正弦定理和余弦定理及应用 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第4章　 三角函数与解三角形 第六节　正弦定理和余弦定理及应用 1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知a＝2，b＝，B＝，则A＝(　　) A． B． C．或 D．或 2．(数学与生活)密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6 000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如1周角等于6 000密位，写成“60-00”，578密位写成“5-78”．若在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且有a2－c2＋b2＝ab，则角C用密位制表示正确的是(　　) A．2-50 B．5-00 C．10-00 D．20-00 3．(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． 4．(2024·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝60˚，b＝1，S△ABC＝，则等于(　　) A． B． C． D．2 5．(多选题)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＋b＝10，c＝5，sin 2B＋sin B＝0.则下列结论正确的是(　　) A．a＝3 B．b＝7 C．B＝60˚ D．sin C＝ 6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若S△ABC＝a2sin A，且b＋c＝a，则cos A＝________. 7．(2024·北京模拟)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a sin B＝b cos A，且b＝2，c＝2，则a的值为________. 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin C＋c sin B＝4a sin B sin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________. 9．(2023·新高考全国Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin (A－C)＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 高考模拟 10．(数学与生活)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角，且AB＝AC，从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动．如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D′的位置，且A，B，D′三点共线，AD′＝40 cm，B为AD′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm，则当伞完全张开时，∠BAC的余弦值是(　　) A．－ B．－ C．－ D．－ 11．(2024·衡阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2cosB·(a cos C＋c cos A)＝b，lg sin C＝lg 3－lg 2，则△ABC的形状为(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 12．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B－c－＝0，a2＝bc，b>c，则＝________. 13．(2024·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＋sin A＝. (1)求角C； (2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2b的取值范围． 答案解析 1、B　解析：由正弦定理＝，得sin A＝＝＝. 因为a<b，所以A<B，则A＝. 2、C　解析：因为a2－c2＋b2＝ab，所以cos C＝＝＝. 因为C为三角形的内角，所以C＝60˚. 因为1周角等于6 000密位，写成“60-00”， 所以C＝×6 000＝1 000(密位)，即角C用密位制表示为10-00. 3、C　解析：由题意结合正弦定理可得sin A cos B－sin B cos A＝sin C， 即sin A cos B－sin B cos A＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A， 整理可得sin B cos A＝0. 由于B∈(0，π)，故sin B>0，据此可得cos A＝0，A＝， 则B＝π－A－C＝π－＝. 4、A　解析：由三角形的面积公式可得S△ABC＝bc sin A＝c＝，解得c＝4. 由余弦定理可得a＝＝. 设△ABC的外接圆半径为r， 由正弦定理得＝＝＝2r， 所以＝＝2r＝＝＝. 5、ABD　解析：由sin 2B＋sin B＝0，得2sin B cos B＋sin B＝0. 因为在△ABC中，sin B≠0，得cos B＝－，所以B＝120˚. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，得b2＝a2＋52－2×a×5×. 因为b＝10－a，所以(10－a)2＝a2＋52－2×a×5×，解得a＝3，所以b＝7. 由B＝120˚，得sin B＝. 由正弦定理得sin C＝＝＝. 6、　解析：因为S△ABC＝a2sin A， 所以由三角形面积公式可得S△ABC＝bc·sin A＝a2sin A. 因为A为三角形的内角，sin A≠0，所以3a2＝bc. 又b＋c＝a，所以cos A＝＝＝＝. 7、2　解析： 由已知及正弦定理得sin A sin B＝sin B cos A且sin B≠0，可得tan A＝. 又0<A<π，所以A＝. 又b＝2，c＝2，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝16－12＝4，解得a＝2. 8、　解析：因为b sin C＋c sin B＝4a sin B·sin C，sin B sin C>0， 结合正弦定理可得sin B sin C＋sin C sin B＝4sin A sin B sin C，所以sin A＝. 因为b2＋c2－a2＝8，可得cos A＞0，所以A为锐角，即A＝，所以cos A＝，从而求得bc＝，所以△ABC的面积为S＝bc·sin A＝＝. 9、解：(1)因为A＋B＝3C，所以π－C＝3C，即C＝. 又2sin (A－C)＝sin B＝sin (A＋C)， 所以2sin A cos C－2cos A sin C＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin A cos C＝3cos A sin C，所以sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<，所以sin A＝. (2)由(1)知，cos A＝， 由sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝＝， 由正弦定理＝，可得AC＝＝2. 设AB边上的高为h，所以AB·h＝AB·AC·sin A， 所以h＝AC·sin A＝2＝6. 10、A　解析：由题意得当伞完全张开时，AD＝40－24＝16(cm)， 因为B为AD′的中点，所以AB＝AC＝AD′＝20(cm)． 当伞完全收拢时，AB＋BD＝AD′＝40(cm)，则BD＝20 cm. 在△ABD中，cos ∠BAD＝＝＝， 所以cos ∠BAC＝cos 2∠BAD＝2cos2∠BAD－1＝2×－1＝－. 11、C　解析：因为2cos B(a cos C＋c cos A)＝b， 由正弦定理得2cos B(sin A cos C＋sin C cos A)＝sin B， 所以2cos B sin (A＋C)＝sin B，即2cos B sin B＝sin B. 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos B＝，所以B＝. 因为lg sin C＝lg 3－lg 2， 所以lg sin C＝lg ，所以sin C＝. 因为C∈(0，π)，所以C＝或. 因为B＝，所以C≠，所以C＝， 所以A＝B＝C＝，即△ABC为等边三角形． 12、2　解析：由a cos B－c－＝0及正弦定理可得sin A cos B－sin C－＝0. 因为sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos Asin B，所以－－cos A sin B＝0. 因为sin B≠0，所以cos A＝－，即A＝. 由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0. 又b>c，所以＝2. 13、解：(1)由cos A＋sin A＝及正弦定理知，sin C(cos A＋sin A)＝sin B＋sin A. 因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以sin C(cos A＋sin A)＝sin A cos C＋cos A·sin C＋sin A， 所以sin A sin C＝sin A cos C＋sin A. 因为sin A≠0，所以sin C＝cos C＋1，即sin C－cos C＝1， 所以2sin ＝1，即sin ＝. 因为C∈(0，π)，所以C－＝，即C＝. (2)设∠ADC＝α，则α∈. 在△ACD中，由正弦定理知，＝＝， 所以＝＝＝2， 所以a＝4sin ，b＝2sin α， 所以a＋2b＝4sin ＋4sin α＝6sin α＋2cos α＝4sin . 因为α∈，所以α＋∈， 所以sin ∈， 所以a＋2b的取值范围为(2，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $$