点H，所以平面CEF∩平面PCD＝CH.因为EF∥平面PCD，所以EF∥CH.过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，如图所示． 因为EF∩AP＝F，CH∩HM＝H， 所以平面AEF∥平面CHM. 因为平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，所以AE∥CM.又BC∥AM，所以四边形ABCM为平行四边形，所以AM＝BC＝2.又AD＝4，所以M是AD的中点，则H为PD的中点，所以CH＝. 5、矩形　解析：因为CD∥平面EFGH，CD⊂平面BCD，平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF. 同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH为平行四边形． 又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF，所以平行四边形EFGH为矩形． 6、平行　解析：设AC∩BD＝O，连接OP，如图． 因为O，P分别为BD，BE的中点，所以OP∥DE. 因为DE⊄平面PAC，OP⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC. 因为P是BE的中点，BE＝2，所以PE＝AF＝1. 因为AF∥BE，所以四边形APEF是平行四边形，所以AP∥EF. 因为EF⊄平面PAC，AP⊂平面PAC，所以EF∥平面PAC． 因为DE⊂平面DEF，EF⊂平面DEF，DE∩EF＝E， 所以平面DEF∥平面PAC. 7、证明：(1)如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EG∥SB. 因为SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1， 所以EG∥平面BDD1B1. (2)如图，连接SD，因为F，G分别是CD，SC的中点，所以FG∥SD. 因为SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，所以FG∥平面BDD1B1. 由(1)知EG∥平面BDD1B1，又因为EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， 所以平面EFG∥平面BDD1B1. 8、B　解析：如图，取CD的中点为E，连接AE，BE. 由M，N分别是△ACD和△BCD的重心， 可得，则，即，所以MN∥AB. 因为CD与AB不平行，故A错误． 因为MN∥AB，MN⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以MN∥平面ABD，故B正确． 因为M∈平面ACD，N∉平面ACD，所以MN与平面ACD不平行，故C错误． 因为N∈平面BCD，M∉平面BCD，所以MN与平面BCD不平行，故D错误． 9、D　解析：如图，作平面KSHG∥平面ABCD，C1F，D1E分别交平面KSHG于点N，M，连接MN. 由面面平行的性质得MN∥平面ABCD. 由于平面KSHG有无数多个，所以平行于平面ABCD的MN有无数多条． 10、ACD　解析：将平面展开图还原成四棱锥，如图． 显然B不正确． 因为F，H分别为PD，PB的中点，所以FH∥BD，BD⊂平面BDG，FH⊄平面BDG，所以FH∥平面BDG，故D正确． 因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD.因为BC∥AD，所以EF∥BC. 因为BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，所以EF∥平面PBC，故C正确． 由EF∥AD，AD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. 同理可得EH∥平面ABCD，而EH∩EF＝E，EH，EF⊂平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故A正确． 11、　解析：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 因为点M，N在正方体的表面上运动，AM＝2，所以点M的轨迹为半径为2的球A与正方体表面的交线，即3个半径为2的四分之一圆弧，故m＝3××2π×2＝3π. 在正方体中，AD1∥BC1，AB1∥DC1，AD1∩AB1＝A，DC1∩BC1＝C1， AD1，AB1⊂平面AB1D1，DC1，BC1⊂平面BDC1，故平面AB1D1∥平面BDC1. 当点N在△AB1D1的三条边上运动时，满足AN∥平面BDC1， 故n＝3×2，故. 12、(1)证明：如图，将几何体补形为长方体，作EE′⊥AB于点E′，作FF′⊥BC于点F′，连接E′F′. 由于底面ABCD为正方形，△ABE，△BCF均为等边三角形， 所以△ABE与△BCF的高相等，即EE′＝FF′. 由面面垂直的性质可知，EE′，FF′均与底面ABCD垂直，则EE′∥FF′， 四边形EE′F′F为平行四边形，则EF∥E′F′. 因为EF⊄平面ABCD，E′F′⊂平面ABCD，所以EF∥平面ABCD. (2)解：易知包装盒的容积为长方体的体积减去四个三棱锥的体积， 其中长方体的高AA1＝EE′＝4(cm)， 所以长方体的体积V1＝8×8×4 又因为一个三棱锥的体积V2＝(cm3)， 则包装盒的容积V＝V1－4V2＝256(cm3)． 13、(1)证明：如图，取PA的中点H，连接EH，DH. 因为E为PB的中点， 所以EH∥AB，EH＝AB. 因为AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，EH＝CD. 所以四边形DCEH是平行四边形， 所以CE∥DH. 又因为DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD. (2)解：存在．证明如下：如图，取AB的中点F，连接CF，EF. 因为F为AB的中点，所以AF＝AB. 因为CD＝AB，所以AF＝CD. 又因为AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD. 因为CF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CF∥平面PAD. 由(1)可知CE∥平面PAD. 因为CE∩CF＝C，CE，CF⊂平面CEF，所以平面CEF∥平面PAD. 故存在点F，当F为AB的中点时，满足平面CEF∥平面PAD. 学科网（北京）股份有限公司 $$