7.4数列求和(一)专项训练-2025届高三数学一轮复习

第七章数列 第四节数列求和（一） 1.数列{am}的通项公式为a,=(一1y一1(4n-3),则它的前100项和1o等于() A.200 B.-200 C.400 D.-400 2.(2024曲靖模拟)已知数列a}的前n项和为S,设a=专，a,a+1=a,一1，则&24=(） A. B.2 C.2 D.1012 3.已知数列a的通项公式是a,=号，其前n项和8。=器，则项数n=() A.13 B.10 C.9 D.6 4.已知数列{ar}满足a+1十(1)y+an=2,则其前100项和Sn等于() A.250 B.200 C.150 D.100 5.已知函数y=f满足f9+f1一x)=1,若数列{a}满足a=f0+f(合)+f()+… +f(巴是2)+f,则数列a}的前20项和为() A.230 B.115 C.110 D.100 6.(多选题)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，a1=1,b1=2,a2十b2=7,a3十b3 ann为奇数， =13.记cn= bn为得数， 数列c}的前n项和为S,则() A.an=2n-1 B.b=2 C.&=1409 D.2n=2m2-n十3(4-1) 2 2 7.已知数列a}为等比数列，1=2，=4，则++a+…+a 8 8.数列a3,{b}满足a=b=1,a+1一a,=亡=2，n∈N,则数列b.(a_n)”的前 n项和为 4 9.已知单调递增的等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=20,2,a4,as成等比数列. (I)求数列{an}的通项公式： (2)若bn=2aw+1一3+2，求数列bn}的前n项和Tm 高考训练 10.(新定义)已知数列：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，即此数列 第一项是2"，接下来两项是2,21，再接下来三项是20,21,22，依此类推，设S是此数 列的前n项和，则S24等于() A.264+190 B.263+190 C.264+62 D.263+62 11.设i是虚数单位，则2i+32+4i3+…+202012019的值为() A.-1010-1010i B.-1011-1010i C.-1011-1012i D.1011-1010i 12.数列{an}满足an+2十(-1)an=3n-1,前16项和为540，则a1= 13.已知f=忌c∈R),若等比数列{a}满足a120=1,则f(a)+f(a)+十f(a220 a如+1n为奇数， 14.已知数列{an}满足a1=2,且ar+1= 2an为偶数(n∈N),设b,=a2:-1 (1)证明：数列{b十2}为等比数列，并求出{b}的通项公式： (2)求数列{an}的前2n项和. 15.记数列{an}的前n项和为S,己知Sn=2am一21+1 (I)求数列{am}的通项公式： (2)记bn=(-1 ylog2[(a+4)-青]，求数列{bn}的前n项和Tm 答案解析 1、B解析：S1=(4×1-3)-(4×2-3)+(4×3-3)-·-(4×100-3)=4×[1-2)+3-4) +…+(99-100)]=4×(-50)=-200 2、C解析：由题可知a.a+1=a-1,a,0,得a+1=号 -1 又=克，得=号=-1，=号=2,4=2号=克，a=号=-1， 故数列{a}是以3为周期的周期数列， 因为20243=674…2，则品24=674a十十ag)+M+a=22 3、D解析：由a,=号=1-声，得 8=(1-)+(1寺)+(1-言)+…+(1) =n-(+特+持)=n北 =n-1十卖 令n-1+声=器，即n十京=，解得n=6 4、D解析：由题知当n为奇数时，an十an+1=2,所以S1o0=(a1十a2)十(a十a4)十+(a +a10)=2×50=100. 5、B解析：a,=f0+f(合)+f()+…+f(是)+1)0， a,=f)+f()+f()++f(合)+f0②， 又因为f+f1-=1,①+②，得2a,=n十1，所以a.=些 所以{a}的前20项和为0=a1十a2十十a20=号+号+…+号-20×1+201×号=15 6、ABD解析：设数列{an}的公差为d,数列bm}的公比为q(q≠O). 1+d+2q=7,（d=2, 由题意得1+2d+2q-=13,解得{q=2, 所以an=2n-1,bn=2,故A,B正确. c2n一1=a2m一1=4n-3,c2=b2n=4,所以数列{cn}的前2n项和S2n=(a1十a十…十a2m-) +0+b4十+b)=-学=2m-n+号(4-.品=8十a=385,故C错误，D 正确。 7、1020解析：因为数列{an}为等比数列，a1=2,a=4, 2 所以g=亲=2，所以眠=ag-P=4Xg-1=4X2-1=21,所以++++a= 4x1-旦=1020 1-2 8、寺(4-1)解析：因为a+1一a,=芒=2，a1=b1=1,所以数列{a是等差数列，数列 {bn}是等比数列，an=1+2(n-1)=2n-1,bn=1×2m-1=2"-1 数列{b_(a_n)”}的前n项和为b,+b+…+b=b1十b3十b,十…+b2m一1 =20+22+24++22-2=号=3(4-10. 9、解：(1)设数列{an}的公差为d成d0), S4=20, 由题意得=ag, 4a,+9d=20. 即l(at3d2-(a+d(a+7a. 解得百（合. a=5, 所以an=2+(n-1)2=2n (2)由(1)知an=2n,所以bn=4(n+1)-3t2 所以Tm=4×2-33+4×3-34+…+4n+1)-3n+2 =42+3+…+6n+1月-(33+3+…+3=4n2Ψ.70=2m+6m+号-警 1-3 10、A解析：将数列分组： 第一组有一项，和为20： 第二组有两项，和为20+21： … 第n组有n项，和为20+21++2”-1=号=2”-1，则前63组共有4=2016（项）， 所以2024=20+(20+2)+…+(20+21+…+26)+20+21+22+23+24+25+26+27 =(21-1)+(22-1)+…+(263-1)+(28-1) =(2+22+…+263-63+255 =21-22+192=24+190. 1-2 11、B解析：设S=2i+3i2+4i3+…+2019i2018+202012019,则iS=2i2+33+4i4+…+2 0192019+202012020,两式相减可得(1-i0S=2i+i2+i3+i4+…+i2019-2020i2020=1+i+2 +3+4+…+i2019-20202020=1+1+-2020=1+中0-2020=-2021+i,所以S= 1 2 2021+=2021+91+9=-1011-1010i 11 2 12、7解析：由题意知au+2十(-1yan=3n-1,所以当n=2kk∈N)时，a2+2十a2=6从-1 (k∈N),所以(a2十a4)十(a6十as)十(ao+a1)+(a4十a16)=5+17+29+41=92.当n=2k-1(k ∈N)时，a2+1-a2-1=6k-4(k∈N,所以当k≥2时，a-1=a+(a-a)+(as-a)+ (a,-)++(as-1-ag-)=a+2+8+14+…+[6k-1）-41=a4+2+6k-90-型=a +(3k-4)k-1),当k=1时上式也成立，所以a2一1=a+(3k-4k-1)k∈N,即a2一1 =a1+32-7k+4k∈N). (方法一)所以a1+a4十a5+a+…+a3=8a1+3×(12+22+32++82)-7×(1+2+3+…十 8)+4×8=8a,+3×88+2g2x8+2-7×L+98+32=8a+612-252+32=8a+392又 前16项和为540，所以92+8a1十392=540，解得a=7 (方法二)所以a2#-1=41+(3k2+3k+1)-10k+3=a十[(k+1)3-]-10k+3,所以a1十a十 as+a,+…+a=8a+(23-13)十(33-2+…+(93-8)-10×L+8+3X8=8a,+93 13-360+24=8a1+392.又前16项和为540，所以92+8a1+392=540,解得a1=7 13、2020解析：因为fx)=存x∈R), 所以f+f(佳)=品+=品+斋=2 国为等比数列{am}满足a12020=1,所以a1a220=a242019==2020a1=1, 所以f(a1)十f(a22o)=f(a2)+f(a2o19)=…=f(a2o)+f(a1)=2, 所以f(a)+f(a2)+…+f(a22o)=2020 14、(1)证明：由题意，知bn+1=a2r+1=2am=2a2m-1十1)=2bn十2，则bn+1十2=2(bm十2). 又b1十2=0十2=4，所以密=2. 即{bn十2}是首项为4，公比为2的等比数列， 故bn十2=42-1=2n1, 所以bn=2+1-2 (2)解：数列{an}的前2n项和为 S2n=41十a2十a十+a2m =(a1+a3十as+…+a2m-)十(a2十a4十…+a2n) =(a1十a十as+…+a2m-i)+(a1+a3+…+a2n-1十m) =2(a1十aA3十a5十…+a2w-)+n =2b1+b2+…+b)+n =2×(22+23+.+2+1-2n)+n =2×49-3n=23-3n-8 15、解：(1)当n=1时，由Sn=2an-2n+1, 可得a1=S=2a1-2+1,即有a=1 当n≥2时，an=S.-Sm-1=2an-21+1-2an-1+2(n-1)-1, 即a=2a-1+2,可得a十2=2(am-1十2). 显然a,1十2≠0，则之铝=2 又a1十2=3，所以数列{an十2}是首项为3，公比为2的等比数列， 则an十2=32r-1,即有4w=32m-1-2 当n=1时，a1=1也符合上式，所以an=32-1-2 (2bm=(-1y-log2[(3-2-1+2)-3]=(-1)m1og22=(-1)yn 当n为偶数时， Tn=-1+2-3+4-…-0n-1)+n=(-1+2)+(-3+4)+…+[-0n-1)+m=号： 当n为奇数时，，=-1+2-3计4-十m-1)-n=学-n=学=-学 号，n为偶数， 综上所述，T=-吵n为奇数.