第二节　同角三角函数的基本关系与诱导公式专项训练-2025届高三数学一轮复习

第4章　 三角函数与解三角形 第2节　 同角三角函数的基本关系与诱导公式 1．(多选题)若cos (π－α)＝－，则(　　) A．sin (－α)＝ B．sin ＝－ C．cos (π＋α)＝－ D．cos (α－π)＝－ 2．(2024·冀州模拟)若sin ＝，则cos (π＋α)＝(　　) A．－ B．－ C． 3．已知角A，B，C为△ABC的三个内角，若sin ＝sin ，则△ABC一定是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 4．(多选题)(2024·青岛模拟)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　　) A．sin θ＝ B．cos θ＝－ C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝ 5．已知sin ＋cos (π－α)＝sin α，则2sin2α－sinαcos α等于(　　) A． B． C． D．2 6．已知sin＝－，那么tan α·sin α＝________. 7．已知sin cos ＝，且0＜α＜，则sin α＝______，cos α＝______. 8．(2024·长沙模拟)已知sin ＝，且－α为第二象限角，则sin ＋sin ＝________. 9．已知α为第三象限角，f (α)＝. (1)化简f (α)； (2)若cos ＝，求f (α)的值． 高考模拟 10．(2024·郑州模拟)已知角α∈，且tan2α－3tanαsin α－4sin2α＝0，则sin(α＋2 023π)等于(　　) A． B． C．－ D．－ 11．(数学与生活)黑洞原指某种天体，它体积小，密度大，引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上的工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”．如果把这个数字设为a，则sin 等于(　　) A． B．－ C． D．－ 12．(多选题)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin (π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　) A．sin β＝ B．cos (π＋β)＝ C．tan β＝ D．tan β＝ 13．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 14．是否存在α∈，β∈(0，π)使等式sin (3π－α)＝cos cos (－α)＝－cos (π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 15．已知f (x)＝(n∈Z)． (1)化简f (x)的表达式； (2)求f ＋f 的值． 答案解析 1、CD　解析：由cos (π－α)＝－，得cos α＝，则sin α＝±. A．sin (－α)＝－sin α＝±，所以不正确． B．sin ＝cos α＝，所以不正确． C．cos (π＋α)＝－cos α＝－，所以正确． D．cos (α－π)＝cos (π－α)＝－，所以正确． 故选CD． 2、B　解析：因为sin ＝sin ＝sin ＝cos α＝，所以cos (π＋α)＝－cos α＝－. 3、C　解析：因为sin ＝sin ，A＋B＋C＝π， 所以sin ＝sin ，可得cos C＝cos B. 又因为B，C∈(0，π)，所以C＝B，c＝b，则△ABC一定是等腰三角形． 4、ABD　解析：由题意知sin θ＋cos θ＝， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝－＜0. 又因为θ∈(0，π)，所以＜θ＜π，所以sin θ－cos θ＞0， 所以sin θ－cos θ＝＝＝＝，所以sin θ＝，cos θ＝－. 所以tan θ＝－.故A，B，D正确． 5、D　解析：由诱导公式可得sin α＝sin ＋cos (π－α)＝－2cos α，所以tan α＝－2，所以2sin2α－sinαcos α＝＝＝＝2. 6、　解析：因为sin ＝－，所以cos α＝－，sin2α＝1－cos2α＝1－＝，所以tanα·sin α＝＝＝－. 7、　解析：sin cos ＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝. 因为0＜α＜，所以0＜sin α＜cos α.又因为sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝，cos α＝. 8、　解析：因为sin ＝，且－α为第二象限角，所以cos ＝－， 所以sin ＋sin ＝sin ＋sin ＝sin －cos ＝＝. 9、解：(1)f (α)＝＝＝－cos α. (2)因为cos ＝，所以－sin α＝，从而sin α＝－. 又α为第三象限角，所以cos α＝－＝－，所以f (α)＝－cosα＝. 10、A　解析：因为tan2α－3tanαsin α－4sin2α＝0，所以(tanα－4sin α)(tan α＋sin α)＝0. 因为α∈，所以tan α<0且sin α<0，所以tan α－4sin α＝0，即＝4sin α， 所以cos α＝，所以sin α＝－＝－，所以sin (α＋2 023π)＝－sin α＝. 11、D　解析：根据数字黑洞的定义，任取数字2 021，经过第一步之后变为314，经过第二步之后变为123，再变为123…… 所以数字黑洞为123，即a＝123， 所以sin ＝sin ＝－cos ＝－. 12、AC　解析：因为sin (π＋α)＝－sin α＝－，所以sin α＝，cos α＝±. 若α＋β＝，则β＝－α. A中，sin β＝sin ＝cos α＝±，故A符合条件； B中，cos (π＋β)＝－cos ＝－sin α＝－，故B不符合条件； C中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故C符合条件； D中，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sinβ＝±，故D不符合条件． 13、－　解析：因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0. 又因为tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 所以cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得sinθ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 14、解：存在．假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2， 所以sin2α＝，所以sinα＝±. 因为α∈，所以α＝±. 当α＝时，由②式知cos β＝， 又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式成立； 当α＝－时，由②式知cos β＝， 又β∈(0，π)，所以β＝，此时①式不成立，故舍去． 所以存在α＝，β＝使等式同时成立． 15、解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时， f (x)＝＝＝＝sin2x； 当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时， f (x)＝＝ ＝＝＝sin2x. 综上可得f (x)＝sin2x. (2)由(1)得f ＋f ＝sin2＋sin2 ＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$