直线、平面垂直的判定与性质专项训练-2025届高三数学一轮复习

第6章　 立体几何与空间向量 第四节　直线、平面垂直的判定与性质 1．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．若直线a不平行于平面α，a⊄α，则α内不存在与a平行的直线 B．若一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β，则α∥β C．设l，m，n为直线，m，n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的充要条件 D．若平面α⊥平面α1，平面β⊥平面β1，则平面α与平面β所成的二面角和平面α1与平面β1所成的二面角相等或互补 2．(数学与文化)在《九章算术》中，将一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形．如图，在四面体P-ABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF(此外不再增加任何连线)，则图中直角三角形最多有(　　) A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 3．已知三棱锥D-ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则平面BCD与平面BCA夹角的大小是 (　　) A． B． C． D． 4．(2024·惠州模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可) 5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设直线BD1与直线AD所成的角为α，直线BD1与平面CDD1C1所成的角为β，则α＋β＝ ________. 6．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，△PBA为锐角三角形，且PB⊥BC.求证： (1)AD∥平面PBC； (2)平面PBC⊥平面PAB. 高考训练 7．(2022·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(　　) A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D 8．(多选题)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝，则下列结论中正确的有(　　) A．当点E运动时，A1C⊥AE总成立 B．当点E向点D1运动时，二面角A-EF-B逐渐变小 C．二面角E-AB-C的最小值为45˚ D．三棱锥A-BEF的体积为定值 9．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD.若在边BC上只有一个点Q满足PQ⊥DQ，则a＝________. 10．(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90˚. (1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C； (2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高． 11．(2024·广州模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面PBC，PA⊥平面ABC. (1)求证：BC⊥平面PAC； (2)若AC＝BC＝PA，求二面角A-PB-C的平面角的大小． 答案解析 1、AB　解析：若α内存在直线与a平行，则由直线和平面平行的判定定理知直线a与平面α平行，与条件相矛盾，故A正确； 由面面平行的判定定理可知B正确； 由线面垂直的判定定理知，当直线m，n不相交时，由l⊥m且l⊥n，得不到l⊥α，故C错误； 当α1∥β1且α⊥β时，可满足题设条件，此时平面α与平面β所成的二面角为90˚，平面α1与平面β1所成的二面角为0˚，故D错误． 2、C　解析：为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体P-ABC为“鳖臑”，其中PA⊥平面ABC，且AB⊥BC，易知CB⊥平面PAB.若AE⊥PB，EF⊥PC，由CB⊥平面PAB，得平面PAB⊥平面PBC.又AE⊥PB，平面PAB∩平面PBC＝PB，所以AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC.又EF⊥PC，知四面体P-AEF也是“鳖臑”，则题图中的10个三角形全是直角三角形． 3、C　解析：如图，取BC的中点为E，连接AE，DE. 因为△ABC，△DBC和△BAD全等，又AB＝AC＝，BC＝2，所以DB＝DC＝，AD＝2. 因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，DE⊥BC， 所以∠AED为平面BCD与平面BCA夹角的平面角． 在△ABC中，AE⊥BC，AB＝AC＝，BC＝2， 所以AE＝，同理可得DE＝. 在△AED中，因为AE＝，AD＝2， 所以DE2＋AE2＝AD2，所以∠AED＝， 因此平面BCD与平面BCA夹角的大小为. 4、DM⊥PC(或BM⊥PC)　解析：连接AC(图略)，由三垂线定理可知，BD⊥PC. 所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD， 而PC⊂平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD. 5、　解析：如图，因为AD∥BC，所以∠D1BC为直线BD1与直线AD所成的角，即∠D1BC＝α. 因为BC⊥平面CDD1C1，所以∠BD1C为直线BD1与平面CDD1C1所成的角，即∠BD1C＝β，且BC⊥D1C. 在Rt△BD1C中，∠BCD1＝，所以∠D1BC＋∠BD1C＝，即α＋β＝. 6、证明：(1)因为BC∥平面PAD，BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD， 所以BC∥AD. 因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC， 所以AD∥平面PBC. (2)过点P作PH⊥AB于点H，如图． 因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥平面ABCD. 因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥PH. 因为△PBA为锐角三角形，所以点H与点B不重合，即PB∩PH＝H. 又因为PB⊥BC，PB，PH⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB. 7、A　解析：如图，因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC. 由正方体的性质知AC⊥BD，AC⊥DD1. 因为BD∩DD1＝D，且BD，DD1⊂平面BDD1，所以AC⊥平面BDD1，则EF⊥平面BDD1. 因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故A正确． 由选项A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在该正方体中，试想D1运动至A1时，平面B1EF不可能与平面A1BD垂直，故B错误． 在平面ABB1A1中，易知AA1与B1E相交，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误． 易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C与平面B1EF有公共点B1，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，故D错误． 8、ACD　解析：对于A，因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中可证其体对角线A1C⊥平面AB1D1，而AE⊂平面AB1D1，所以A1C⊥AE恒成立，故A正确； 对于B，平面EFB即平面BDD1B1，而平面EFA即平面AB1D1，所以当点E向点D1运动时，二面角A-EF-B的大小不变，故B错误； 对于C，当点E向点D1运动时，平面ABE逐渐向底面ABCD靠拢，这个过程中，二面角E-AB-C 越来越小，所以二面角E-AB-C的最小值为∠D1AD＝45˚，故C正确； 对于D，因为S△BEF＝，点A到平面BDD1B1的距离为，所以三棱锥A-BEF的体积为，即三棱锥A-BEF的体积为定值，D正确． 9、2　解析：如图，连接AQ，取AD的中点O，连接OQ. 因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ.又因为PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，PA，PQ⊂平面PAQ，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以点Q在以线段AD的中点O为圆心，AD为直径的圆上．又因为在BC上有且仅有一个点Q满足PQ⊥DQ，所以BC与圆O相切，所以OQ⊥BC.因为AD∥BC，所以OQ＝AB＝1，所以BC＝AD＝2OQ＝2，即a＝2. 10、(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC. 因为∠ACB＝90˚，所以AC⊥BC. 因为A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1. 因为BC⊂平面BB1C1C， 所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C. (2)解：如图，过点A1作A1O⊥CC1，垂足为O. 因为平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1O⊂平面ACC1A1， 所以A1O⊥平面BCC1B1， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为A1O. 因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC， 所以∠ACB＝∠A1CB＝90˚. 因为A1B＝AB，BC为公共边，所以△ABC≌△A1BC， 所以A1C＝AC. 设A1C＝AC＝x，则A1C1＝x， 所以O为CC1的中点，所以OC1＝＝1. 因为A1C⊥AC，所以A1C2＋AC2＝， 即x2＋x2＝22，解得x＝， 所以A1O＝＝1， 所以四棱锥A1-BB1C1C的高为1. 11、(1)证明：如图，作AD⊥PC交PC于点D. 因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AD⊂平面PAC， 所以AD⊥平面PBC. 因为BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC. 又因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以PA⊥BC. 因为PA，AD⊂平面PAC，PA∩AD＝A， 所以BC⊥平面PAC. (2)解：如图，作AD⊥PC交PC于点D，作DE⊥PB交PB于点E，连接AE. 由(1)知AD⊥平面PBC， 因为PB⊂平面PBC，所以AD⊥PB. 因为AD，DE⊂平面ADE，AD∩DE＝D，所以PB⊥平面ADE. 因为AE⊂平面ADE，所以AE⊥PB， 则∠AED即为二面角A-PB-C的平面角． 因为DE⊂平面PBC，所以AD⊥DE. 不妨设AC＝BC＝PA＝1，则PC＝. 由(1)知BC⊥平面PAC， 因为AC⊂平面PAC，所以BC⊥AC，所以AB＝. 因为PA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以PA⊥AB，则PB＝. 在Rt△ADE中，sin ∠AED＝.所以∠AED＝， 即二面角A-PB-C的平面角的大小为. 学科网（北京）股份有限公司 $$