期末动点问题专题训练--2024-2025学年人教版七年级上册数学期末提升专题训练

期末动点问题专题训练 1．如图，在一条不完整的数轴上有A，B两点，它们表示的数分别为和2．    (1)求线段的长度． (2)A点沿数轴正方向运动，速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒． ①求5秒后A点表示的数． ②求t为何值时，线段的长度为2． 2．如图，已知数轴上原点为0，点表示的数为，A在的右边，且A与的距离是5，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点，同时出发，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点A表示的数 ，点表示的数 （用含的代数式表示），点表示的数 （用含的代数式表示）； (2)问点与点何时到点的距离相等？ (3)若点是数轴上一点，点表示的数是，是否存在，使得？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由； (4)若点到达点后，立即折返去追，能追上吗？此时距离原点有多远？（直接写出距离即可） 3．如图，在数轴上，点P从表示－40的点出发，沿水平向右的方向以每秒3个单位长度的速度运动，同时点Q从表示20的点出发，沿水平向左的方向以每秒2个单位长度的速度运动． （1）当点Q运动到原点O时，点P的位置表示的数是多少？ （2）当P、Q两点间的距离为30个单位长度时，问两点运动的时间是多少？ 4．如图，在数轴上，点A表示的数为a，点B表示的数为b，点C表示的数为17，且a，b满足．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒． (1)______，______； (2)当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M对应的数是多少？ 5．如图，半径为的小圆与半径为的大圆上有一点与数轴上原点重合，两圆在数轴上做无滑动的滚动，小圆的运动速度为每秒个单位，大圆的运动速度为每秒个单位． (1)若大圆沿数轴向左滚动周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是________； (2)若小圆不动，大圆沿数轴来回滚动，规定大圆向右滚动时间记为正数，向左滚动时间记为负数，依次滚动的情况记录如下（单位：秒）：，，，，，． ①第几次滚动后，大圆离原点最远？ ②当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有多少？此时两圆与数轴重合的点之间的距离是多少？ （结果保留） 6．如图1，在数轴上有一根铁丝，点A对应的数为，点B对应的数为30． (1)铁丝的长为________； (2)若将铁丝向右移动的距离为x，此时点A对应的数为a，点B对应的数为b，且，求x的值； (3)将铁丝在点P处剪断，再由分成的两段铁丝分别折成两个长方形（不浪费，不重叠）按如图2放置，若阴影部分的宽均为1． ①求点P在数轴上对应的数； ②设小长方形的宽为y，试探究阴影部分的面积是否变化？若不变，求出阴影部分的面积；若变化请说明理由． 7．已知在数轴上，一动点从原点出发，沿着数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…… (1)第6次移动后，动点在数轴上所表示的数为_______；第7秒时，动点在数轴上所表示的数为________； (2)求第次移动后，动点的运动时间； (3)如果在数轴上有一个定点，且与原点相距20个单位长度，问：动点从原点出发，能与重合吗？若能，则动点第一次与点重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 8．如图，数轴上三点A，B，C对应的数分别为，0，2，点D 为数轴上任意一点，其对应的数为x． (1)A，B两点之间的距离为 ，A，C两点之间的距离为 ； (2)若A，D两点之间的距离为6，求x的值． (3)若在该数轴上，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动；同时动点Q从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度也沿数轴正方向运动.多少秒后P，Q两点之间的距离为1? 9．已知数轴上的在负半轴上，到原点的距离为个单位长度，点在正半轴上，从点到点，要经过个单位长度． (1)求出点在数轴上表示的数，点在数轴上表示的数； (2)若点也是数轴上的点，点到点的距离是点到原点距离的倍，求点的对应的数； (3)点从点向右出发，速度为每秒个单位长度，同时点从点向右出发，速度为每秒个单位长度，点到点的距离等于点到原点的距离，求出的值． 10．如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示24，点D表示36，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为45个单位长度，并表示为． 已知动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的3倍．经过点C后立刻恢复初始速度． (1)动点P从点A运动至点C需要多少时间？ (2)动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； (3)动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 11．已知数轴上点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B 表示的数是 ； 当点P运动到的中点时，它所表示的数是 ； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点P，Q 同时出发．如果P，B，Q中有一个点是另外两点所构成线段的中点，就称P，B，Q为一组“平衡点”．求出点P运动多少秒时，点P，B，Q能构成一组“平衡点”？ (3)若点P出发2秒后点Q再从点B 出发，并以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动至点处加速，以每秒5个单位长度的速度继续向左运动．直接写出当t等于何值时，P，Q之间的距离为6？ 12．在数轴上，点为原点，点表示的数为，动点在数轴上移动（点在点右侧），总保持（大于且小于），设点表示的数为． (1)如图1，当动点在线段上移动时， ①若，且为中点时，则点表示的数为 ___________； ②若，求多项式的值； (2) 当线段在射线上移动时，且，用含的式子表示． 13．如图，数轴上有，两点，，之间距离为21，原点在，之间，到的距离是到的距离的两倍． (1)点表示的数为______，点表示的数为______； (2)点、点和点（点初始位置在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，2，2个单位长度每秒，则经过多少秒，点到点与点的距离相等？ (3)点沿着数轴移动，每次只允许移动1个单位长度，经过8次移动后，点与原点相距1个单位长度．满足条件的点的移动方法共有多少种？ (4)点和点同时沿着数轴移动，两点每次均只允许移动1个单位长度．请判断点和点经过相同次数的移动后，能否同时到达原点？如果能，请给出点和点各自的移动方法；如果不能，请说明理由． 14．如图，若点A在数轴上对应的数为a，点B在数轴上对应的数为b，A、B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且a，b满足． (1)点A、B同时出发相向而行，点A的运动速度为2个单位每秒，在原点处相遇，求点B的运动速度； (2)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时两者相距5个单位长度； (3)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴负方向运动，与此同时，C点从原点出发作相同方向运动，且在运动过程中，始终有，若干秒后，C点停留在处，求此时B点的位置． 15．【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．通过研究数轴，我们发现了许多重要的规律，比如：数轴上点A和点B表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离，若，则可化简为．若，则可化简为， 【解决问题】 （1）如图1，已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若点P与表示有理数的点的距离是个单位长度，则m的值为 ； （2）已知点P为数轴上任一动点，点P对应的数记为m，若数轴上点P位于表示的点与表示2的点之间，则 ； （3）已知点A，B，C，D在数轴上分别表示数a，b，c，d，四个点在数轴上的位置如图2所示，若，，，则 ． 【拓展探究】 （4）已知点A，B，C，D，E在数轴上表示的数分别为：，，9，，25，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟2个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…… ①求Q点运动多少秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短？ ②动点Q能不能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，若能，请直接写出从出发到都经过这5个点的最短时间，若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)9 (2)①，②或11 【详解】（1）解：． （2）解：①， ∴5秒后A点表示的数为； ②当点A运动到点B左边时，， 解得：； 当点A运动到点B右边时，， 解得：； 综上：或11． 2．(1)3；； (2)秒或1秒 (3)存在，或 (4)能追上，此时距离原点有13个单位 【详解】（1）（1），且A在的右边， 点A表示的数为， 动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， 点表示的数为，点表示的数为． 故答案为：3；；； （2）依题意，得：， 即或， 解得：或， 答：当秒或1秒时，点与点到点距离相等； （3）存在，使得，理由如下： 当时，，即， 解得：； 当时，，即； 当时，，即， 解得：． 或，使得； （4）能追上，理由如下： 到达用时秒，折返后表示的数是， 根据题意得：， 解得， ， 答：能追上，此时距离原点有13个单位． 3．（1）-10，（2）6秒或18秒 【详解】解：（1）当点Q运动到原点O时，点Q运动的距离为20，运动时间为20÷2=10（秒），此时，点P所走的距离为：3×10=30，点P表示的数为-40+30=-10； （2）设两点运动的时间是x秒时，两点间的距离为30个单位长度， 当点P在点Q左侧时， [20-（-40）]-3x-2x=30， 解得，x=6， 当点P在点Q右侧时， 3x+2x -[20-（-40）] =30， 解得，x=18， 答：设两点运动的时间是6秒或18秒时，P、Q两点间的距离为30个单位长度． 4．(1) (2)当时，P、Q两点相遇，相遇点M对应的数是8 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：根据已知得，P表示的数是， 表示的数是， 由题意，得，解得， 此时， 当时，P、Q两点相遇，相遇点M对应的数是8． 5．(1) (2)①；②， 【详解】（1）若大圆沿数轴向左滚动一周，则该圆与数轴重合的点所表示的数是． （2）（2）①第1次滚动后，， 第2次滚动后，， 第3次滚动后，， 第4次滚动后，， 第5次滚动后，， 第6次滚动后，， 则第6次滚动后，大圆离原点最远． ②， ∴当大圆结束运动时，大圆运动的路程共有； 由①可知当大圆结束运动时离原点的距离是， ∴两圆与数轴重合的点之间的距离是 6．(1)40 (2) (3)①或；②不变，20 【详解】（1）解： 故答案为：40 （2）由题意可知：， 当时， ，不符合题意； 当时， ， （3）①设小长方形的长为，宽为， 则由题意可列：， 解得， 小长方形的周长为 当，则 当，则 点对应的数是或 ②不变，理由如下： 由①可知， ∵小长方形的宽为， 小长方形的长为， 阴影部分的面积为： ， 阴影部分的面积为常数20． 7．(1)；2； (2) (3)秒或秒 【详解】（1）解：由题意得，点Q的移动方式如下： 第1次移动是向右移动1个单位长度， 第2次移动是向左移动2个单位长度， 第3次移动是向右移动3个单位长度， 第4次移动是向左移动4个单位长度， 第5次移动是向右移动5个单位长度， ……， 以此类推可知，从第1次移动开始，每2次移动，点Q相当于向左移动1个单位长度， ∴第6次移动后，点Q向左移动了3个单位长度，则此时点Q表示的数为； ∵点Q每秒2个单位长度， ∴移动7秒后点Q移动的距离为个单位长度， ∵移动5秒，即点Q移动4次时，移动的距离为10个单位长度，移动秒，点Q移动的距离为15个单位长度， ∴移动7秒时，点Q移动了4次，正在第5次移动过程中， ∴移动7秒时，点Q表示的数为； （2）解：第n次移动后，点Q移动的距离为， ∴第n次移动后，点Q的运动时间为； （3）解：解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A， 则， 解得； 秒 ∴第一次与A重合需要时间是秒         ②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A， 则， 解得 秒 则第一次与A重合需要时间是秒 综上，第一次与A重合需要时间秒或秒． 8．(1)3，5 (2)或3 (3)运动4或秒后P，Q两点之间的距离为1 【详解】（1）解：A，B两点之间的距离为：， A，C两点之间的距离为：， 故答案为：3，5； （2）解：点D可以在点A的左侧或右侧，所以分两种情况： 当点D在点A的左侧时，则，解得：； 当点D在点A的右侧时，则，解得：； ∴x的值为或3； （3）解：设运动t秒后P，Q两点之间的距离为1，则动点P表示的数为t，动点Q表示的数为， 分两种情况： 当动点P在动点Q的左侧时，， 解得：； 当动点P在动点Q的右侧时，， 解得：； ∴运动4或秒后P，Q两点之间的距离为1． 9．(1)点表示，点表示 (2)或 (3) 【详解】（1）解：∵数轴上点在数轴负半轴上，到原点的距离为个单位长度，点在数轴正半轴上，从点走到点，要经过个单位长度， ∴点表示，点表示； （2）解：设点表示的数为， ∵点到点的距离是点到原点的距离的倍，点在数轴上表示的数为 ∴点到点的距离为， ∴或， ∴点对应的数为或； （3）解：设运动时间为秒，则，， ∵点到点的距离等于点到原点的距离， ∴点为的中点， ∴， ∴． 10．(1)18.5秒 (2) (3)14.5或19.5 【详解】（1）解：根据题意得： （秒）； 答：动点从点运动至点需要18.5秒； （2）解：动点从点运动至点需要的时间为： （秒）， 运动t秒至点B和点C之间时，点P表示的数为： ， ∴当时，点表示的数为， 当动点运动至点和点之间时，点表示的数为； （3）解：，，， 共2两种情况． 当点在点和点之间，即时，点表示的数为， ，， ∴， 解得：； 当点在点的右侧，即时，点表示的数为， ，， ， 解得：． 答：动点的运动的时间是14.5秒或秒． 11．(1)；1 (2)当或时P，B，Q可以构成“平衡点” (3)t的值为1或6或48或60 【详解】（1）解：∵点A表示的数为6，B 是数轴上在A 左侧的一点，且A，B两点间的距离为10． ∴设点对应的数为，则有： ， 解得，； 设的贵点对应的数为，则： ， 故答案为：；1； （2）解：分三种情况： ①如图，当点B为的中点时，则点P对应的，Q对应的数为 ∴ ∵， 解得，； ②当为和中点时，如图，则点P对应的，Q对应的数为， 则， ∴， 解得： ； ③当点Q为的中点时，如图， ∴， ∴ 此时t不存在， 综上，t的值为或； （3）解： ， ； ∴当时，点表示的数为； 当时，从处以每秒5个单位的速度向左运动，则表示的数为； ①当时，且点在点右侧时， ， 解得，； 点在点左侧时， ∵， ∴， 解得，； ②当时，∵， ∴， 整理得，， 或， 解得，或， 综上，t的值为1或6或48或60． 12．(1)①；② (2)或 【详解】（1）解：①∵点表示的数为，为中点， ∴， ∵， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：； ②∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图1， 当点位于原点左侧时，，，， 由题意，得：， 解得：； 如图2， 当点位于原点右侧时，由题意，得： ， 解得：； 综上可知，或． 13．(1)， (2)经过或秒，点到点与点的距离相等 (3)满足条件的点的移动方法共有种 (4)不能， 【详解】（1）解：∵到的距离是到的距离的两倍， ∴设点表示的数为，则点表示的数为， ∵，之间距离为21， ∴， 解得：， ∴， ∴点表示的数为，点表示的数为； （2）解：设经过秒，点到点与点的距离相等，则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， 由题意得：， 解得：或， ∴经过或秒，点到点与点的距离相等； （3）解：设点沿着数轴向左移动次，则向右移动次，对应的数为或， 则，即， 解得：或， 当时，有1种移动方法，点沿着数轴向左移动，经过8次移动后，点对应的数为，此时点与原点相距1个单位长度； 当时，有种移动方法：连续向左移动次，再向右移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左移动1次；连续向左移动次，再向右移动1次，最后向左连续移动2次；连续向左移动4次，再向右移动1次，最后向左连续移动3次；连续向左移动3次，再向右移动1次，最后向左连续移动4次；连续向左移动2次，再向右移动1次，最后向左连续移动5次；向左移动1次，再向右移动1次，最后向左连续移动6次；先向右移动1次，再向左连续移动7次； 故， 综上所述，满足条件的点的移动方法共有种； （4）解：不能，理由如下： 设点向左移动次，向右移动次，则点移动了次， ∴， ∴， 设点向左移动了次，则向右移动了次， ∴， ∴， ∵、、均为正整数， ∴不符合题意， ∴点和点经过相同次数的移动后，不能同时到达原点． 14．(1)点B的运动速度4个单位每秒 (2)7秒或2秒钟时两者相距5个单位长度 (3)B的位置为 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∴点A、点B表示的数分别为：3，． ∴点A、点B到原点的距离分别为3，6． ∵点A的运动速度为2个单位每秒， ∴点A的运动时间为，即点B的运动时间为． ∴点B的运动速度为个单位每秒． （2）解：设经过时间为t，则运动后点A、B表示的数为：，， 由题意可得：，解得：或2， 所以7秒或2秒钟时两者相距5个单位长度． （3）解：设点C的速度为y个单位/秒，运动时间为t，则始终有，即， ∴，解得， 当C停留在处，所用时间为：秒 ∴B的位置为． 15．（1）或；（2）8；（3）5；（4）①秒；②动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，从出发到都经过这5个点的最短时间为秒． 【详解】解：（1）∵点P对应的数记为m，点P与表示有理数的点的距离是个单位长度， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或； （2）∵点P位于表示的点与表示2的点之间， ∴； 故答案为：8； （3）∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． （4）①设点Q表示的数为x， ∵点A，B，C，D，E在数轴上分别表示数分别为：，，9，，25， ∴,,, ∴， 当时，则， 当时，则， 当时，则， ∴当时，有最小值， 同理可得当时，有最小值13， ∵， ∴当时，有最小值0， 综上所述，当时，，，三者能同时取得最小值， ∴当时，取得最小值， ∴当点Q运动到时，到点A、B、C、D、E各点距离之和最短， 根据题意可知，从第一次运动开始，点Q每运动两次向左移动一个单位长度， ∴点Q从原点出发需要运动次才能到， ∴点Q运动的距离为：， ∴运动时间为：（秒）， 即Q点运动秒钟后所处的位置到点A、B、C、D、E各点距离之和最短； ②∵从第一次运动开始，点Q每运动两次向左移动一个单位长度， ∴数轴负半轴的每一个整数点Q都可以经过， ∵从第二次运动开始，每两次运动，点Q相当于向右移动1个单位长度， ∴数轴坐标轴上的所有整数点Q都可以经过， ∴动点Q能在运动过程中同时经过这5个点A、B、C、D、E，且需要运动的次数为： （次）， ∴需要运动的路程为：， ∴运动时间为：（秒）， 即从出发到都经过这5个点的最短时间为秒． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$