微专题54 三角函数中参数的求解策略9种常考题型总结-2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题54 三角函数中参数的求解策略9种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用三角函数的值域求参数 题型2 利用三角函数的周期性求参数 题型3 利用三角函数的单调性求参数 题型4 利用三角函数的最值求参数 题型5 利用三角函数的奇偶性求参数 题型6 利用三角函数的对称性求参数 题型7 利用三角函数的图象求参数 题型8 利用三角函数的零点求参数 题型9 利用三角函数的多种性质求参数 各级各类模拟试题中经常出现一类求函数的参数的取值范围问题，主要考查三角函数知识的应用，以及考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.此类问题对许多学生是一难点，学生往往无从入手，或者因不明算理而陷入繁琐的运算当中，花费大量时间却不得正解．本专题通过归类解析的形式说明这类问题的解法，以期帮助学生理解、掌握其内在规律、特点. 一.基础知识 1.正弦函数的性质. (1)定义域:. (2)值域: (3)周期性：周期函数，周期是且,最小正周期为. (4)奇偶性:奇函数,其图象关于原点对称. (5)单调性:增区间: 减区间: (6) 对称性:对称轴:,对称中心: 2.正弦型函数的性质. (1)定义域:. (2)值域: (3)周期性：周期函数，周期是. (4)奇偶性:当时为奇函数;当时为偶函数. (5)单调性:当时:令,求解增区间. 令,求解减区间. 当时:注意单调区间的转化. (6)对称性:对称轴:令,求解对称轴方程,对称轴处取最值. 对称中心:令,求解对称中心坐标. 余弦型类似推导,此处不再赘述.可以看到,处理复合型函数性质的妙招就在于换元,令,换成标准的正弦(余弦函数来处理). 3.一些复杂的性质 (1)零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍; (2)对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍; (3)若在区间上单调,则必要条件是:区间长度不超过半个周期,即,充分条件是：单调区间是最大单调区间的子集，即, 综上可得 (4)对称轴公式:① (5)中心对称公式① (6)最值表示: 二.解题策略 1、与三角函数单调性有关的参数问题 含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围. 注：一般来说,若已知函数在某个区间上的单调性,并且已知,则可以把看作一个整体,再利用正弦函数的性质辅助解题。通过已知区间是单调区间的子集来列约束条件. 2、与三角函数的最值有关的参数问题 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合(图像在上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 3、与对称性有关的参数问题 一般来说,若函数在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间长度小于或等于半周期长度”大致确定的范围,再利用对称轴是否在该区间内进一步约束的范围,最后对剩下的进行逐一检验,进而确定的准确范围. 4、与三角函数的零点有关的参数问题 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 注：一般来说,已知函数在某个区间上有个零点、最值等,可将看作一个整体,再利用正弦函数的性质解题. 题型1 利用三角函数的值域求参数 【例1】已知函数的值域是，则实数的值等于（    ） A．2 B．-2 C． D． 【变式1】若函数的值域为，则（    ） A． B．4 C． D．3 【变式2】已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 ． 题型2 利用三角函数的周期性求参数 【例2】函数（，）的最小正周期为4，且，则 . 【变式1】已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式2】记函数的最小正周期为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】设函数.若，且的最小正周期大于，则（    ） A．. B． C． D． 题型3 利用三角函数的单调性求参数 【例3】函数在单调递减，求 . 【变式1】已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知函数在上单调递增，则的最大值为 ． 【变式3】已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数满足，且在上单调，则的最大值为 ． 【变式5】已知函数，则若时，在区间上单调，则的取值范围是________ 【变式6】已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型4 利用三角函数的最值求参数 【例4】已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则 . 【变式1】【多选】若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】已知函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为 . 【变式5】已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 题型5 利用三角函数的奇偶性求参数 【例5】已知函数是偶函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式1】【多选】函数的图像向左平移个单位后得到一个偶函数的图像，则的值可以为（    ） A．0 B． C． D． 【变式2】将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数，则的可能取值有 个. 【变式3】已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 题型6 利用三角函数的对称性求参数 【例6】若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数在上是单调函数，其图像的一条对称轴方程为，则的值不可以是（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】设函数，的图象的一条对称轴是直线． (1)求的值； (2)求函数的单调增区间． 【变式3】【多选】已知函数，满足，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在区间单调递增 D． 【变式4】已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 【变式5】已知函数在区间内不存在对称轴，则的最大值是 . 【变式6】设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式7】已知函数，的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为 . 【变式8】已知函数（，），，，且在区间上有且只有一个最大值，则的最大值为 ． 题型7 利用三角函数的图象求参数 【例7】函数的部分图象如图所示，则 .    【变式1】已知函数的图象如图所示.      (1)求函数的解析式； (2)若函数的图象在区间上恰好含10个零点，求实数b的取值范围. 【变式2】已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【变式3】函数的部分图象如图所示，若、，且，则 .    题型8 利用三角函数的零点求参数 【例8】已知（其中），其函数图像关于直线对称，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【变式1】设函数在上恰有2个零点，且的图象在上恰有2个最高点，则的取值范围是 . 【变式2】若函数，在上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的取值范围是 ． 【变式3】已知，满足，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4】若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是 ． 题型9 利用三角函数的多种性质求参数 【例9】【多选】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 【变式1】【多选】已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列错误的是（    ） A．图像的对称轴方程为 B．在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．在上单调递减 【变式2】【多选】已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上单调递减 C． D．函数在区间内的零点个数为3 $$2024-2025学年《考点通关》高一数学微专题精准突破（人教A版2019必修第一册） 微专题54 三角函数中参数的求解策略9种常考题型总结 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型1 利用三角函数的值域求参数 题型2 利用三角函数的周期性求参数 题型3 利用三角函数的单调性求参数 题型4 利用三角函数的最值求参数 题型5 利用三角函数的奇偶性求参数 题型6 利用三角函数的对称性求参数 题型7 利用三角函数的图象求参数 题型8 利用三角函数的零点求参数 题型9 利用三角函数的多种性质求参数 各级各类模拟试题中经常出现一类求函数的参数的取值范围问题，主要考查三角函数知识的应用，以及考查学生逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.此类问题对许多学生是一难点，学生往往无从入手，或者因不明算理而陷入繁琐的运算当中，花费大量时间却不得正解．本专题通过归类解析的形式说明这类问题的解法，以期帮助学生理解、掌握其内在规律、特点. 一.基础知识 1.正弦函数的性质. (1)定义域:. (2)值域: (3)周期性：周期函数，周期是且,最小正周期为. (4)奇偶性:奇函数,其图象关于原点对称. (5)单调性:增区间: 减区间: (6) 对称性:对称轴:,对称中心: 2.正弦型函数的性质. (1)定义域:. (2)值域: (3)周期性：周期函数，周期是. (4)奇偶性:当时为奇函数;当时为偶函数. (5)单调性:当时:令,求解增区间. 令,求解减区间. 当时:注意单调区间的转化. (6)对称性:对称轴:令,求解对称轴方程,对称轴处取最值. 对称中心:令,求解对称中心坐标. 余弦型类似推导,此处不再赘述.可以看到,处理复合型函数性质的妙招就在于换元,令,换成标准的正弦(余弦函数来处理). 3.一些复杂的性质 (1)零点与对称轴之间的距离等于四分之一个周期的奇数倍; (2)对称轴方程就是一条对称轴加半个周期的整数倍; (3)若在区间上单调,则必要条件是:区间长度不超过半个周期,即,充分条件是：单调区间是最大单调区间的子集，即, 综上可得 (4)对称轴公式:① (5)中心对称公式① (6)最值表示: 二.解题策略 1、与三角函数单调性有关的参数问题 含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围. 注：一般来说,若已知函数在某个区间上的单调性,并且已知,则可以把看作一个整体,再利用正弦函数的性质辅助解题。通过已知区间是单调区间的子集来列约束条件. 2、与三角函数的最值有关的参数问题 不等式恒成立问题常见方法： ①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； ②数形结合(图像在上方即可)； ③讨论最值或恒成立. 3、与对称性有关的参数问题 一般来说,若函数在某个区间上单调,并且给出了对称轴方程,则可先利用“该区间长度小于或等于半周期长度”大致确定的范围,再利用对称轴是否在该区间内进一步约束的范围,最后对剩下的进行逐一检验,进而确定的准确范围. 4、与三角函数的零点有关的参数问题 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 注：一般来说,已知函数在某个区间上有个零点、最值等,可将看作一个整体,再利用正弦函数的性质解题. 题型1 利用三角函数的值域求参数 【例1】已知函数的值域是，则实数的值等于（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论，根据正弦函数的值域列式可得结果. 【详解】当时，由，得， 因为的值域为，所以，解得， 当时，显然不符合题意； 当，由，得， 因为的值域为，所以，解得， 故选：C 【变式1】若函数的值域为，则（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】B 【分析】根据正弦函数的值域求解的值域，再与已知值域端点值对应相等，求解结果. 【详解】因为，所以，. 由题意得所以故. 故选：B. 【变式2】已知函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的图象特征和性质，结合定义域和值域，即可求解. 【详解】，因为，所以，因为，所以. 正弦函数在一个周期内，要满足上式，则， 所以，所以的取值范围是. 故选：D 【变式3】已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】根据函数值域满足，结合正弦函数的图象可知时满足题意，得解. 【详解】，令， ,, ，作出函数的图象，如图， 由图可知，以为中心，当变大时，若，函数最大值，最小值，不满足，若时，函数最大值，所以只需要确定函数最小值，因为，需函数最小值为，所以当时，即时， 函数值域为，满足，当时，函数最小值，此时不满足， 综上. 故答案为：. 题型2 利用三角函数的周期性求参数 【例2】函数（，）的最小正周期为4，且，则 . 【答案】0 【分析】由辅助角公式化简函数式，根据题意求出的解析式，求出，，，，结合周期性，即可求出的值. 【详解】， 因为最小正周期为4， 所以，， 所以， 又因为， 所以，故， 因为，所以， 所以， 所以，，，， 所以，且， 由于的周期为4， 所以. 故答案为：0 【变式1】已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只要将的图像（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【分析】根据最小正周期为可得，进而得到，再根据诱导公式结合三角函数图象平移的性质分析即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所有，即， 因为， 所以只需将函数图象左平移个单位长度即可得到函数图象. 故选：. 【变式2】记函数的最小正周期为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知函数的图象关于直线对称，可得出，再利用函数的最小正周期求出的取值范围，即可得出的值. 【详解】对任意的，，则为函数的最大值或最小值， 故函数的图象关于直线对称，故，解得， 又因为且函数的最小正周期满足，即， 解得，故. 故选：D. 【变式3】设函数.若，且的最小正周期大于，则（    ） A．. B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意求得，再由周期公式求得，再由可得，结合，求得值，即可得解． 【详解】由的最小正周期大于，可得， 因为，可得， 则，且，所以， 即， 由，即， 可得，，则，， 且，可得，， 所以，. 故选：C． 题型3 利用三角函数的单调性求参数 【例3】函数在单调递减，求 . 【答案】 【分析】根据题意，由正弦型函数的单调区间列出不等式，即可得到结果. 【详解】因为函数在单调递减，所以， 当时，，则有，又，解得， 故答案为： 【变式1】已知函数在上单调递减，则ω的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得. 由可得，. 因为，所以，所以； 又，所以，所以. 所以，，此时有. 故选：B. 【变式2】已知函数在上单调递增，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系，列式计算即得. 【详解】函数中，由， 得，即函数的单调递增区间为， 依题意，，则， 解得，由，得，即，而， 因此，所以的最大值为. 故答案为： 【变式3】已知函数的周期为，且满足，若函数在区间不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知， 令，解得 则函数对称轴方程为 函数在区间不单调， ，解得， 又由，且，得， 故仅当时，满足题意. 故选：C. 【变式4】已知函数满足，且在上单调，则的最大值为 ． 【答案】3 【详解】由题可得， 由，且在上单调， 得的图像关于点中心对称， 因为直线与直线关于直线对称，结合的图像对称性， 所以在上单调，得， 又，所以，故的最大值为3． 故答案为：3. 【变式5】已知函数，则若时，在区间上单调，则的取值范围是________ 【答案】或 【详解】时，在区间上单调， 即，所以或，解得或 【变式6】已知，函数在上单调递增，且对任意，都有，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，，进而可得，，即得. 【详解】由，得， 则， 解得． 又， ∴， 故，即． 由，得， 则，解得， 因为， 故，即， 综上所述，的取值范围为． 题型4 利用三角函数的最值求参数 【例4】已知函数，若，且在区间上有最小值无最大值，则 . 【答案】或 【分析】根据三角函数的对称性、最值求得正确答案. 【详解】因为，且在区间上有最小值无最大值， 则，则， 可得，解得， 且，解得， 可知：或1，或. 故答案为：或. 【变式1】【多选】若在上仅有一个最值，且为最大值，则的值可能为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】BD 【分析】根据正弦函数的性质，可得关于参数的不等式，求得的范围，从而得出结论. 【详解】因为，所以， 所以由题意得，Z， 解得，Z, 为负整数时，的范围时小于零的，与已知不符. 时，；时，. 因为，故A不正确；由题可知BD正确，C不正确. 故选：BD． 【变式2】已知函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，根据题意结合图象，则有，解出即可. 【详解】因为，则， 所以由题意得：，解得. 故选：D. 【变式3】已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦型函数的区间最值情况得，，进而有或，讨论结合已知恒成立确定最终的取值范围. 【详解】由，则内不存在最值， 即，则，，则或， 由，则中恒成立， 只需且， 或； 所以的取值范围是. 故选：D 【变式4】已知函数，其中为实数，且，若对恒成立，且，则的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】由题意可知为函数的最大值或最小值，所以，由，得到或，即可得的表达式，根据，即可验证值，代入正弦函数单调递增区间，化简整理，即可得答案. 【详解】由对恒成立知，， 得到或， 因为，所以或， 当时，， 此时，， ，不合题意，舍， 当 时，， 此时，， ，符合题意， 所以， 所以由 得， 所以的单调递增区间是. 故答案为： 【变式5】已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据三角函数的单调性和周期，求得的一个取值范围，结合三角函数的最值，求得的另一个取值范围.根据两个取值范围的交集，求得的取值范围. 【详解】由，可得， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 由，得， 因为函数在区间上恰好取得一次最大值， 所以，解得， 综上的取值范围是. 故答案为：. 题型5 利用三角函数的奇偶性求参数 【例5】已知函数是偶函数，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦函数的奇偶性列出关于的方程，从而得解. 【详解】因为是偶函数， 所以，即， 又，所以. 故选：C. 【变式1】【多选】函数的图像向左平移个单位后得到一个偶函数的图像，则的值可以为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用图象变换可求平移后的函数解析式，结合偶函数可求满足的条件，从而可得正确的选项. 【详解】函数的图像向左平移个单位后对应的解析式为： ， 因为该函数为偶函数，故， 故，所以可取，不可取， 否则若，，与为整数矛盾； 若，，与为整数矛盾； 故选：BC. 【变式2】将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数，则的可能取值有 个. 【答案】2 【分析】根据函数图像平移得到解析式，由是奇函数解出的取值，再由，确定取值的个数. 【详解】函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像， ∴， 若是奇函数，则有，解得， 由，则时，；时，，的可能取值有2个. 故答案为：2 【变式3】已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【分析】根据是奇函数可求得，利用诱导公式得，即可得出结果. 【详解】因为是奇函数，所以，即， 因为，所以，所以， 因为， 所以可把函数的图象向右平移个单位长度. 故选：D. 题型6 利用三角函数的对称性求参数 【例6】若存在实数，使得函数的图象关于直线对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，则， 若函数的图象关于直线对称， 则，解得. 故选：C. 【变式1】已知函数在上是单调函数，其图像的一条对称轴方程为，则的值不可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由，得， 由题意得，所以，所以，1，. 故选：B. 【变式2】设函数，的图象的一条对称轴是直线． (1)求的值； (2)求函数的单调增区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦型函数的对称性，把代入函数解析式求的值； （2）整体代入法求正弦型函数的单调增区间. 【详解】（1）是函数的图象的对称轴，则有． 解得，又，所以． （2）由（1）知，因此． 由题意得当x满足时，函数单调递增． 即当时，单调递增． 所以函数的单调递增区间为． 【变式3】【多选】已知函数，满足，则（    ） A． B．的最小正周期为 C．在区间单调递增 D． 【答案】ABD 【分析】根据对称轴定义结合参数范围判断A选项，根据周期公式判断B选项，根据单调区间计算得出C选项，结合周期和特殊角的值可以得出D选项. 【详解】因为，所以的函数图像关于直线成轴对称， 则，，得，， 又因为，所以，故A正确； 所以，所以，故B正确； 令，，所以，， 当时，为的单调递增区间， 所以在区间有增有减，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD. 【变式4】已知函数，（）在区间上恰好有两条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B．. C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的对称轴方程为，，原题等价于有2个整数k符合，解不等式即得解. 【详解】因为， 令，，则，， 函数在区间上有且仅有2条对称轴，即有2个整数k符合， 又在区间上恰好有两条对称轴， 由，得， 若，则，∴； 若，则，∴. 故选：A. 【变式5】已知函数在区间内不存在对称轴，则的最大值是 . 【答案】 【分析】由正弦函数性质及已知条件建立不等式组即可 【详解】因为，且，所以， 因为在区间内不存在对称轴，所以， 解得，当时，；当时，； 当时，不成立，即， 故答案为：. 【变式6】设函数，其图象的一条对称轴在区间内，且的最小正周期大于，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用辅助角公式化简，再求出函数的对称轴方程，由图象的一条对称轴在区间内，求出的取值范围，验证周期得答案. 【详解】， 由，得， 取，得，取，得， 由，得，此时， 由，得，此时，不合题意， 依次当取其它整数时，不合题意，所以的取值范围为， 故选：D 【变式7】已知函数，的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先根据正弦函数的对称性可求出的一个范围，再根据函数在上单调，可得，再求出的一个范围，进而可得出答案. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以，，解得，， 因为在上单调，所以， 即，解得， 当时，， 当时，， 所以当时，单调递减， 故的最大值为. 故答案为：. 【变式8】已知函数（，），，，且在区间上有且只有一个最大值，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意列出方程组，求出 的表达式，求出符合条件的，再根据在区间上有且只有一个最大值，分类讨论确定的值是否适合题意，可得答案. 【详解】由知，关于对称， 又因为， 所以,，则,，， 其中，, 当时，，，； 当时，，，. 又在区间上有且只有一个最大值，所以， 得，即，所以. 当时，，，此时，此时有2个最大值，舍去； 当时，，此时，此时有1个最大值，成立， 所以的最大值为， 故答案为： 题型7 利用三角函数的图象求参数 【例7】函数的部分图象如图所示，则 .    【答案】/ 【分析】根据图象推出，，然后根据最大值，结合的取值范围，求出的值，代入，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，，所以，， 所以，. 又因为在处取得最大值， 所以有， 所以，. 因为，，所以， 所以，， 所以，. 故答案为：. 【变式1】已知函数的图象如图所示.      (1)求函数的解析式； (2)若函数的图象在区间上恰好含10个零点，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象确定函数周期求得，再利用特殊点坐标代入函数表达式，可求得，即得答案； （2）函数的图象在区间上恰好含10个零点转化为与的图象在区间上恰好含有10个交点，结合正弦函数的性质列出不等式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意可得，的最小正周期为， 故， 又图象过点，故， 则，即， 而，故， 所以； （2）由（1）知， 令， 由，得， 因为函数的图象在区间上恰好含10个零点， 等价于与的图象在区间上恰好含有10个交点， 设，即与的图象恰有10个交点， 故，即. 【变式2】已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图像的最高点可求出，根据轴上的数据可求出周期，然后在代入一个点可求出解析式； （2）根据三角恒等变换化简得出，然后根据正弦函数的单调性求解. 【详解】（1）依题意，由图知，，，即， 得，所以， 又，所以，， 即，，由得，所以. （2）由（1）可知，， 则，     因为，所以， 根据正弦函数在上递增可知， 所以，即， 所以m的取值范围为. 【变式3】函数的部分图象如图所示，若、，且，则 .    【答案】 【分析】利用图象求出函数的解析式，求出、的取值范围，结合正弦型函数的对称性求出的值，由此可求得的值. 【详解】由图象可得，函数的最小正周期为， 所以，，则， 因为，且函数在附近单调递增， 所以，，则， 因为，所以，，则， 因为、，则，， 又因为，则，可得， 因此，. 故答案为：. 题型8 利用三角函数的零点求参数 【例8】已知（其中），其函数图像关于直线对称，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为 ． 【答案】 【分析】由三角函数的对称性求出，再由的范围求出的范围，根据三角函数的性质即可求出答案. 【详解】函数关于直线对称， 所以，所以， 因为，所以，所以， 当，则， 要使函数在区间上有且只有三个零点，所以， 所以的范围为：. 故答案为： 【变式1】设函数在上恰有2个零点，且的图象在上恰有2个最高点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】结合三角函数的图象性质，找出到满足条件的所在的区间，解不等式组即可作答. 【详解】因为，则， 而函数在上恰有2个零点，且的图象在上恰有2个最高点， 因此，即， 当时，不符合题意， 当时，不等式组为，不等式组无解， 当时，不等式组为，解得， 当时，不等式组无解， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式2】若函数，在上恰有两个最大值点和四个零点，则实数ω的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先化简函数式得，再结合三角函数的图象与性质，利用整体代换计算即可. 【详解】由三角恒等变换可得， 时，有， 若要满足题意则需：. 故答案为： 【变式3】已知，满足，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦函数的周期性和对称性分析可得为函数的对称轴，再根据周期性分析零点即可. 【详解】由题意可知：函数的最小正周期， 因为，则为函数的对称轴， 则函数在之后的零点依次为， 若函数在区间上有且只有三个零点，则. 故选：D. 【变式4】若函数在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得函数的零点，再利用题给条件列出关于正数ω的不等式，解之即可求得正数ω的取值范围. 【详解】由，可得，即， 令，则 又在区间内没有零点， 则区间内不存在整数， 又，则正数ω满足， 则，则，解之得，则正数ω的取值范围是. 题型9 利用三角函数的多种性质求参数 【例9】【多选】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间上单调递减 D．在区间上的值域为 【答案】BC 【分析】根据三角函数图象确定参数求出的解析式，计算的值，可判断A；计算的值，可判断B；根据正弦函数的单调性可判断C；根据，确定，结合正弦函数的值域，可判断D. 【详解】由图象可得,则， 的最大值为， ∴， 过点，∴，∴ ， ∵，，∴， 过点，∴， 即， ∴，由图像可知，即， 故，， ∴， A项：，的图象不关于点对称，A错误； B项：，取得最值， 则的图象关于直线对称，B正确； C项：令，∴， 故的单调递减区间为， 当时，在上单调递减，， 故在区间上单调递减，C正确； D项：，∴ ， ，，D错误， 故选：BC 【变式1】【多选】已知函数，满足，且对任意，都有，当取最小值时，则下列错误的是（    ） A．图像的对称轴方程为 B．在上的值域为 C．将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象 D．在上单调递减 【答案】ABC 【分析】根据题意的图象关于点对称，又当时，取得最小值， 当取最小值时，即周期最大，可得，所以，函数在时取得最小值，所以．求得，再逐项分析判断即可得解. 【详解】因为，所以的图象关于点对称，又对任意，都有，所以当时，取得最小值， 当取最小值时，即周期最大， 可得．得，所以， 函数在时取得最小值， 所以．因为，所以． 即． 令，得．故A错误； 当时，． 此时的值域为，故B错误； 将的图象向左平移个单位长度得到函数 的图象，故C错误； 当时，，单调递减，故D正确． 故选：ABC 【变式2】【多选】已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在区间上单调递减 C． D．函数在区间内的零点个数为3 【答案】CD 【分析】确定，得到函数解析式，取，计算得到A错误，取，计算得到B错误，确定解析式得到C正确，计算零点得到D正确，得到答案. 【详解】对于选项A：，，令，， 解得，，故函数的图象关于直线，对称，错误； 对于选项B：令，，得，， 函数的单调递减区间为，，错误； 对于选项C：将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数，正确； 对于选项D：令，，得，， 函数在区间内的零点有，，，共3个，正确． 故选：CD． $$