解三角形应用举例专项训练-2025届高三数学一轮复习

第4章　 三角函数与解三角形 第七节　解三角形应用举例 1．如图所示，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m，50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD＝(　　) A．30˚ B．45˚ C．60˚ D．75˚ 2．(2024·泸州模拟)如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的高度为10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15˚，经过420 s后看山顶的俯角为45˚，则山顶的高度大约为(≈1.4，≈1.7)(　　) A．7 350 m B．2 650 m C．3 650 m D．4 650 m 3．(数学与生活)我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为∠BPC，且tan ∠BPC＝.已知地面上三处受灾点B，C，D共线，且∠ADB＝90˚，BC＝CD＝DA＝1 km，则无人机P到地面受灾点D处的遥测距离PD的长度是(　　) A． km B．2 km C． km D．4 km 4．(多选题)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，(a cos C＋c cos A)＝2b sin B，且∠CAB＝.若点D是△ABC外一点，DC＝1，DA＝3，则下列结论正确的是(　　) A．△ABC的内角B等于 B．△ABC的内角C等于 C．△ACD的面积为 D．四边形ABCD面积的最大值为＋3 5．甲船在A处发现乙船在其北偏东60˚方向上的B处，乙船正在以a n mile/h的速度向北行驶，已知甲船的速度是a n mile/h，则甲船应沿着______方向前进，才能最快与乙船相遇． 6．(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60˚，AB＝2，BC＝，∠BAC的平分线交BC于点D，则AD＝________. 7．如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，则△BCD的面积为________. 高考模拟 8．如图，在100 m高的山顶B处，测得山下一塔顶D与塔底C的俯角分别为30˚和60˚，则塔高CD＝(　　) A． m B． m C． m D． m 9．(多选题)一艘轮船航行到A处时看灯塔B在其北偏东75˚方向，距离为12 海里，灯塔C在其北偏西30˚方向，距离为12 海里，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60˚方向，下面结论正确的有(　　) A．AD＝24 B．CD＝12 C．∠CDA＝60˚或∠CDA＝120˚ D．∠CDA＝60˚ 10．如图，在四边形ABCD中，已知AB⊥BC，AB＝5，AD＝7，∠BCD＝，cos A＝，则BC＝________. 11．如图，在△ABC中，AB＝2，3a cos B－b cos C＝c cos B，点D在线段BC上． (1)若∠ADC＝，求AD的长； (2)若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值． 12．(2024·济宁模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2a＋c)·cos (A＋C)＋b＝2b cos2. (1)求B； (2)如图，若D为△ABC外一点，且∠BCD＝，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，求AC的长． 答案解析 1、B　解析：依题意可得AD＝20 m，AC＝30 m， 又CD＝50 m，所以在△ACD中，由余弦定理的推论， 得cos ∠CAD＝＝＝＝. 又0˚<∠CAD<180˚，所以∠CAD＝45˚，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45˚. 2、B　解析：如图，设飞机的初始位置为点A，经过420 s后的位置为点B，山顶为点C，作CD⊥AB于点D， 则∠BAC＝15˚，∠CBD＝45˚，所以∠ACB＝30˚. 在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)， 由正弦定理得＝，则BC＝×sin 15˚＝10 500()(m)． 因为CD⊥AB，所以CD＝BC sin 45˚＝10 500()×＝10 500(－1)≈7 350(m)， 所以山顶的海拔高度大约为10 000－7 350＝2 650(m)． 3、B　解析：(方法一)由题意得BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD.设PD＝x km， 记∠PBD＝α，∠PCD＝β，所以tan α＝，tan β＝x， 所以tan ∠BPC＝tan (β－α)＝＝＝，解得x＝1或x＝2. 又在Rt△PDA中，有PD>AD，所以x＝2，即PD＝2 km. (方法二)由题意知BD⊥平面PAD，所以BD⊥PD. 设PA＝x km， 则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2. 由tan ∠BPC＝，可得cos ∠BPC＝. 在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2··，解得x2＝3， 进而PD＝＝2(km)． 4、ABD　解析：因为(a cos C＋c cos A)＝2b sin B， 由正弦定理得(sin A cos C＋sin C cos A)＝2sin B sin B， 所以sin B＝，所以B＝，故A正确； 又因为∠CAB＝，所以∠ACB＝，故B正确； S△ACD＝×1×3sin D＝sin D，由于角D无法确定，故C不一定正确； 在等边三角形ABC中，设AC＝x，x>0， 在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos D， 将DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cos D， 所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝x·x sin ×1×3sin D＝x2＋sin D ＝(10－6cos D)＋sin D＝3sin (D－)＋， 所以当D＝时，四边形ABCD的面积取得最大值，最大值为＋3，故D正确． 5、北偏东30˚　解析：如图所示，设经过t h两船在C点相遇． 在△ABC中，BC＝at，AC＝at，B＝180˚－60˚＝120˚. 由正弦定理＝，得sin ∠CAB＝＝＝. 因为0˚<∠CAB<60˚，所以∠CAB＝30˚， 所以∠DAC＝60˚－30˚＝30˚，即甲船应沿北偏东30˚的方向前进，才能最快与乙船相遇． 6、2　解析：在△ABC中，由余弦定理得cos 60˚＝， 整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋. 因为S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以×2AC sin 60˚＝×2AD sin 30˚＋AC·AD·sin 30˚， 所以AD＝＝＝2. 7、　解析：设BD＝x，则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x.因为∠ADC＋∠BDC＝π，所以cos ∠ADC＝－cos ∠BDC，由余弦定理可得＝－，解得x＝，故AD＝1，AC＝1，所以cos A＝＝0，所以∠A＝，所以△BCD的面积为×1＝. 8、D　解析：由题图可知，山高AB＝100 m，∠EBD＝30˚，∠EBC＝60˚， 所以∠BCA＝60˚，∠CBD＝30˚. 在Rt△ABC中，BC＝＝＝ (m)， 在△BCD中，∠CBD＝∠BCD＝30˚，则∠BDC＝120˚， 由正弦定理＝，得CD＝＝(m)． 9、ABD　解析：如图，在△ABD中，B＝45˚， 由正弦定理得＝，则AD＝＝24，故A正确； 在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC·AD·cos 30˚， 因为AC＝12，AD＝24，所以CD＝12，故B正确； 由正弦定理得＝，所以sin ∠CDA＝，故∠CDA＝60˚或∠CDA＝120˚， 因为AD>AC，故∠CDA为锐角，所以∠CDA＝60˚，故C不正确，D正确． 10、4(－1)　解析：在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝64， 所以BD＝8，所以cos ∠ABD＝＝. 又因为AB⊥BC，所以sin ∠CBD＝cos ∠ABD＝. 又∠CBD∈，所以cos ∠CBD＝＝， 所以sin∠BDC＝sin (∠BCD＋∠CBD) ＝sin ∠BCD cos ∠CBD＋cos ∠BCDsin ∠CBD ＝＝. 在△BCD中，由正弦定理得＝＝＝8， 所以BC＝8sin ∠BDC＝8＝4(－1)． 11、解：(1)因为3a cos B－b cos C＝c cos B， 由正弦定理可得3sin A cos B＝sin B cos C＋cos B·sin C＝sin (B＋C)＝sin (π－A)＝sin A. 因为A∈(0，π)，则sin A>0，故cos B＝，则B为锐角，所以sin B＝＝. 因为∠ADC＝，所以∠ADB＝. 在△ABD中，由正弦定理得＝，所以＝，解得AD＝. (2)设CD＝t，则BD＝2t.因为S△ACD＝，则S△ABC＝3S△ACD＝4， 即×2×3t×＝4，解得t＝2，故BC＝3t＝6. 在△ABC中，由余弦定理可得AC＝＝＝4， 在△ABD中，由正弦定理可得＝，故sin ∠BAD＝2sin ∠ADB. 在△ACD中，由正弦定理可得＝，故sin ∠CAD＝sin ∠ADC. 因为sin ∠ADB＝sin (π－∠ADC)＝sin ∠ADC，所以＝＝4. 12、解：(1)由(2a＋c)cos(A＋C)＋b＝2b cos2，得(2a＋c)cos(π－B)＝b， 即－(2a＋c)cosB＝b cos C. 由正弦定理得－(2sin A＋sin C)cos B＝sin B cos C， 整理得－2sin A cos B＝sin C cos B＋sin B cos C， 所以－2sin A cos B＝sin (B＋C)＝sin A. 又A∈(0，π)，所以sin A>0，所以cos B＝－. 又B∈(0，π)，所以B＝. (2)如图，连接BD. 因为AB⊥AD，AB＝1，AD＝， 所以BD＝＝＝2，tan ∠ABD＝＝， 所以∠ABD＝，所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝. 又∠BCD＝，所以∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝. 在△BCD中，由正弦定理可得＝，即＝， 所以BC＝＝＝4－2. 在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos ∠ABC＝12＋(4－2)2－2×1×(4－2)×cos ＝33－18，所以AC＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$