函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第4章　 三角函数与解三角形 第五节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单应用 1．为了得到函数y＝3sin 的图象，只需把y＝3cos 图象上的所有点(　　) A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 2．(2024·烟台模拟)函数f (x)＝sin 的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到的．若g＝－f ，则φ的值为(　　) A． B． C． D． 3．(多选题)(数学与生活)海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮. 一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐. 通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋. 已知某港口水深f (t)(单位：m)与时间t(单位：h)从0～24时的关系可近似地用函数f (t)＝A sin (ωt＋φ)＋b来表示，函数f (t)的图象如图所示，则(　　) A．f (t)＝3sin t＋5(0≤t≤24) B．函数f (t)的图象关于点(12，0)对称 C．当t＝5时，水深达到6.5 m D．已知函数g(t)的定义域为[0，6]，g(2t)＝f (2t)－n有2个零点t1，t2，则tan ＝ 4．已知函数f (x)＝－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，所得图象关于直线x＝对称，则实数a的最小值为(　　) A．π B． C． D． 5．已知函数f (x)＝2sin ，将函数y＝f (x)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)在[0，2π]上的单调递减区间为________. 6．函数y＝sin (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于y轴对称，则φ＝______. 7．(2024·南昌模拟)函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示．若x1，x2∈，且f (x1)＝f (x2)，则f (x1＋x2)＝________. 高考模拟 8．(2024·杭州模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象如图所示，M，N是直线y＝－1与曲线y＝f (x)的两个交点，且|MN|＝，则f (π)的值为(　　) A． B．－1 C．－ D．－ 9．(多选题)已知函数f (x)＝cos ，先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(　　) A．g(x)的最小正周期是4π B．g(x)的最小值为－2 C．g(x)在(0，π)上单调递增 D．g(x)的图象关于点对称 10．函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象如图，则S＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＋f (2 021)＋f (2 022)＋f (2 023)的值为________. 11．(2024·深圳模拟)已知函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π，函数f (x)图象上相邻的两个对称中心之间的距离为，且在x＝处取到最小值－2. (1)求函数f (x)的解析式； (2)若将函数f (x)图象上所有点的横坐标先伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)的单调递增区间； (3)若关于x的方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根，求实数m的取值范围． 答案解析 1、A　解析：为了得到函数y＝3sin ＝3cos ＝3cos ＝3cos 的图象，只需把y＝3cos 图象上的所有点向右平移个单位长度即可． 2、A　解析：因为函数f (x)＝sin 的图象是由函数g(x)的图象向左平移φ个单位长度得到，所以g(x)＝sin ＝sin . 因为g＝－f ，所以sin ＝－， 故可得－2φ＝2kπ－，k∈Z或－2φ＝2kπ－，k∈Z. 又0<φ<，所以φ＝. 3、ACD　解析：由图知T＝＝15－3＝12，所以ω＝. 又故A＝3，b＝5. 由f (3)＝8，得φ＝0， 故f (t)＝3sin t＋5(0≤t≤24)，A正确． 函数f (t)的图象不关于点(12，0)对称，B错误． f (5)＝3sin ＋5＝＋5＝6.5，即当t＝5时，水深达到6.5 m，C正确； 因为g(t)的定义域为[0，6]， 所以0≤2t≤6，解得0≤t≤3. 令g(2t)＝f (2t)－n＝0，得n＝f (2t)＝3sin t＋5. 所以＝sin t(0≤t≤3)． 因为t∈[0，π]，t1，t2为g(2t)＝f (2t)－n的2个零点， 所以t1＋t2＝×2＝π，所以t1＋t2＝3， 所以tan ＝tan ＝，D正确． 故选ACD． 4、B　解析：函数f (x)＝－sin2ωx＝(ω>0)的最小正周期为＝π，所以ω＝1， 所以f (x)＝. 若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，可得y＝的图象， 再根据所得图象关于直线x＝对称，可得2×－2a＝kπ，k∈Z，故a＝. 令k＝0，可得实数a的最小值为. 5、　解析：将函数y＝f (x)的图象向左平移个单位长度，得f ＝2sin ，即g(x)＝2sin .由x∈[0，2π]，得≤x＋，令≤x＋，得≤x≤. 6、－　解析：由y＝sin (2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得f (x)＝sin ＝sin 的图象．因为f (x)＝sin 的图象关于y轴对称，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，解得φ＝kπ＋，k∈Z.因为|φ|<，所以φ＝－. 7、　解析：根据题图可得A＝1，周期T＝2＝π，所以ω＝2. 又函数的图象过点，即2×＋φ＝2kπ，k∈Z， 所以φ＝＋2kπ，k∈Z. 又|φ|＜，所以φ＝，所以f (x)＝sin . 因为＝，所以图中最高点的坐标为. 又x1，x2∈，且f (x1)＝f (x2)，所以x1＋x2＝×2＝， 所以f (x1＋x2)＝sin ＝. 8、D　解析：由函数f (x)＝A sin (ωx＋φ)的图象知A＝2， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)(x2＞x1)， 由|MN|＝，可得x2－x1＝， 令2sin (ωx＋φ)＝－1，即sin (ωx＋φ)＝－， 结合图象可得ωx1＋φ＝－，ωx2＋φ＝－， 作差得ω(x2－x1)＝，即ω×＝，所以ω＝3. 把代入f (x)＝2sin (3x＋φ)，即2sin ＝0， 所以φ＝(2k－1)π＋，k∈Z， 则f (π)＝2sin ＝2sin ＝－. 9、AC　解析：由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝cos 的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度得y＝cos ＝cos 的图象， 所以g(x)＝cos ，其最小正周期为4π，最小值为－1，故A正确，B错误； 令－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，令k＝0，则g(x)在上是单调递增的，故C正确； 令x－＝－＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点(k∈Z)对称，故D错误． 10、2 024　解析：由图象知 所以ω＝，b＝1，A＝， 所以f (x)＝sin ＋1. 由f (x)的图象过点得sin ＋1＝，所以φ＝2kπ，k∈Z. 又|φ|<，则φ＝0. 所以f (x)＝sin x＋1， 所以f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝＝4. 又2 024＝4×506，所以S＝4×506＝2 024. 11、解：(1)由题意知函数f (x)的最小正周期为2×＝，解得ω＝4， 所以f (x)＝A sin (4x＋φ)． 又函数f (x)在x＝处取到最小值－2， 所以A＝2，且f ＝－2，即＋φ＝2kπ＋，k∈Z. 令k＝0，可得φ＝，所以f (x)＝2sin . (2)函数f (x)＝2sin 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， 得y＝2sin 的图象， 再向左平移个单位长度可得g(x)＝2sin ＝2cos 2x的图象， 令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z， 所以g(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (3)因为方程g(x)＝m＋2在x∈上有两个不同的实根， 函数g(x)＝2cos 2x，x∈的图象如图所示． 由图可知－2＜m＋2≤或m＋2＝2， 解得－4＜m≤－2或m＝0. 所以实数m的取值范围为(－4，－2]∪{0}． 学科网（北京）股份有限公司 $$