任意角和弧度制及任意角的三角函数专项训练-2025届高三数学一轮复习

第4章　 三角函数与解三角形 第1节　 任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．把－1 125˚化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是(　　) A．－－6π B．－6π C．－－8π D．－8π 2．已知角θ的终边经过点(2a＋1，a－2)，且cos θ＝，则实数a的值是(　　) A．－2 B． C．－2或 D．1 3．点P从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则点Q的坐标为(　　) A． B． C． D． 4．(2024·惠州模拟)如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．(多选题)已知扇形的周长是6 cm，面积是，则下列说法中正确的有(　　) A．扇形的半径为2 cm B．扇形的半径为1 cm C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 6．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为.若α＝，则点P的坐标为________. 7．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________. 8．设角α的终边为射线OP，射线OP1与OP关于y轴对称，射线OP2与OP1关于直线y＝－x对称，则以射线OP2为终边的角的集合是____________________. 9．“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．如图，当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的弦长AB与弧长AB之比为________. 10．已知＝－，且lg (cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； (2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值． 高考模拟 11．(数学与文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》中有如下两个问题： [三三]今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？ [三四]又有宛田，下周九十九步，径五十一步．问为田几何？ 翻译为：[三三]现有扇形田，弧长30步，直径长16步．问这块田面积是多少？ [三四]又有一扇形田，弧长99步，直径长51步．问这块田面积是多少？ 则下列说法正确的是(　　) A．问题[三三]中扇形的面积为240平方步 B．问题[三四]中扇形的面积为 平方步 C．问题[三三]中扇形的面积为60平方步 D．问题[三四]中扇形的面积为 平方步 12．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为，则角α的最小正角为(　　) A． B． C． D． 13．(数学与文化)(2024·常州模拟)赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形中较小的锐角为α，则sin αcos α的值为________. 14．若角α的终边落在直线y＝x上，角β的终边与单位圆交于点，且sin αcos β＜0，则cos α·sin β＝________. 15. 高为1 m的圆柱形木材有一部分镶嵌在墙体中，截面如图所示(阴影为镶嵌在墙体内的部分)．已知弦AB＝2 dm，弓形高CD＝(20－10)cm，估算该木材镶嵌在墙中的侧面积约为______cm2. 16．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)， (1)求sin θ＋cos θ的值； (2)试判断cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号． 答案解析 1、D　解析：－1 125˚＝－1 440˚＋315˚＝－8π＋. 2、B　解析：由题设可知＝且2a＋1>0，即a>－， 所以＝，则11a2＋20a－4＝0，解得a＝－2或a＝.又a>－，所以a＝. 3、 A　解析：由三角函数的定义可知点Q的坐标(x，y)满足x＝cos ＝－，y＝sin ＝， 所以点Q的坐标为. 4、B　解析：因为点P(2sin θ，sin θcos θ)位于第四象限， 所以即所以角θ所在的象限为第二象限． 5、ABC　解析：设扇形的半径为r cm，圆心角的弧度数为α， 则由题意得解得或 所以圆心角的弧度数是4或1，扇形的半径是1 cm或2 cm. 6、(1，1)　解析：设点P的坐标为(x，y)， 则由三角函数的定义得即 故点P的坐标为(1，1)． 7、　解析：设圆的半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，所以正方形边长为r，所以该圆弧的圆心角的弧度数是＝. 8、{β|β＝k·360˚＋90˚＋α，k∈Z} 　解析：依题意，以射线OP1为终边的角γ＝k1·360˚＋180˚－α，k1∈Z，从而以射线OP2为终边的角β＝－(k1·360˚＋180˚－α)＋k2·360˚－90˚＝(k2－k1)·360˚＋90˚＋α＝k·360˚＋90˚＋α(k1，k2，k∈Z)． 9、　解析：设扇形的弧长为l，半径为r，如图，取AB的中点D，连接OD. 由题意知圆心角α为，则∠BOD＝， 所以弦长AB＝2AD＝2r sin ＝r. 又弧长＝r，所以弦长AB与弧长之比为＝. 10、解：(1)由＝－，得sin α<0， 由lg (cos α)有意义，可知cos α>0，所以角α在第四象限． (2)因为|OM|＝1，所以＋m2＝1，解得m＝±. 又角α为第四象限角，故m<0，从而m＝－，sin α＝＝＝－. 11、B　解析：依题意，问题[三三]中扇形的面积为lr＝×30×＝120(平方步)，问题[三四]中扇形的面积为lr＝×99×＝(平方步)． 12、D　解析：角α的终边上一点M的坐标为，即M，故点M在第四象限，且tan α＝＝－1，则角α的最小正角为. 13、　解析：设直角三角形的短直角边长为x，一个直角三角形的面积为＝20， 因为小正方形的面积为20，则边长为2，大正方形的面积为100，则边长为10. 所以直角三角形的面积为·x(x＋2)＝20，解得x＝2(x＝－4舍去)， 所以直角三角形的长直角边为4.故sin α＝，cos α＝，即sin αcos α＝. 14、±　解析：由角β的终边与单位圆交于点，得cos β＝.又由sin α·cos β＜0知，sin α＜0.因为角α的终边落在直线y＝x上，所以角α只能是第三象限角．记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x＜0，y＜0)，则|OP|＝1(O为坐标原点)，即x2＋y2＝1.又由y＝x，得x＝－，y＝－，所以cos α＝x＝－.因为点在单位圆上，所以＋m2＝1，解得m＝±，所以sin β＝±，所以cos α·sin β＝±. 15、　解析：设截面圆的半径为R，连接CO(图略)，点D在线段CO上， 则AD＝AB＝10 cm， OD＝R－CD＝R－(20－10)(cm)． 根据垂径定理可得R2＝OD2＋AD2，解得R＝20， 所以∠AOD＝，则∠AOB＝， 故可得弧长＝×20＝(cm)． 又木材的高为1米，即木材的高为100 cm， 所以该木材镶嵌在墙中的侧面积约为×100＝ (cm2). 16、解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)， 所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|. 当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝＝－； 当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝－＝. (2)当a＞0时，sin θ＝∈， cos θ＝－∈， 则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin ＜0； 当a＜0时，sin θ＝－∈， cos θ＝∈， 则cos (sin θ)·sin (cos θ)＝cos ·sin ＞0. 综上所述，当a＞0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos (sin θ)·sin (cos θ)的符号为正． 学科网（北京）股份有限公司 $$