精品解析：福建省龙岩市上杭县城区三校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

初中2024～2025学年第一学期半期质量检测九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 、是中心对称图形，故选项符合题意； 、不是中心对称图形，故选项不符合题意； 故选：． 2. 用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，根据配方法进行计算即可求解，熟练掌握配方法是解题关键． 【详解】解： ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，依据题意，由抛物线为，从而开口向上，对称轴是轴，结合抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，进而可以判断得解．掌握二次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴是轴， ∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小， ∵， ∴． 故选：C． 4. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，即可求解． 【详解】解：把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是， 故选：C． 5. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° 【答案】C 【解析】 【分析】由圆内接四边形的性质得，再由圆周定理可得． 【详解】解：∵四边形ABCD内接于圆O， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若全班有x名同学，由每名同学都要送给除自己外的每位同学，可得每名同学要送出张；用x名学生数乘以每位送出的张数，即得总共送的张数，结合题意即可得到答案． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张照片. 又∵是互送照片， ∴． 故选：C． 7. 在平面直角坐标系中，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，画出图形，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——旋转，正确根据题意画出旋转后对应点的位置是解题的关键． 8. 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 7 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x …… ﹣1 0 1 2 …… y …… 0 3 4 3 …… 那么关于它的图象，下列判断正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与x轴的另一个交点是(3，0) C. 与y轴交于负半轴 D. 在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求得抛物线的解析式，结合解析式和二次函数的性质解答． 【详解】解：由表格知，抛物线的顶点坐标是（1，4）．故设抛物线解析式为． 将（-1，0）代入，得 ， 解得a=-1． 即： 对称轴为： A、∵a=-1＜0，∴抛物线的开口方向向下，故本选项A错误； B．x＝﹣1时，y＝0，根据函数的对称性，x＝3时，y＝0，故x＝3是方程ax2+bx+c＝0的一个解正确，符合题意； C．x＝0，y＝3，故与y轴交于正半轴，故本选项C错误，不符合题意； D．在直线x＝1左侧y随x的增大而增大，故本选项D错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查待定系数法求函数的解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 10. 已知关于x的一元二次方程的解为，则抛物线与x轴交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的解，求出的值，代入，令，解方程即可得到抛物线与轴的两个交点的横坐标，即交点坐标为标，，，． 【详解】解：将代入得， ， 由①②得：， 解得：， 将代入， 得， 解得：， ， ， 令， 则， ， 所以抛物线与x轴交点坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了如何求抛物线与轴的交点坐标，一元二次方程的解，解题的关键是利用一元二次方程与抛物线的关系来求解．令，解方程即可得到抛物线与轴的两个交点的横坐标，即交点坐标为标，，，． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点Q的坐标为． 故答案为：． 12. 一元二次方程根的判别式的值是______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．利用一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：17 13. 已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为(﹣1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是______． 【答案】(﹣5，0) 【解析】 【分析】利用交点（﹣1，0），求出函数解析式中c=5，解一元二次方程求出图象与x轴的另一个交点． 【详解】解：∵二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴1﹣6+c＝0． ∴c＝5， ∴二次函数y＝x2+6x+5． 令y＝0，则x2+6x+5＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝﹣5． ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（﹣5，0）． 故答案为：（﹣5，0）． 【点睛】此题考查了求二次函数与x轴的交点，正确掌握二次函数与坐标轴交点的计算方法是解题的关键． 14. 如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理等知识．连接，由旋转的性质得出、的长度，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得， ，，， 根据勾股定理得： ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 15. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 16. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出二次函数与x轴相交于，先求出当经过点时m的值，再求出 与只有一个交点时m的值，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴二次函数与x轴相交于， 当经过点时，如图： 把代入得：， 解得：， ∵将二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方， ∴当时，， 当与只有一个交点时，方程有两个相等的实数根， 整理得：， 则，解得：， ∴的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握根据图象求一元二次方程解的方法． 三 解答题（本题共8小题，共86分．第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，第25题14分） 17. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及解不等式组，熟练掌握解一元二次方程以及解不等式组的方法是解题的关键． （1）先移项再配方进行计算即可； （2）分别解出两个不等式的解集，再得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得； （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 即， 故原不等式的解集为． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的，并写出的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【解析】 【分析】此题考查了轴对称的作图、图形与坐标、旋转的作图等知识 （1）找到关于轴对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到点绕原点按顺时针旋转所得的对应点，顺次连接即可得到，再写出的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 的坐标为． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】k的取值范围为 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式． 根据方程有两个不相等的实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得， 即当时，方程有两个不相等的实数根． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 【答案】（1）△ABC是等腰直角三角形； 证明：∵AC是圆的直径，则∠ABC=∠ADC=90°， ∵∠ADB=∠CDB，∠ADB=∠ACB，∠CDB=∠CAB， ∴∠ACB=∠CAB， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC=90°，由∠ADB=∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB=∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC=AB=， ∴AC=， Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=1，则CD=， ∴CD=． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 21. 已知抛物线经过点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 【答案】（1）抛物线顶点的坐标为 （2） 证明：联立直线与抛物线解析式， 得， 即：， 可得， ∴， 由（1）知，且， ， ， ∴直线与该抛物线有两个不同的交点． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程的关系， （1）将点M的坐标代入关系式，用含有a的代数式表示b，再配方得出顶点式，可得答案； （2）将两个函数关系式联立得出一元二次方程，再求出根的判别式，根据结果分析得出答案． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ∴， 解得， ∴， 抛物线顶点的坐标为； 【小问2详解】 略 22. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件． （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？ 【答案】（1）（0≤x≤5且x为整数）；（2）定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元.. 【解析】 【分析】（1）涨价为x元，可用x表示出每星期的销量，并得到x的取值范围； （2）根据总利润=销量×每件利润可得出利润的表达式，然后配方求出最大利润即可． 【详解】解：（1）由题意得每件涨价x元， 则每星期的销量为，（0≤x≤5且x为整数）； （2）每星期的利润为W元， ， ∵x为整数， ∴当x=3或2时，W有最大值1560， 当x=3时，销量为120件，当x=2时销量为130件， 所以定价为42元时才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大，最大利润是1560元. 【点睛】本题是对二次函数运用题型的考查，准确根据题意列出代数式是解决本题的关键． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何加固蔬菜大棚？ 素材1 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体A处，另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米． 素材2 为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米． 问题解决 任务1 确定大棚形状 结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）． 任务2 探索加固方案 请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括： ①从何处立第一根竹竿； ②共需多少根竹竿； ③所需竹竿的总长度（写出计算过程）． 【答案】（1）（答案不唯一）； （2）从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，共需2根竹竿，所需竹竿总长度为米． 【解析】 【分析】（1）以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系，用待定系数法求出解析式即可； （2）从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，从而得到共需2根竹竿，分别求出两根竹竿长度，相加即可求解． 【详解】解：（1）如图，以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系如图（答案不唯一）： 由题意可得，，顶点的横坐标为， 设大棚横截面所对应的抛物线解析式为， ， 解得， ∴大棚横截面所对应的抛物线解析式为； （2）符合要求的方案： 从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿， ∴共需2根竹竿， 当时，， 当时，， ∴所需竹竿总长度为（米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，方案设计等，解题的关键是读懂题意，根据题意建立合适坐标系，掌握待定系数法求函数解析式． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． （1）求C点的坐标； （2）连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 【答案】（1）C点的坐标为 （2）D点的坐标为 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数和一次函数的交点问题等知识． （1）把代入抛物线解析可得．即可求出点C的坐标； （2）设与轴的交点为，由得到，则，求出，则，在中，，求出，得到，求出直线的解析式为，联立一次函数和二次函数解析式求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴， 当时，， ∴C点的坐标为； 【小问2详解】 设与轴的交点为， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：（不合题意，舍去）或， 当时，， ∴D点的坐标为： 25. 已知，， （1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由． （2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长． 【答案】（1） 与相等； 理由如下： ， ， 即， 在和中 ， ； （2） 理由如下： 如图：连接， ， ， 即 在和中 ， ，， ，，， ，， ， ， ， ； （3）或 【解析】 【分析】(1)根据题意可证得，据此即可解答； (2)连接，可证得，据此即可证得，，，根据勾股定理可得，再根据等腰直角三角形的性质可证得，根据勾股定理即可证得结论； (3)过点O作于点E，利用勾股定理可求得，根据面积公式可求得，再分两种情况，分别计算即可求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：过点O作于点E， ，， ， ， ， 如图：当点F在的延长线上时， ，， ， ， ； 如图：当点F在线段上时， ，， ， ， ， ， ， 解得， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，作出辅助线，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中2024～2025学年第一学期半期质量检测九年级数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 在数学活动课中，同学们利用几何画板绘制出了下列曲线，其中是中心对称图形的是（） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程时，将方程化为的形式，则a的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 12 3. 若点，，都在二次函数的图象上，则（ ） A. B. C. D. 4. 把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. 138° B. 121° C. 118° D. 112° 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，将点绕着原点O 顺时针旋转到， 则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 7 D. 11 9. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表： x …… ﹣1 0 1 2 …… y …… 0 3 4 3 …… 那么关于它的图象，下列判断正确的是（ ） A. 开口向上 B. 与x轴的另一个交点是(3，0) C. 与y轴交于负半轴 D. 在直线x＝1的左侧y随x的增大而减小 10. 已知关于x的一元二次方程的解为，则抛物线与x轴交点坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点Q的坐标为__________． 12. 一元二次方程根的判别式的值是______． 13. 已知二次函数y＝x2+6x+c（c为常数）的图象与x轴的一个交点为(﹣1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是______． 14. 如图，中，，，，将绕点B逆时针旋转得，若点在上，则的长为__________． 15. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 16. 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图像沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是______． 三 解答题（本题共8小题，共86分．第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，第25题14分） 17. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）画出关于轴对称的； （2）画出将绕原点按顺时针旋转所得的，并写出的坐标． 19. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 20. 如图，四边形内接于，为的直径，． （1）试判断的形状，并给出证明； （2）若，，求的长度． 21. 已知抛物线经过点，且． （1）求抛物线顶点的坐标（用含的代数式表示）； （2）证明：直线与该抛物线有两个不同的交点． 22. 某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件．市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件．设每件涨价x元（x为非负整数），每星期的销量为y件． （1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？ 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何加固蔬菜大棚？ 素材1 农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体A处，另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米． 素材2 为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米． 问题解决 任务1 确定大棚形状 结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）． 任务2 探索加固方案 请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括： ①从何处立第一根竹竿； ②共需多少根竹竿； ③所需竹竿的总长度（写出计算过程）． 24. 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． （1）求C点的坐标； （2）连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标． 25. 已知，， （1）如图1，连接、，问与相等吗？并说明理由． （2）若将绕点O逆时针旋转，如图2，当点C恰好在边上时，请写出、、之间关系，并说明理由． （3）若绕点O旋转，当时，直线与直线交于点F，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $