数列求和(二) 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第7章　 数列 第5节　 数列求和(二) 1．已知数列{an}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有an＋1＝a1＋an＋n，则的前100项和为(　　) A． B． C． D． 2．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，则数列的前n项和Sn＝(　　) A． B． C． D． 3．(2024·泰安模拟)已知数列{an}满足＝2n，则a1＋2a2＋22a3＋…＋22 021a2 022＝(　　) A．2×(22 022－1) B．(22 022＋1) C．(24 044－1) D．(24 044＋1) 4．数列{an}满足an＝，则数列的前n项和为(　　) A． B． C． D． 5．(多选题)已知数列{an}：，….若bn＝，设数列{bn}的前n项和为Sn，则(　　) A．an＝ B．an＝n C．Sn＝ D．Sn＝ 6．已知数列{an}满足an＋1＝an，a1＝1，则数列{anan＋1}的前10项和为________. 7．已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3·…·an＝(n∈N*)．若数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16，则数列{bn}的通项公式bn＝________，数列的前n项和Sn＝______. 8．已知递增等比数列{an}的前n项和为Sn，，且b1＝. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{bn}的前n项和Tn. 高考训练 9．等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则＝________. 10．已知数列{an}满足－1，且a1＝1，则an＝________，数列{bn}满足bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝________. 11．已知在数列{an}中，a1＝3，且{an－1}是公比为3的等比数列，则使的正整数n的值为____. 12．等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，满足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)令cn＝设数列{cn}的前n项和Tn，求T2n.　 答案解析 1、D　解析：因为an＋1＝a1＋an＋n，a1＝1， 所以an＋1－an＝1＋n. 所以an－an－1＝n(n≥2)． 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝(n≥2)． 当n＝1时，上式也成立，所以an＝， 所以. 所以的前100项和为2(1－＋－. 2、B　解析：设等差数列{an}的公差为d， 由a3＋a5＋a7＝6，a11＝8，得a5＝2，d＝1，所以an＝a5＋(n－5)d＝n－3， 则an＋3＝n，an＋4＝n＋1， 所以， 所以Sn＝. 3、C　解析：因为＝2n， 所以当n≥2时，a1＋an－1＝2(n－1)， 两式相减得an＝2，所以an＝2n(n≥2)． 又a1＝2也适合该式，故an＝2n. 所以a1＋2a2＋22a3＋…＋22 021a2 022＝ 4、B　解析：由题意得an＝(n＋1)，故， 所以数列的前n项和为＝4. 5、AC　解析：由题意得an＝， 所以bn＝. 所以数列{bn}的前n项和Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝ ＝. 6、　解析：因为an＋1＝an，a1＝1，所以(n＋1)an＋1＝nan， 所以数列{nan}是每项均为1的常数列，即nan＝1. 所以an＝， 所以数列{anan＋1}的前10项和为. 7、　解析：因为数列{an}为等比数列，且a1＝2，a4＝16， 所以公比q＝＝2，所以an＝2n， 所以a1a2a3·…·an＝21×22×23×…×2n＝21+2+3+…＋n＝. 因为a1a2a3·…·an＝，所以bn＝， 所以， 所以数列的前n项和 Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2＝2. 8、解：(1)设等比数列{an}的公比为q，显然q≠1，由＝9，得＝8， 即＝q3＝8，解得q＝2. 又b1＝＝， 整理得"－9a1＋2＝0，解得a1＝2或a1＝. 由bn＝，得an≠1，当a1＝时，a3＝×22＝1，不合题意，舍去， 故a1＝2，所以an＝2×2n-1＝2n，所以{an}的通项公式为an＝2n. (2)由(1)可得bn＝， 所以Tn＝1－. 9、　解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 依题意有解得 所以Sn＝n＋， 因此. 10、　(n－1)×2n+1＋2　解析：由－1，得＝1，又＝1， 所以是公差、首项都为1的等差数列， 则等差数列的通项公式为＝n，则an＝＝n×2n， 所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n， 2Sn＝1×22＋…＋(n－1)×2n＋n×2n+1， 相减得Sn＝－(2＋22＋…＋2n)＋n×2n+1＝－＋n×2n+1＝(n－1)×2n+1＋2. 11、4　解析：由题意，知{an－1}是首项为a1－1＝2，公比为3的等比数列， 所以an－1＝2×3n-1， 所以an＝2×3n-1＋1. 所以， 所以 ＝， 解得n＝4. 12、解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q， 由b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3，a1＝3，b1＝1， 得解得 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n-1. (2)由a1＝3，an＝2n＋1，得Sn＝n(n＋2)， 则当n为奇数时，cn＝， 当n为偶数时，由(1)可知cn＝2n-1. 所以T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝ 13、 (n－1)， 可得an＝Sn－Sn－1＝[n2－(n－1)2]＋＝n， 所以an＝n(n≥2)． 又因为a1＝1满足上式， 所以an＝n. (2)因为bn＝， 所以Tn＝1×， 两边同乘，得＋…＋(n－1)×， 两式相减，得， 即，所以Tn＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$