等比数列专项训练-2025届高三数学一轮复习

第7章　 数列 第三节　等比数列 1．已知公比为q的等比数列{an}的前n项和Sn＝2a1－2qn，则a1＝(　　) A． B．1 C．2 D．4 2．(2024·岳阳模拟)已知等比数列{an}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于(　　) A．1 B．－1 C．3 D．－3 3．在数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．已知数列{an}为等比数列，且a2a10＝4a6，Sn为等差数列{bn}的前n项和，且S6＝S10，a6＝b7，则b9＝(　　) A． B．－ C．－ D．－4 5．(多选题)(数学与文化)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”现打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升、b升、c升，1斗为10升，则下列判断正确的是(　　) A．a＝ B．c＝ C．a，b，c依次成公比为2的等比数列 D．a，b，c依次成公比为的等比数列 6．已知数列{an}为等比数列，若数列{3n－an}也是等比数列，则数列{an}的通项公式可以为________．(写出一个即可) 7．已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________． 8．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋2n－3. (1)若bn＝an＋2n－1，证明：数列{bn}是等比数列； (2)求{an}的前n项和Sn. 高考训练 9．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a1＝8，a4＝－1，则数列{Sn}(　　) A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 10．(多选题)已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　　) A．{an＋Sn}是等差数列 B．{an·Sn}是等比数列 }是等差数列 D．是等比数列 11．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23，19，37，82}中，则6q＝______． 12．记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝______，Tn＝________． 13．(2024·佛山模拟)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝20，＝a2a5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋bn＋1＝，求数列{b2n}的前n项和Tn. 14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an>0，4S1＋S2＝S3. (1)求数列{an}的公比q； (2)∀n∈N*，不等式≥6n＋t恒成立，求实数t的最大值． 答案解析 1、B　解析：由题意可得a1＝S1＝2a1－2q，即a1＝2q， 又a2＝S2－S1＝2a1－2q2－a1＝2q－2q2， 故＝q，解得q＝，故a1＝2q＝1. 2、A　解析：由题知a5－a3＝8，a6－a4＝24， 即 解得所以a3＝a1q2＝×32＝1. 3、C　解析：令m＝1，则由am＋n＝aman，得an＋1＝a1an.又由题设易知an≠0，则＝a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＝2n.故ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝2k×＝2k+1×(210－1)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4. 4、B　解析：因为{an}为等比数列，且a2a10＝＝4a6，所以a6＝4.设等差数列{bn}的公差为d，因为S6＝S10，所以b7＋b8＋b9＋b10＝2(b7＋b10)＝0，则b7＋b10＝0.因为b7＝a6＝4，所以b10＝－4，所以3d＝b10－b7＝－4－4＝－8，所以d＝－，所以b9＝b7＋2d＝4＋2×. 5、BD　解析：由题意得a，b，c依次成公比为的等比数列，则c＋2c＋4c＝50，解得c＝.故选BD. 6、an＝3n-1(答案不唯一)　解析：设等比数列{an}的公比为q，令bn＝3n－an，则b1＝3－a1，b2＝32－a1q，b3＝33－a1q2.因为{bn}是等比数列，所以＝b1b3，即(32－a1q)2＝(3－a1)(33－a1q2)，可化为q2－6q＋9＝0，解得q＝3.取a1＝1，则an＝3n-1，经验证成立．(注：a1的值可取任意非零实数)． 7、(1－2-3n)　解析：设数列{an}的公比为q，则q3＝，解得q＝，所以a1＝＝4，a3＝a2q＝1.易知数列{anan＋1an＋2}是首项为a1a2a3＝4×2×1＝8，公比为q3＝的等比数列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝(1－2-3n)． 8、(1)证明：因为an＋1＝2an＋2n－3，bn＝an＋2n－1，易知bn≠0， 所以＝2. 又b1＝a1＋2－1＝2，所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)可知bn＝2n，则an＝2n－2n＋1， 故Sn＝21－1＋22－3＋…＋2n－2n＋1＝21＋22＋…＋2n－(1＋3＋…＋2n－1) ＝＝2n+1－n2－2. 9、A　解析：根据题意，设等比数列{an}的公比为q，a1＝8，a4＝－1， 则q3＝， 则Sn＝． 若n为奇数，则Sn＝，此时有S1>S3>…>Sn>； 若n为偶数，则Sn＝，此时有S2<S4<…<Sn<. 故S1最大，S2最小． 10、ACD　解析：由数列{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，所以a2＝a3. 因为{an}是各项均为正数的等比数列，所以a2＝a2q，可得q＝1.所以an＝a1>0，Sn＝na1. an＋Sn＝(n＋1)a1，所以数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确； an·Sn＝n，所以{an·Sn}不是等比数列，因此B不正确； ，所以{}是常数列，是等差数列，因此C正确； ＝a1>0，所以是常数列，是等比数列，因此D正确． 11、－9　解析：因为数列{bn}有连续四项在{－53，－23，19，37，82}中，且bn＝an＋1，则an＝bn－1，所以{an}有连续四项在{－54，－24，18，36，81}中．又{an}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数项为相隔两项． 又|q|＞1，则等比数列各项的绝对值递增， 按绝对值由小到大的顺序排列上述数值为18，－24，36，－54，81. 相邻两项相除得， 由此易知，－24，36，－54，81是{an}中连续的四项， 所以q＝－，所以6q＝－9. 12、　解析：由题意，得a1＝1－a1，则a1＝. 又当n≥2时，由化简整理得2an＝an－1， 易知an≠0，则，故数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，即an＝. 由等比数列的性质可得a1a3＝， 所以数列{a2n－1a2n＋1}是以为首项，为公比的等比数列， 则Tn＝. 13、解：(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，由题知S5＝5a3＝20，则a3＝4. 又＝a2a5，即16＝(4－d)(4＋2d)，且公差d不为0，所以d＝2. 因为a1＝a3－2d＝0，所以数列{an}的通项公式为an＝0＋2(n－1)＝2n－2. (2)由(1)知bn＋bn＋1＝＝2n-2＝2n-1， 则(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋(b5＋b6)＋…＋(b2n－1＋b2n) ＝20＋22＋24＋…＋22n-2＝①， (b1＋b2)＋(b2＋b3)＋(b3＋b4)＋…＋(b2n－1＋b2n) ＝20＋21＋22＋…＋22n-2＝＝22n-1－1②， ①×2－②，得b1＋b2n＝2×－22n-1＋1. 又b1＝1，所以b2n＝， Tn＝. 14、解：(1)由4S1＋S2＝S3，得4a1＋a1＋a2＝a1＋a2＋a3， 整理得4a1＝a3，所以4a1＝a1q2. 因为a1≠0，所以q2＝4， 由题意得q>0，所以q＝2. (2)由(1)得Sn＝＝a1(2n－1)，an＝a1·2n-1， 所以. 所以不等式≥6n＋t恒成立，等价于≥6n＋t恒成立， 即t≤恒成立． 令f (n)＝＝(n－3)2－， 当n＝1时，f (1)＝4－； 当n＝2时，f (2)＝1－； 当n≥3时，f (n)单调递增， 所以f (n)≥f (3)＝－. 所以t≤－，即实数t的最大值为－. 学科网（北京）股份有限公司 $$