第六章第五节 空间向量及其运算强化训练——2025届高三数学一轮复习

第6章　 立体几何与空间向量 第五节　空间向量及其运算 1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝，向量b＝，则与a，b不能构成空间的一个基底的向量是(　　) A． B． C． D．或 2．(2024·台州模拟)若向量a＝(1，1，2)，b＝(2，x，y)，且a∥b，则|b|＝(　　) A．2 B．2 C． D．2 3．(多选题)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．下列结论正确的有(　　) A．AP⊥AB B．AP⊥AD C．是平面ABCD的一个法向量 D．∥ 4．设向量a＝(3，5，2)，b＝(－2，1，3)，向量ma＋nb与x轴垂直时，实数m与n满足(　　) A．3m＝2n B．3m＝n C．m＝2n D．m＝n 5．如图，在一个120˚的二面角的棱上有A，B两点，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直．若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 6．已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________. 7．(2024·西安模拟)在空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的点，且满足，点G在线段MN上，且满足.若向量满足，则x＋y＋z＝________. 8．已知空间向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标是________. 9．在棱长为2的正方体中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H是C1G的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：EF⊥B1C； (2)求cos 〈 〉； (3)求FH的长． 高考训练 10．(多选题)(2024·沈阳模拟)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则(　　) A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．在上的投影向量的模为 11．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120˚，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 12．如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　) A． B． C． D． 13．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，，且AB1⊥MN，则λ的值为________. 14．如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足(0≤k≤1)． (1)用向量和表示向量； (2)向量与向量是否共面？ 15．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AD＝∠A1AB＝∠BAD＝60˚，AB＝AD＝2，AA1＝1，点P为线段BC的中点． (1)求； (2)求直线AB1与D1P所成角的余弦值． 答案解析 1、C　解析：因为－＝(a－b)， 所以与a，b不能构成空间的一个基底． 2、D　解析：由题意，得，解得x＝2，y＝4，故b＝(2，2，4)，所以|b|＝. 3、ABC　解析：对于A，＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥，即AP⊥AB，故A正确； 对于B，＝(－1)×4＋2×2＋(－1)×0＝0，所以⊥，即AP⊥AD，故B正确； 对于C，由⊥，且⊥，得出是平面ABCD的一个法向量，故C正确； 对于D，由是平面ABCD的法向量，得出⊥，故D错误． 4、A　解析：ma＋nb＝(3m－2n，5m＋n，2m＋3n)，取x轴的方向向量为e＝(1，0，0)．因为向量ma＋nb与x轴垂直，所以3m－2n＝0，解得3m＝2n. 5、B　解析：因为⊥⊥，二面角大小为120˚， 所以＝ cos (180˚－120˚)＝1×2×＝1. 因为， 所以＝1＋2＋4＋0＋2×1＋0＝9， 所以＝3. 6、　解析：因为a·b＝x＋2＝3，所以x＝1，所以b＝(1，1，2)， 所以cos 〈a，b〉＝. 又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以向量a与b的夹角为. 7、　解析：如图，连接MN，AN，AG. 由于，故＝3， 整理得4 ， 所以， 故x＝， 所以x＋y＋z＝. 8、　解析：因为空间向量a＝(1，0，1)，b＝(2，－1，2)，所以a·b＝4，＝3，所以向量a在向量b上的投影向量为(2，－1，2)＝. 9、(1)证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，E(0，0，1)，F(1，1，0)，C(0，2，0)，， 所以＝(1，1，－1)，＝(－2，0，－2)， 所以＝1×(－2)＋1×0＋(－1)×(－2)＝0，所以⊥，故EF⊥B1C. (2)解：因为，所以＝. 因为＝(1，1，－1)， 所以＝＋(－1)×(－2)＝， 所以cos 〈〉＝. (3)解：因为H是C1G的中点，所以H. 又因为F(1，1，0)，所以， 所以＝，即FH＝. 10、BD　解析：由已知得＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，＝(－3，1，1)，且≠， 因此与不共线，故A错误； ＝，所以与向量方向相同的单位向量坐标是(2，1，0)＝，故B正确； ＝－5，＝，cos 〈〉＝，故C错误； 在上的投影向量的模是，故D正确． 11、C　解析：如图，由题意知，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，CC1⊥平面ABC. 因为BC⊂平面ABC，AB⊂平面ABC，所以BB1⊥BC，CC1⊥AB. 因为， 所以－0＝2. 因为＝， 所以cos 〈〉＝，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为. 12、C　解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则D(0，0，0)，C1(0，1，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，所以＝(0，1，2)，＝(1，0，0)，＝(－1，1，0)． 设(λ，μ∈[0，1])， 所以＝λ(0，1，2)＝(0，λ，2λ)， ＝(1，0，0)＋μ(－1，1，0)＝(1－μ，μ，0)． 所以＝(1－μ，μ－λ，－2λ)， 所以＝， 当且仅当λ＝，即λ＝时取等号． 所以线段PQ长度的最小值为. 13、15　解析：如图，取B1C1的中点P，连接MP，以MC，MA，MP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系． 因为底面边长为1，侧棱长为2， 则A，M(0，0，0)． 设N，因为，所以N， 所以，. 因为AB1⊥MN，所以＝0， 所以－＝0，解得λ＝15. 14、解：(1)因为＋k＝(1－k)＝+) 所以＝(1－k)＝(1－k). (2)由(1)可知，＝(1－k)， 所以向量与向量共面． 15、解：(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，BP＝PC. 设＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底． 所以＝－＝－(b＋c)＝a－－c. 所以 ＝3， 所以. (2)由(1)，知－c，＝. 因为＝a＋c，所以＝， ＝(a＋c) ， 所以cos 〈〉＝， 故直线AB1与D1P所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$