第四节三角函数的图象与性质专项训练-2025届高三数学一轮复习

三角函数与解三角形 第四节　三角函数的图象与性质 1．(2024·广州模拟)如果函数y＝3cos (2x＋φ)的图象关于点对称，那么|φ|的最小值为(　　) A． B． C． D． 2．已知函数f (x)的图象的一条对称轴为直线x＝2，f (x)的一个周期为4，则f (x)的解析式可能为(　　) A．f (x)＝sin x B．f (x)＝cos x C．f (x)＝sin x D．f (x)＝cos x 3．(多选题)已知函数f (x)＝sin ，则下列结论正确的是(　　) A．f (x)的最大值为 B．f (x)的最小正周期为π C．f 为奇函数 D．f (x)的图象关于直线x＝对称 4．函数y＝sin2x＋2cosx的定义域为，值域为，则α的取值范围是(　　) A． B．[0，π] C． D． 5．(2024·泸州诊断)写出一个具有下列性质①②③的函数f (x)＝________． ①定义域为R；②函数f (x)是奇函数；③f (x＋π)＝f (x)． 6．设函数f (x)＝cos (ω＞0)，若f (x)≤f 对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________． 7．(2024·广东一模)已知函数f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在区间上单调，且满足f ＝－1，f ＝0，则ω＝________． 8．(2024·海淀模拟)已知函数f (x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个： 条件①：f (x)的图象关于点对称； 条件②：f (x)的图象关于直线x＝对称． (1)请写出你选择的条件，并求f (x)的解析式； (2)当x∈时，若(1)中所求函数f (x)的值域为[－1，2]，求出m的一个合适数值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 高考模拟 9．(2024·昆明模拟)已知函数f (x)＝sin (ω＞0)，x∈的值域是，则ω的取值范围是(　　) A． B． C． D． 10．(多选题)(2024·青岛模拟)设函数f (x)＝sin ωx＋cos ωx，x∈R，其中ω＞0，在曲线y＝f (x)与直线y＝的所有交点中，相邻交点距离的最小值为，则(　　) A．f (x)的最大值为1 B．ω＝2 C．f (x)图象的对称轴方程为x＝，k∈Z D．f (x)的一个单调递增区间为 11．已知函数f (x)＝＋3sin πx，则函数f (x)在[－1，3]上的所有零点的和为(　　) A．2 B．4 C．2π D．4π 12．(多选题)(数学与生活)声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波．每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是y＝A sin ωt，其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大，音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐．我们平时听到的音乐函数是y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x ＋sin 4x＋…，某声音函数f (x)＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，下列说法正确的是(　　) A．函数f (x)在区间上单调递增 B．函数f (x)的最小正周期为2π C．函数f (x)对应的声音比函数g(x) ＝sin 2x对应的声音尖锐 D．函数f (x)对应的声音响度比函数g(x) ＝sin 2x对应的声音响度大 13．已知函数f (x)＝2sin ，且函数y＝g(x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于直线x＝对称． (1)求函数g(x)的解析式； (2)若存在x∈，使[g(x)]2－mg(x)＋2＝0成立，求实数m的取值范围； (3)若当x∈时，不等式f (x)－ag(－x)>a－2恒成立，求实数a的取值范围． 答案解析 1、A　解析：由题意得3cos ＝3cos ＝3cos ＝0， 所以＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝kπ－(k∈Z)． 取k＝0，得|φ|的最小值为. 2、B　解析：对于A，f (x)＝sin x，最小正周期为＝4，因为f (2)＝sin π＝0，所以函数f (x)＝sin x的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f (x)＝cos x，最小正周期为＝4，因为f (2)＝cos π＝－1，所以函数f (x)＝cos x的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数f (x)＝sin x和f (x)＝cos x的最小正周期均为＝8，均不符合题意，故排除C，D． 3、ABD　解析：因为函数f (x)＝sin ， 所以f (x)的最大值为，故A正确；最小正周期为＝π，故B正确； f ＝sin ＝sin ＝－cos 2x为偶函数，故C错误； f (x)的图象的对称轴满足2x－＝＋kπ，k∈Z，当k＝1时，x＝，故D正确． 4、A　解析：由y＝sin2x＋2cosx＝1－cos2x＋2cosx＝－(cos x－)2＋3， 令t＝cos x，得y＝－(t－)2＋3，显然当t＝cos ＝－时，y＝－， 令－(t－)2＋3＝2，得t＝1. 可知cos x∈. 又x∈，要使函数的值域为，所以有0≤α≤， 所以α的取值范围是． 5、sin 2x(答案不唯一)　解析：由③f (x＋π)＝f (x)知所求函数的周期为π，再结合性质①②，故所求的函数可以是f (x)＝sin 2x，答案不唯一． 6、　解析：因为f (x)≤f 对任意的实数x都成立，所以f 为f (x)的最大值， 所以ω－＝2kπ(k∈Z)，所以ω＝8k＋(k∈Z)． 因为ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值为. 7、≤φ≤π　解析：当x∈时，x＋φ ∈， 又因为函数f (x)＝sin (0≤φ≤π)在上单调递减， 所以⊆， 所以解得≤φ≤π. 8、解：(1)因为f (x)＝2sin (ωx＋φ)的最小正周期为π， 所以T＝＝π，得ω＝2，所以f (x)＝2sin (2x＋φ)． 若选条件①，因为f (x)的图象关于点对称，则f ＝0， 即f ＝2sin ＝0，所以＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin . 若选条件②，因为f (x)的图象关于直线x＝对称， 所以f ＝±2，即f ＝2sin ＝±2， 所以＋φ＝＋kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ，k∈Z. 因为|φ|<，所以φ＝，所以f (x)＝2sin . (2)因为x∈，所以－≤2x＋≤2m＋. 因为当x∈时，函数f (x)的值域为[－1，2]， 所以≤2m＋，得≤m≤， 所以m的一个值可以为(答案不唯一)． 9、B　解析：因为ω＞0，所以当x∈时，ωx－∈. 因为函数f (x)＝sin (ω＞0)，x∈的值域是， 所以，解得≤ω≤3. 10、BCD　解析：由题意可得f (x)＝sin ωx＋cos ωx＝2＝2sin ，易知f (x)的最大值为2，A错误；由2sin ＝，可得sin ＝，得到ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋(k∈Z)，令k＝0，可得x1＝0，x2＝，由|x1－x2|＝，可得＝，解得ω＝2，B正确；易得f (x)＝2sin ，令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝，k∈Z，C正确；令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，可得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令k＝0，得－≤x≤，D正确． 11、B　解析：令f (x)＝＋3sin πx＝0，则＝－3sin πx， 所以函数f (x)的零点就是函数y＝与函数y＝－3sin πx的图象交点的横坐标． 因为y＝的图象关于点(1，0)对称，函数y＝－3sin πx的周期为2，其图象关于点(1，0)对称，画出两函数在区间[－1，3]上的图象如图所示． 由图象可知，两函数图象在[－1，3]上共有4个交点，且这4个点关于点(1，0)对称， 所以其横坐标的和为4， 所以函数f (x)在[－1，3]上的所有零点的和为4. 12、ABD　解析：对于A，当x∈时，函数y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x均单调递增， 所以当x∈时，f (x)＝sin x ＋sin 2x＋sin 3x单调递增，故A正确； 对于B，y＝sin x，y＝sin 2x，y＝sin 3x的最小正周期分别为2π，π，， 则函数f (x)的最小正周期为2π，故B正确； 对于C，函数f (x)的周期为2π，频率为，函数g(x)的周期为π，频率为， 由＜，可得函数f (x)的声音比纯音g(x)＝sin 2x的低沉，故C错误； 对于D，g(x) ＝sin 2x的振幅为1， f ＝sin sin sin ＝＝>1，则函数f (x)的振幅大于g(x)的振幅， 则函数f (x)的响度比纯音g(x) ＝sin 2x的响度大，故D正确．故选ABD． 13、解：(1)因为函数y＝g(x)的图象与函数y＝f (x)的图象关于直线x＝对称，则g(x)＝f ，所以g(x)＝2sin ＝2sin ＝2sin . (2)由(1)知，g(x)＝2sin ，当x∈时，x＋∈，则1≤g(x)≤2. 令g(x)＝t，则1≤t≤2. 若存在x∈，使[g(x)]2－mg(x)＋2＝0成立， 即存在t∈[1，2]，使t2－mt＋2＝0成立， 即存在t∈[1，2]，使m＝t＋成立． 而函数m＝t＋在[1，]上单调递减，在[，2]上单调递增， 当t＝时，mmin＝2，当t＝1或t＝2时，mmax＝3， 所以实数m的取值范围为[2，3]. (3)由(1)知，不等式f (x)－ag(－x)>a－2等价于sin ＋2a sin >a－2， 当x∈时，0≤x＋≤π，－≤x－. 若a＝0，因为0≤sin ≤1，即sin >－2恒成立； 若a>0，因为函数y＝sin 在上单调递增，则当x＝－时，sin ＋2a sin 取得最小值， 原不等式恒成立可转化为sin ＋2a sin >a－2恒成立， 即－2a>a－2，因此0<a<； 若a<0，由上可知，当x＝时， sin ＋2a sin 取得最小值， 原不等式恒成立可转化为sin ＋2a sin >a－2恒成立， 即a>－2，因此－2<a<0. 综上所述，a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$