导数的概念及运算 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第3章　 导数及其应用 第一节　导数的概念及运算 1．已知曲线y＝f (x)＝2x cos x在x＝0处的切线为l，则l的斜率为(　　) A．ln 2 B．－ln 2 C．1 D．－1 2．(2024·邢台模拟)在一次跳水运动中，某运动员跳水过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系：h(t)＝＋4t＋11.该运动员在t＝1 s时的瞬时速度(单位：m/s)为(　　) A．－4 B．4 C．11 D．－11 3．函数y＝f (x)的图象与其在点P处的切线如图所示，则f (1)－f ′(1)等于(　　) A．－2 B．0 C．2 D． 4 4．(2024·揭阳模拟)已知曲线y＝f (x)＝x3＋2ax2＋x＋b在点(1，0)处的切线的倾斜角为，则a＋b＝(　　) A．－ B．－ C．－2 D．－ 5．已知函数f (x)＝，则曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线方程为(　　) A．3x＋4y＋5＝0 B．3x－4y＋5＝0 C．x＋4y＋7＝0 D．x－4y＋7＝0 6．(多选题)已知函数y＝f (x)(x∈R)图象上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x0＋4)(x－x0)，那么下列结论正确的是(　　) A．f ′(1)＝－5 B．在x＝2处的切线平行或重合于x轴 C．切线斜率的最小值为1 D．f ′(4)＝12 7．(多选题)已知函数f (x)＝ex，则下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是1 B．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是－1 C．过点(0，1)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条 D．过点(0，0)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有2条 8．已知函数f (x)＝＋ex cos x，若f ′(0)＝－1，则a＝________. 9．一个小球作简谐振动，其运动方程为s＝2sin ，其中s(单位：cm)是小球相对于平衡点的位移，t(单位：s)为运动时间，则小球在t＝1时的瞬时速度为______cm/s. 10．(2024·许昌模拟)点P是曲线y＝f (x)＝2x2－3ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－4的最短距离为________. 高考模拟 11．已知曲线y＝2ax＋ln x在点(1，2a)处的切线与直线y＝x＋2垂直，则常数a的值是(　　) A．－ B． C．－ D． 12．(多选题)已知函数f (x)及其导函数f ′(x)，若存在x0使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A．f (x)＝x2 B．f (x)＝e－x C．f (x)＝ln x D．f (x)＝tan x 13．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln (x＋2)的切线，则b的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．0或－1 14．(2024·绵阳模拟)若函数f (x)＝x2－ax与g(x)＝ln x＋2x的图象在公共点处有相同的切线，则实数a＝(　　) A．－2 B．－1 C．e D．－2e 15．(开放思维)请写出与曲线y＝f (x)＝x3＋1在点(0，1)处具有相同切线的一个函数(非常数函数)的解析式为g(x)＝________. 16．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x)＝ln (1＋x)，则曲线y＝f (x)在点(0，0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________. 17．(2024·银川模拟)已知过点A(a，0)可作两条不同的直线与曲线C：f (x)＝xex相切，则实数a的取值范围是__________. 答案解析 1、A　解析：对f (x)＝2x cos x求导，得f ′(x)＝(ln 2)×2x cos x－2x sin x，由题意可知曲线y＝f (x)＝2x cos x在x＝0处的切线l的斜率为kl＝f ′(0)＝(ln 2)×20·cos 0－20·sin 0＝ln 2. 2、A　解析：由h(t)＝－4t2＋4t＋11，得h′(t)＝－8t＋4，故h′(1)＝－4，即该运动员在t＝1 s时的瞬时速度为－4 m/s. 3、D　解析：由题图可知切线经过点(2，0)，(0，4)，可得切线的斜率为k＝＝－2，即f ′(1)＝－2，则切线方程为y＝－2x＋4.令x＝1，可得y＝2，即f (1)＝2，所以f (1)－f ′(1)＝2＋2＝4. 4、A　解析： f ′(x)＝3x2＋4ax＋1，由题意可知曲线在点(1，0)处的切线斜率k＝tan ＝－1，则解得a＝－，b＝，所以a＋b＝－. 5、B　解析：由已知可得，f (x)＝＝，所以f ′(x)＝×3＝.根据导数的几何意义可知，曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线的斜率为k＝f ′(1)＝＝.又f (1)＝＝2，代入点斜式方程可得y－2＝(x－1)，整理可得3x－4y＋5＝0. 6、AB　解析：由题意可得f ′(x)＝(x－2)(x＋4)．对于A，f ′(1)＝－5，A正确；对于B，当x＝2时，f ′(2)＝0，故在x＝2处的切线平行或重合于x轴，B正确；对于C，f ′(x)＝(x－2)(x＋4)＝x2＋2x－8＝(x＋1)2－9≥－9，最小值为－9，故C错误；对于D，f ′(4)＝(4－2)(4＋4)＝16，D错误． 7、AC　解析： 因为函数f (x)＝ex，所以f ′(x)＝ex.对于A，令f ′(x)＝ex＝1，得x＝0，所以曲线y＝f (x)的切线斜率可以是1，故A正确；对于B，令f ′(x)＝ex＝－1，此方程无解，所以曲线y＝f (x)的切线斜率不可以是－1，故B错误；对于C，设切点为，则切线方程为＝(x－x0)，因为直线经过(0，1)，所以有＝(0－x0)，解得x0＝0，所以(0，1)即为切点，过点(0，1)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有一条，故C正确；对于D，设切点为)，则切线方程为＝(x－x0)，因为点(0，0)在切线上，所以＝，解得x0＝1，所以过点(0，0)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条，故D错误． 8、2　解析：因为f ′(x)＝＋ex cos x－ex sin x，所以f ′(0)＝－a＋1＝－1，得a＝2. 9、0　解析：由s＝2sin ，得s′＝cos ，所以小球在t＝1时的瞬时速度为cos ＝0(cm/s)． 10、　解析：由题可得f ′(x)＝4x－(x>0)，令f ′(x)＝4x－＝1，解得x＝1.又f (1)＝2，所以与直线y＝x－4平行且与曲线y＝f (x)相切的直线的切点为(1，2)，所以点P到直线y＝x－4的最短距离为＝. 11、C　解析：由y＝2ax＋ln x，得y′＝2a＋，所以在点(1，2a)处的切线的斜率为k＝2a＋1.又曲线y＝2ax＋ln x在点(1，2a)处的切线与直线y＝x＋2垂直，所以2a＋1＝－2，解得a＝－. 12、AC　解析：若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，故A符合要求；若f (x)＝e－x，则f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x)＝f ′(x)存在实数解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，则f ′(x)＝′＝，令tanx＝，化简得sinxcos x＝1，变形可得sin 2x＝2，此方程无解，故D不符合要求． 13、B　解析： 设y＝kx＋b是y＝ln x＋2在点(a，ln a＋2)处的切线，则同理设y＝kx＋b是y＝ln (x＋2)在点(c，ln (c＋2))处的切线，则由＝k＝，得c＋2＝a，代入解得故选B． 14、B　解析：设函数f (x)＝x2－ax与函数g(x)＝ln x＋2x的图象公共点的坐标为(x0，y0)，求导得f ′(x)＝2x－a，g′(x)＝＋2，依题意，得 于是令函数h(x)＝x2＋ln x－1，显然函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(1)＝0，则当h(x)＝0时，x＝1，因此在－1＝0中，x0＝1，此时a＝－1.经检验a＝－1符合题意，所以a＝－1. 15、x2＋1(答案不唯一)　解析：f ′(x)＝3x2，f ′(0)＝0，曲线y＝f (x)＝x3＋1在点(0，1)处的切线方程为y＝1，所有在点(0，1)处的切线方程为y＝1的函数都是正确答案． 16、y＝x　 解析：函数f (x)＝ln (1＋x)，则f ′(x)＝，f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以切线方程为y＝x，所以ln 2 022－ln 2 021＝ln ＝f .根据以直代曲，x＝也非常接近切点x＝0，所以可以将x＝代入切线方程近似代替f ，即f ≈. 17、(－∞，－4)∪(0，＋∞)　解析：由f (x)＝xex，得f ′(x)＝(x＋1)ex，设切点坐标为(x0，x0)，所以切线的斜率为f ′(x0)＝，切线方程为y－x0＝(x－x0)．因为切线过点A(a，0)，所以有0－x0"＝(a－x0)，化简得－ax0－a＝0.因为过点A(a，0)可作两条不同的直线与曲线C相切，所以关于x0的方程－ax0－a＝0有两个不相等的实数根，所以该方程的判别式Δ＝(－a)2＋4a>0，解得a>0或a<－4，因此实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 学科网（北京）股份有限公司 $$