平面向量的概念与线性运算专项训练-2025届高三数学一轮复习

第5章　 平面向量、复数 第一节　平面向量的概念与线性运算 1．已知向量e1，e2是两个不共线的向量，a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，则λ等于(　　) A．2 B．－2 C．－ D． 2．(多选题)(2024·济宁模拟)已知A，B，C是三个不同的点，＝3a－5b，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D．A，B，C三点共线 3．若向量(O，A，B，C互不重合)，则＝(　　) A．2 B． C． D．3 4．已知平面内一点P及△ABC，若，则点P与△ABC的位置关系是(　　) A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上 C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部 5．(2024·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x，则的值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 6．已知A，B，C三点共线，且，若，则λ＝________． 7．设向量a，b不平行，向量ta＋b与a＋3b平行，则实数t的值为________． 8．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积之比为________． 9．已知O，A，B是不共线的三点，且(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线； (2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1. 高考模拟 10．(多选题)(2024·石家庄模拟)下列说法，正确的为(　　) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．S△AOC，S△ABC分别表示△AOC，△ABC的面积，若2＝0，则S△AOC∶S△ABC＝1∶6 C．两个非零向量a，b，若|a－b|＝|a|＋|b|，则a与b共线且反向 D．若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb 11．(数学与生活)图1是世界最高桥——贵州北盘江大桥，图2是根据图1作的简易侧视图(为便于计算，侧视图与实物有区别)．在侧视图中，斜拉杆PA，PB，PC，PD的一端P在垂直于水平面的塔柱上，另一端A，B，C，D与塔柱上的点O都在桥面同一侧的水平直线上．已知AB＝8 m，BO＝16 m，PO＝12 m，PB⊥PC.根据物理学知识得＋＝2，则CD＝(　　) 　 A．28 m B．20 m C．31 m D．22 m 12．(多选题)(数学与文化)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心的距离的一半．这个定理就是著名的欧拉线定理．设在△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列结论正确的有(　　) A． B．＝0 C．设BC边的中点为D，则有 D． 13．(多选题)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若，则 B．若，则点M，B，C三点共线 C．若点M是△ABC的重心，则＝0 D．若且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 14．如图，在▱ABCD中，＝b. (1)试用向量a，b来表示； (2)AM交DN于点O，若，求λ的值． 15．经过△OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设，m＞0，n＞0，求m＋n的最小值． 答案解析 1、C　解析：因为a＝2e1－e2与b＝e1＋λe2共线，所以存在实数k(k≠0)，使得ka＝b， 所以k(2e1－e2)＝e1＋λe2. 因为向量e1，e2是两个不共线的向量， 所以解得λ＝－. 2、ABD　解析：由题可得＝a－2b，所以，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 由可得∥.又A为公共点，所以A，B，C三点共线，故D正确． 3、D　解析：由已知可得＝2，即. 因为，所以，则＝3. 4、C　解析：由，得，即，故点P在线段AC上． 5、A　解析：延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点． 因为G为△ABC的重心， 所以＝＝. 因为M，G，N三点共线，所以＝1，即＝3. 6、－2　解析：已知点A，B，C三点共线，且，所以， 即－，故，所以λ＝－2. 7、　解析：因为向量ta＋b与a＋3b平行，所以存在实数k使得ta＋b＝k(a＋3b)． 因为向量a，b不平行， 所以解得t＝k＝. 8、2∶5　解析： 因为，所以，即. 所以点M在边BC上，且＝. 故， 所以△ABM与△ABC的面积之比为2∶5. 9、证明：(1)若m＋n＝1， 则＋(1－m)＝＋m， 所以＝m， 即，所以共线． 又因为有公共点B， 则A，P，B三点共线． (2)若A，P，B三点共线，则存在实数λ，使得， 所以＝λ， 所以＋(1－λ)①. 又②， 所以由①②得λ＋(1－λ). 因为不共线，所以所以m＋n＝1. 10、BC　解析：对于A，若a∥b，b∥c，则a∥c不成立，比如b＝0，a，c可以不共线，故错误； 对于B，若2＝0，延长OA到A′，使得OA′＝2OA，延长OC到C′，使得OC′＝3OC，可得O为△BA′C′的重心． 设△AOC，△BOA，△BOC的面积分别为x，y，z， 则△A′OB的面积为2y，△C′OB的面积为3z，△A′OC′的面积为6x. 由三角形的重心的性质可得2y＝3z＝6x. 则S△AOC∶S△ABC＝x∶(x＋y＋z)＝1∶6，正确； 对于C，两个非零向量a，b，若|a－b|＝＝(|a|＋|b|)2，|a|2＋|b|2－2|a|·|b|cos 〈a，b〉＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|，整理得cos 〈a，b〉＝－1， 所以a与b共线且反向，正确； 对于D，若a∥b，则存在唯一实数λ使得a＝λb，不正确，比如a≠0，b＝0，不存在实数λ. 11、D　解析：因为PB⊥PC，又PO⊥BC，所以PO2＝BO·OC. 因为BO＝16 m，PO＝12 m，所以OC＝9 m. 设线段AB的中点为M，线段CD的中点为N. 因为＋＝2，所以，所以O为线段MN的中点． 因为AB＝8 m，所以MO＝20 m，即ON＝20 m，所以CD＝22 m． 12、AB　解析： 由题意作图，如图所示． 对于A，根据欧拉线定理知，O，G，H三点共线，且GH＝2OG，所以，故A正确． 对于B，取BC的中点D，由题意得，所以＝0，故B正确． 对于C，由题意知AG＝2GD，又GH＝2OG，∠AGH＝∠DGO， 所以△AGH∽△DGO，所以＝2. 因为OD⊥BC，AH⊥BC，所以AH∥OD. 所以，故C错误． 对于D，向量的模相等，方向不同，故D错误． 13、ACD　解析：对于A，＝，A正确； 对于B，假设点M，B，C三点共线，则＝λ，整理得＋(1＋λ)·，当λ＝－2时，，与条件中的不一致，所以点M，B，C三点不共线，B错误； 对于C，如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，所以－2＝.又，所以＝0，C正确； 对于D，由于，而x＋y＝，所以3，其中3x＋3y＝1.不妨设，则点Q在直线BC上．由于△MBC与△ABC同底，而高之比等于MQ与AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，D正确． 14、解：(1)因为， 所以－b. 因为， 所以． (2)因为D，O，N三点共线， 所以存在实数k，使得ka－kb，所以ka＋(1－k)b①. 因为A，O，M三点共线，所以存在实数m，使得mb②. 由①②得解得m＝. 所以，即λ＝. 15、解：设＝b. 由题意知＝(a＋b)， ＝nb－ma， ． 由P，G，Q三点共线得，存在实数λ， 使得，即nb－ma＝λλb， 则有消去λ得＝3. 于是m＋n＝(m＋n)＝×(2＋2)＝. 当且仅当m＝n＝时，m＋n取得最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$