平面向量的基本定理及坐标表示 专项训练-2025届高三数学一轮复习

第5章　 平面向量、复数 第二节　平面向量的基本定理及坐标表示 1．如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　) A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C.e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2 2．(2024·南京模拟)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于(　　) A． B． C． D． 3．已知点P是△ABC所在平面内一点，且＝0，则(　　) A． B． C． D． 4．已知E为△ABC所在平面内的点，且.若，则＝(　　) A．－3 B．3 C． D．－ 5．已知向量a＝，b＝(－2，m)，若a与b共线，则|b|＝________． 6．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)．若(2m＋n)∥(m－2n)，则λ＝________． 7．在△AOB中，，D为OB的中点，若，则λμ的值为________． 8．已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝c，且＝－2b. (1)求3a＋b－3c； (2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标． 高考模拟 9．(多选题)已知向量＝(1，－3)，＝(－2，1)，＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 10．(2024·大理模拟)在△ABC中，D是直线AB上的点．若2，记△ACB的面积为S1，△ACD的面积为S2，则等于(　　) A． B． C． D． 11．(多选题)在△ABC中，D为AC上一点且满足，若P为BD上一点，且满足(λ，μ为正实数)，则下列结论正确的是(　　) A．λμ的最小值为16 B．λμ的最大值为 C．的最大值为16 D．的最小值为4 12．(数学与文化)我国数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如图，在“赵爽弦图”中，若，则实数λ＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 13．如图，在△ABC中，. (1)求△ABM与△ABC的面积之比； (2)若N为AB的中点，交于点P，且(x，y∈R)，求x＋y的值． 答案解析 1、D　解析：对于A，设e1＋e2＝λe1，则无解，故e1与e1＋e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底； 对于B，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解，故e1－2e2与e1＋2e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底； 对于C，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解，故e1＋e2与e1－e2不共线，可以作为平面内所有向量的一个基底； 对于D，e1－2e2＝－(－e1＋2e2)，所以e1－2e2与－e1＋2e2为共线向量，不能作为平面内所有向量的一个基底． 2、A　解析：由于a∥b，所以1×y＝2×(－2)，解得y＝－4，所以b＝(－2，－4)． 因为3a＋b＝(3，6)＋(－2，－4)＝(1，2)，所以|3a＋b|＝. 3、D　解析：由题意知＝0，所以＋＋＝0. 所以＋＋＝0. 整理得3＝0，即3.所以. 4、A　解析：因为， 所以＝2. 所以2＝. 所以. 所以m＝，故＝－3. 5、　解析：因为向量a＝与b＝(－2，m)共线，所以×(－2)，解得m＝－1.所以b＝(－2，－1)，故|b|＝. 6、0　解析：由题意得，2m＋n＝(3λ＋4，4)，m－2n＝(－λ－3，－3)． 因为(2m＋n)∥(m－2n)，所以－3(3λ＋4)－4(－λ－3)＝0，解得λ＝0. 7、－　解析：因为，所以. 因为D为OB的中点，所以， 所以＋＝－＝， 所以λ＝，则λμ的值为－. 8、解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)(方法一)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， 所以解得 (方法二)因为a＋b＋c＝0，所以a＝－b－c. 又a＝mb＋nc，所以mb＋nc＝－b－c， 所以 (3)设O为坐标原点，因为＝3c， 所以＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)，所以M(0，20)， 因为＝－2b，所以＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N(9，2)，所以＝(9，－18)． 9、ABD　解析：点A，B，C能构成三角形，故A，B，C三点不共线，则向量不共线．由于向量＝(1，－3)，＝(－2，1)，＝(t＋3，t－8)，故＝(－3，4)，＝(t＋5，t－9)．若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，所以t≠1. 10、D　解析：依题意作图，如图所示． 设＝μ＝－μ. 由条件， 得μ＝－， 所以点D在AB的延长线上，并且AD＝AB， 所以. 11、BD　解析：因为D为AC上一点且满足，所以. 因为，所以. 因为P为BD上一点，所以B，P，D三点共线，则有λ＋4μ＝1. 由基本不等式可得1＝λ＋4μ≥2，解得λμ≤，当且仅当λ＝4μ＝时等号成立，故λμ的最大值为，故A错误，B正确． (λ＋4μ)＝2＋＝4，当且仅当λ＝4μ＝时等号成立，故的最小值为4，故C错误，D正确． 12、B　解析： 建立如图所示的直角坐标系． 令BF＝m，EF＝n， 则A(－n，m)，B(－m，0)，C(0，n－m)， ＝(m，0)，＝(m，n－m)，＝(m－n，m)． 所以＝， 则有解得m＝4n. 所以λ＝＝3. 13、解：(1)在△ABC中， 由，得4＝0，即3＝. 所以3，即点M是线段BC上的靠近点B的四等分点， 所以△ABM与△ABC的面积之比为. (2)因为， (x，y∈R)， ∥， 所以设. 因为N，P，C三点共线，所以＝1， 解得λ＝， 故x＋y＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$