导数与函数的极值、最值训练-2025届高三数学一轮复习

第3章　 导数及其应用 第二节　导数与函数的极值、最值 1．(2024·西安模拟)已知函数f (x)，其导函数f ′(x)的图象如图所示，则(　　) A．f (x)有2个极值点 B．f (x)在x＝1处取得极小值 C．f (x)有极大值，没有极小值 D．f (x)在(－∞，1)上单调递减 2．已知函数f (x)＝，那么f (x)的极大值是(　　) A． B．－ C．－e D．e 3．(多选题)已知函数f (x)＝ex－2x＋1，则下列说法正确的是(　　) A．f (x)有极大值2ln 2 B．f (x)有极小值3－2ln 2 C．f (x)无最大值 D．f (x)在(ln 2，＋∞)上单调递增 4．(2022·全国甲卷)当x＝1时，函数f (x)＝a ln x＋取得最大值－2，则f ′(2)＝(　　) A．－1 B．－ C． D．1 5．设直线x＝t与函数f (x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为(　　) A．1 B． C． D． 6．已知函数f (x)＝3ln x－x2＋x在区间(1，3)上有最大值，则实数a的取值范围是________. 7．函数f (x)＝－3x－|ln x|＋3的最大值为________. 8．(2024·潍坊模拟)已知函数f (x)＝＋6ln x(a∈R)，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与y轴相交于点(0，6)，则函数f (x)的极小值为________. 9．(2024·1月·九省适应性测试)已知函数f (x)＝ln x＋x2＋ax＋2在点(2，f (2))处的切线与直线2x＋3y＝0垂直． (1)求实数a的值； (2)求f (x)的单调区间和极值． 高考模拟 10．(多选题)设f ′(x)为函数f (x)的导函数，已知x2f ′(x)＋xf (x)＝ln x，f (1)＝，则下列结论正确的是(　　) A．xf (x)在(1，＋∞)上单调递增 B．xf (x)在(1，＋∞)上单调递减 C．xf (x)在(0，＋∞)上有极大值 D．xf (x)在(0，＋∞)上有极小值 11．(多选题)(2024·漳州模拟)已知函数f (x)＝(x2－3)ex，现给出下列结论，其中正确的是(　　) A．函数f (x)有极小值，但无最小值 B．函数f (x)有极大值，但无最大值 C．若方程f (x)＝b恰有一个实数根，则 D．若方程f (x)＝b恰有三个不同的实数根，则0<b<6e-3 12．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________. 13．(2024·渭南模拟)已知函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，则a的最小值为________. 14．已知函数f (x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax，a∈R. (1)当a＝0时，求f (x)的极值； (2)当|a|≥1时，求f (x)在[0，|a|]上的最小值． 答案解析 1、C　解析：由题意及题图分析可知，f (x)在(－∞，3)上单调递增，在(3，＋∞)上单调递减，所以f (x)有一个极大值，没有极小值，所以A，B，D错误，C正确．故选C． 2、A　解析：因为函数f (x)＝－xex，所以f ′(x)＝－(x＋1)ex.令f ′(x)＝0，得x＝－1.当x<－1时，f ′(x)>0；当x>－1时，f ′(x)<0，所以f (x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减，所以f (x)极大值＝f (－1)＝.故选A． 3、BCD　解析：因为f (x)＝ex－2x＋1的定义域为R，并且f ′(x)＝ex－2，令f ′(x)＝0，得x＝ln 2.当x∈(－∞，ln 2)时，f ′(x)<0，f (x)单调递减；当x∈(ln 2，＋∞)时，f ′(x)>0，f (x)单调递增，所以当x＝ln 2时，f (x)取得极小值，无极大值，也无最大值，并且f (x)极小值＝f (ln 2)＝3－2ln 2，所以BCD正确，A错误．故选BCD． 4、B　解析：由题意知f (1)＝a ln 1＋b＝b＝－2.f ′(x)＝，因为f (x)的定义域为(0，＋∞)，所以易得f ′(1)＝a＋2＝0，所以a＝－2，所以f ′(2)＝＝－. 5、D　解析：因为函数f (x)的图象始终在g(x)的上方，所以|MN|＝f (x)－g(x)＝x2－ln x.设h(x)＝x2－ln x，则h′(x)＝2x－＝(x＞0)．令h′(x)＝＝0，得x＝，所以h(x)在上单调递减，在上单调递增，所以当x＝时取得极小值，也是最小值，故t＝. 6、　解析：因为f (x)＝3ln x－x2＋x，所以f ′(x)＝－2x＋.由于f (x)＝3ln x－x2＋x在区间(1，3)上有最大值，且f ′(x)＝－2x＋在(1，3)上单调递减，故需满足f ′(x)在(1，3)内有唯一零点，故即解得－<a<，即实数a的取值范围为. 7、2－ln 3　解析：由题知当x≥1时，f (x)＝－3x－ln x＋3，所以f ′(x)＝－3－<0，所以f (x)在[1，＋∞)上单调递减，所以f (x)max＝f (1)＝0.当0<x<1时，f (x)＝－3x＋ln x＋3，所以f ′(x)＝－3＋＝，所以当x∈时，f ′(x)>0，f (x)单调递增；当x∈时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，所以当0＜x＜1时，f (x)max＝f ＝2－ln 3.综上可知"＝2－ln 3. 8、2＋6ln 3　解析：因为f (x)＝a(x－5)2＋6ln x，所以f (1)＝16a，即切点为(1，16a)．又f ′(x)＝2a(x－5)＋，k＝f ′(1)＝6－8a，所以切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)．又切线过点(0，6)，所以6－16a＝(6－8a)(0－1)，解得a＝，所以f (x)＝＋6ln x，则f ′(x)＝x－5＋＝＝，所以当0<x<2或x>3时，f ′(x)>0；当2<x<3时，f ′(x)<0.所以f (x)在(0，2)上单调递增，在(2，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，所以f (x)在x＝3处取得极小值，即f (x)极小值＝f (3)＝2＋6ln 3. 9、解：(1)f ′(x)＝＋2x＋a(x＞0)，则f ′(2)＝＋2×2＋a＝＋a. 由题意可得＝－1，解得a＝－3. (2)因为a＝－3，所以f (x)＝ln x＋x2－3x＋2， 所以f ′(x)＝＋2x－3＝＝(x＞0)， 故当0<x<时，f ′(x)>0；当<x<1时，f ′(x)<0；当x>1时，f ′(x)>0. 故f (x)的单调递增区间为，(1，＋∞)，单调递减区间为， 故f (x)的极大值为f ＝ln －3×＋2＝－ln 2， 极小值为f (1)＝ln 1＋12－3×1＋2＝0. 10、AD　解析：由x2f ′(x)＋xf (x)＝ln x，可得xf ′(x)＋f (x)＝ln x，x>0，所以[xf (x)]′＝.令g(x)＝xf (x)，x>0，则g′(x)＝，当0<x<1时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，所以函数g(x)＝xf (x)在(0，＋∞)上有极小值g(1)＝f (1)＝.故选AD． 11、BD　解析：由题意得f ′(x)＝(x2＋2x－3)ex.令f ′(x)＝0，即(x2＋2x－3)ex ＝0，解得x＝1或x＝－3，则当x<－3或x>1时，f ′(x)>0，即函数f (x)在(－∞，－3)，(1，＋∞)上单调递增；当－3<x<1时，f ′(x)<0，即函数f (x)在(－3，1)上单调递减．所以函数f (x)在x＝－3处取得极大值f (－3)＝6e-3，在x＝1处取得极小值f (1)＝－2e.又x趋向于－∞时，f (x)趋向于0；x→＋∞时，f (x)趋向于＋∞.作出函数f (x)＝(x2－3)ex的大致图象如图所示． 因此f (x)有极小值f (1)，也有最小值f (1)，有极大值f (－3)，但无最大值．若方程f (x)＝b恰有一个实数根，则b>6e-3或b＝－2e；若方程f (x)＝b恰有三个不同的实数根，则0<b<6e-3.故选BD． 12、a3　解析：容积V(x)＝(a－2x)2x，0<x<，则V′(x)＝2(a－2x)(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)．由V′(x)＝0，得x＝或x＝(舍去)，当0＜x＜时，V′(x)＞0，则V(x)单调递增；当＜x＜时，V′(x)＜0，则V(x)单调递减．则x＝为V(x)在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V(x)max＝a3. 13、　解析：因为f (x)＝aex－ln x(x>0)，所以f ′(x)＝aex－.因为函数f (x)＝aex－ln x在区间(1，2)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(1，2)上恒成立．显然a>0，所以问题转化为xex≥在(1，2)上恒成立．设g(x)＝xex，x∈(1，2)，所以g′(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex>0，所以g(x)在(1，2)上单调递增，所以g(x)>g(1)＝e.故e≥，解得a≥，所以a的最小值为. 14、解：(1)当a＝0时，f (x)＝2x3－3x2，f ′(x)＝6x2－6x＝6x(x－1)． 故当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f ′(x)>0，x∈(0，1)时，f ′(x)<0. 则f (x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减， 所以f (x)的极大值为f (0)＝0，极小值为f (1)＝－1. (2)因为f (x)＝2x3－(a＋3)x2＋2ax， 所以f ′(x)＝6x2－2(a＋3)x＋2a＝2(x－1)(3x－a)． ①当a>3时，f (x)在[0，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以f (x)min＝min＝min＝ ②当a＝3时，f (x)在[0，3]上单调递增，所以f (x)min＝f (0)＝0. ③当1≤a<3时，f (x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，a]上单调递增， 所以f (x)min＝min{f (0)，f (1)}＝min{0，a－1}＝0. ④当a≤－1时，f (x)在[0，1)上单调递减，在(1，|a|]上单调递增，所以f (x)min＝f (1)＝a－1. 综上所述，f (x)min＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$