专题07 线段的垂直平分线与用尺规作三角形重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题07 线段垂直平分线与角平分线重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 线段垂直平分线的判定 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线（尺规作图） 题型五 尺规作一个角等于已知角 题型六 尺规作角的和、差 题型七 尺规作图——作三角形 题型八 作已知角的平分线 题型九 作已知线段的垂直平分线 题型十 角平分线性质定理及证明 题型十一 平分线的性质定理 题型十二 角平分线的判定定理 题型十三 角平分线性质的实际应用 知识点1：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，的长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，连结，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点D、E分别是和上的中点，点F是上的一个动点，当取到最小值时，的度数是 ． 3．（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，在中，垂直平分交于点E，交于点 D，若，的周长为31，求的周长． 【经典例题二 线段垂直平分线的判定】 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 1．（23-24八年级上·广西梧州·期末）如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【经典例题三 线段垂直平分线的判定】 【例3】（2024·广东梅州·一模）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（    ） A．26 B．32 C．38 D．44 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，连接．若，，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·陕西安康·期中） 两个城镇A、B 与两条公路的位置如图所示，其中是东西走向的公路．现电信部门需在E处修建一座信号发射塔，要求发射塔在 内部，到两个城镇A、B的距离必须相等，且到两条公路的距离也必须相等，那么点 E 应选在何处？ 请在图中用尺规作图找出符合条件的点E． 【经典例题四 作垂线（尺规作图）】 【例4】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，已知，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接与相交于点D，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．13 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，分到以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ．    3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线．在，所在的平面内求作直线l，使得，且l与间的距离恰好等于l与间的距离（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【经典例题五 尺规作一个角等于已知角】 【例5】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点，连接．他得出结论的根据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 1．（2024·广西南宁·三模）如图，用直尺和圆规作一个角，使得，则此作图的依据是（    ） A．ASA B．SAS C．SSS D．HL 2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知线段a，b和，求作三角形，使其有一内角等于，且此角的对边等于a，另一边等于b．保留作图痕迹，不写作法． 【经典例题六 尺规作角的和、差】 【例6】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列作图属于尺规作图的是（    ）． A．画线段 B．用量角器画出的平分线 C．用三角尺作过点A垂直于直线的直线 D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出的平分线 B．已知，作，使． C．用刻度尺画线段 D．用三角板过点作的垂线 2．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 3．（2024八年级上·山西晋中·期中）如图，已知，求作：，使．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【经典例题七 尺规作图——作三角形】 【例7】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是（     ） A．已知两边的长和夹角的三角形 B．已知两个角及夹边的长的三角形 C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形 D．已知直角边和斜边的直角三角形 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，画出一个与全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括)?并画出其中4个． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知：线段和 求作：，使得，，． 【经典例题八 作已知角的平分线】 【例8】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点P；画射线，与相交于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河北沧州·模拟预测）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是的中点 D．点在点的北偏东方向上 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是利用尺规作角平分线的示意图，其作图依据为 ． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，点D在线段上，，， (1)求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵，∴___①___； 在和中， ∴ ∴___③___    ∵平分，∴___④___． 在和中， ∴， ∴（___⑤___）． 【经典例题九 作已知线段的垂直平分线】 【例9】（2024·贵州贵阳·一模）已知一条线段AB外有一点C，利用尺规过点C作线段AB的垂线，以下作法正确的是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（    ） A．B．C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）【问题背景】在古代文明中，古埃及人就已经运用了一些类似尺规作图的方法来进行土地测量和建筑设计．古巴比伦人也在一定程度上使用简单的工具进行几何图形的构建． 【实践与操作】已知：在中，， (1)请你用尺规作边上的高交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：若，，；求的长． 【经典例题十 角平分线性质定理及证明】 【例10】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（    ） A．65° B．60° C．55° D．50° 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知平分，平分，．下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形是某校的一块试验田，是三条小路（宽度忽略不计），已知，点E，F分别在上，某数学兴趣小组在实践活动测量中发现，，正准备继续测量与的长度来判断与是否相等时，小亮却说：不用测量了，．小亮的说法是否正确？请说明理由．    【经典例题十一 平分线的性质定理】 【例11】（24-25八年级上·上海·期中）如图，是的平分线，点、分别在、上，点为直线上的一个动点，如果，的面积为9，那么线段的长不可能是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5.5 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为E、F，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在的边上取点．连接平分，平分，若，的面积是，的面积是5，则的值是 ． 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点E是的平分线上一点，的两边分别与的两边交于点M，N，且，于点C，若和的面积分别为50和30．请求出的面积． 【经典例题十二 角平分线的判定定理】 【例12】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，的角平分线，交于点，延长，过作于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，，，，交于点H，连．则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知在和中，，，，，交于点，连接下列结论：；；平分；其中正确的是 填序号． 3．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 【经典例题十三 角平分线性质的实际应用】 【例13】（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（    ）处． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，平分，平分，若，则 ．    3．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）在如图的几个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·天津河西·期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·开学考试）如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点C在的边上，用直尺和圆规作，这个尺规作图的依据是 ． 7．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点；③作射线交于点；④过点作，交于点，交于点．若，则的度数为 ． 8．（2024·吉林松原·三模）如图，已知线段，分别以点为圆心，长为半径作圆弧，两弧相交于点、，连接，交线段于点，以点为圆心，长为半径作圆弧，交线段于点，连接、，则 度． 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则   ．（用含 的代数式表示） 11．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知及点C、D，求作一点P，使，并且使点P到的距离相等．（尺规作图） 12．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 13．（2024八年级上·广西·专题练习）作角：已知： 求作：，使． 作法： 1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 2、画一条射线，以点为圆心，（______）长为半径画弧，交于点； 3、以点（______）为圆心，（______）长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点； 4、过点画射线，则． 这样作出的和就是相等的．依据是（______）． 14．（24-25八年级上·山东济宁·期中）（1）如图，是等腰三角形底边的中线，，，求的度数和的长度； （2）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M、N的距离相等？（不写作法，保留作图痕迹） 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1，在中，，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点，作直线，交于点，交于点；③连接． 【操作体验】（1）根据“观察发现”中的步骤，用尺规作图； 【推理论证】（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点，连．小亮根据上面步骤得出，请你补全括号里的证明依据； 证明： （           依据1                  ） （             依据2                 ） 【拓展探究】（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用．如图3，某地有两个村庄和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库（在内），希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P．（保留作图痕迹，不写作法） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 线段垂直平分线与角平分线重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 线段垂直平分线的性质 题型二 线段垂直平分线的判定 题型三 作已知线段的垂直平分线 题型四 作垂线（尺规作图） 题型五 尺规作一个角等于已知角 题型六 尺规作角的和、差 题型七 尺规作图——作三角形 题型八 作已知角的平分线 题型九 作已知线段的垂直平分线 题型十 角平分线性质定理及证明 题型十一 平分线的性质定理 题型十二 角平分线的判定定理 题型十三 角平分线性质的实际应用 知识点1：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 知识点五 尺规作图 一．作已知角的角平分线 二．过一点作已知线段的垂线 【经典例题一 线段垂直平分线的性质】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，的长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，连结，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，等边对等角的性质以及垂直平分线的性质，熟练掌握各性质和定理是解题的关键．利用等边对等角及三角形内角和定理求出，由作图可知，垂直平分，由选段垂直平分线线的性质得出，再根据直角三角形两锐角互余的性质得出．最后根据角度的和差关系即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 1．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线正好经过点，与相交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，等边对等角，是解题的关键．连接，中垂线的性质结合外角的性质得到，等边对等角得到，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 2．（24-25八年级上·湖南永州·期中）如图，为等边三角形，点D、E分别是和上的中点，点F是上的一个动点，当取到最小值时，的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据等腰三角形的性质得到，推出垂直平分，得到，连接交于，则此时的值最小，根据等腰三角形的性质得到，，求得，即可得出答案． 【详解】解：连接，连接交于， ∵为等边三角形， ∴，， ∵点D、E分别是和上的中点， ，，，， 垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴当，，共线时最小，此时与重合， ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·青海海东·期中）如图，在中，垂直平分交于点E，交于点 D，若，的周长为31，求的周长． 【答案】21 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 先根据是线段的垂直平分线得出，即，再由的周长即可求出答案． 【详解】 解∶垂直平分， ，，的周长为31， ， 的周长． 【经典例题二 线段垂直平分线的判定】 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）下列条件中，不能判定直线是线段（M，N不在上）的垂直平分线的是（） A．， B．， C． D．，平分 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，根据线段垂直平分线的意义及性质进行分析、判断即可，掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、 ∴点和点都在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； B、 ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； C、当时， 是线段的垂直平分线，但直线不一定是线段 的垂直平分线，故选项符合题意； D、平分， ∴直线是线段的垂直平分线，故选项不符合题意； 故选：C． 1．（23-24八年级上·广西梧州·期末）如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵，    ∴， 在与中， ， ， ， ∴垂直平分，故A正确， 无法得出，故不能垂直平分，故B和C错误， 也无法得出，故不能平分，故D错误， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定，根据垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据证明，即可得解．解题的关键是掌握：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴①②正确， 在和中， ， ∴， ∴③正确， ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 【经典例题三 线段垂直平分线的判定】 【例3】（2024·广东梅州·一模）已知，下列尺规作图的方法中，能确定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图−基本作图，解题的关键是掌握垂直平分线，角平分线，垂线的尺规作图方法．观察各选项作图痕迹，根据垂直平分线，角平分线，垂线性质逐项判断即可． 【详解】解：A、选项作图痕迹可知，D为中点，不能确定，故本选项不符合题意； B、选项作图痕迹可知，D在的垂直平分线上，能确定，不能确定，故本选项不符合题意； C、选项作图痕迹可知，是边上的高，不能确定，故本选项不符合题意； D、选项作图痕迹可知，D在的平分线上，故本选项符合题意； 故选：D． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；作直线分别交于点D、E．若，的周长为26，则的周长为（    ） A．26 B．32 C．38 D．44 【答案】C 【分析】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 由题意可得：垂直平分线段，可得、；再根据题意可得，最后求出的周长即可． 【详解】解：由题意可得：垂直平分线段， ∴，, ∵的周长为26， ∴, ∴的周长． 故答案为：38． 2．（24-25八年级上·山东泰安·期中）如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】23 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解本题的关键．由作图可得：直线为的垂直平分线，可得，再利用三角形的周长公式进行计算，即可解题． 【详解】解：由题知，直线为的垂直平分线， ， ，， 的周长为， 故答案为：23． 3．（24-25八年级上·陕西安康·期中） 两个城镇A、B 与两条公路的位置如图所示，其中是东西走向的公路．现电信部门需在E处修建一座信号发射塔，要求发射塔在 内部，到两个城镇A、B的距离必须相等，且到两条公路的距离也必须相等，那么点 E 应选在何处？ 请在图中用尺规作图找出符合条件的点E． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——尺规作图，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质可得，点E在的角平分线与线段的垂直平分线的交点处，由此利用尺规作图即可求解，熟练掌握角平分线的作法与垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，点E为所求． 【经典例题四 作垂线（尺规作图）】 【例4】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，分别以点A，B为圆心，以为半径作弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 依据垂直平分，即可得出，进而得到，即可得出的周长． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴， ∴的周长为， 故选D 1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）如图，已知，以A、B两点为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧相交于点M、N，连接与相交于点D，则的周长为（    ） A．8 B．10 C．11 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图（作已知线段的垂直平分线），利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长，熟知垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， 的周长， ， ， ， ， ． 故选：C． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，的平分线交于点D，分到以A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M和N，直线刚好经过点D，则的度数是 ．    【答案】/87度 【分析】本题考查了作图基本作图，角平分线的性质．先利用基本作图得到垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以，接着根据角平分线的定义得到，然后根据三角形内角和定理计算出的度数． 【详解】由作法得垂直平分， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线．在，所在的平面内求作直线l，使得，且l与间的距离恰好等于l与间的距离（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的作法、垂直平分线的作法等知识点，掌握垂直平分线的作法成为解题的关键． 利用尺规作图方法，过直线上任意一点作的垂线，再根据垂直平分线的作法即可作出直线l． 【详解】解：如图：即为所求． 【经典例题五 尺规作一个角等于已知角】 【例5】（23-24八年级上·四川成都·期中）如图，已知与上的点，点，小临同学现进行如下操作：①以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交第2步中所画的弧于点，连接．他得出结论的根据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．平行于同一条直线的两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定，熟练掌握基本作图，平行线的判定是解题的关键． 【详解】根据基本作图，得到， 故， 根据是内错角相等，两直线平行， 故选B． 1．（2024·广西南宁·三模）如图，用直尺和圆规作一个角，使得，则此作图的依据是（    ） A．ASA B．SAS C．SSS D．HL 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图-作相等角的依据，涉及三角形全等判定定理，由尺规作图-作相等角的过程可知，利用的是两个三角形全等的判定定理即可得到答案，熟记尺规作图-作相等角的操作步骤是解决问题的关键． 【详解】解：由尺规作图-作相等角可知， 在和中， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，已知，，以为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，过点作射线则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质、基本作图—作一个角等于已知角，由平行线的性质得出，由作法可得，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由作法可得：， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，已知线段a，b和，求作三角形，使其有一内角等于，且此角的对边等于a，另一边等于b．保留作图痕迹，不写作法． 【答案】图见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 先作一个角等于已知角，再截取，然后以B点为圆心，以a的长为半径作圆弧交的另一边于点C，D，连接，则或即为所求作的三角形． 【详解】解：（1）作， （2）在的一条边上截取， （3）以点B为圆心，以a的长为半径作圆弧交的另一边于点C，D， （4）连接，则或即为所求作的三角形，如图： 【经典例题六 尺规作角的和、差】 【例6】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列作图属于尺规作图的是（    ）． A．画线段 B．用量角器画出的平分线 C．用三角尺作过点A垂直于直线的直线 D．已知，用没有刻度的直尺和圆规作，使 【答案】D 【详解】解：根据尺规作图的定义：只能用没有刻度的直尺和圆规作图，不难判断，只有D 选项属于尺规作图． 故选D． 【点睛】点睛：掌握尺规作图的概念． 1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列作图属于尺规作图的是（    ） A．用量角器画出的平分线 B．已知，作，使． C．用刻度尺画线段 D．用三角板过点作的垂线 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图的定义，掌握尺规作图的定义是解题的关键．根据尺规作图的定义，逐项分析即可，尺规作图是指仅用没有刻度的直尺和圆规作图 【详解】解：A．用量角器画出的平分线借助了量角器，不符合题意 B.借助直尺和圆规作，使，符合题意； C.画线段，借助了带刻度的直尺或三角板，不符合题意； D．用三角尺过点P作的垂线，借助了三角尺的直角，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24八年级上·辽宁朝阳·期末）如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了作图-基本作图，熟练掌握基本作图的方法是解题的关键．由尺规作图的作法得到，代入数据即可得到答案． 【详解】解：由尺规作图可知，， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（2024八年级上·山西晋中·期中）如图，已知，求作：，使．（要求：在指定作图区域用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）    【答案】见解析 【分析】根据做一个角等于已知角的方法，再利用尺规作即可解答． 【详解】解：如图所示，       【点睛】本题考查了利用尺规作一个角等于已知角的方法以及利用尺规作角的和差，掌握尺规作图法是解题的关键． 【经典例题七 尺规作图——作三角形】 【例7】（23-24八年级上·江苏扬州·期末）为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）下列条件中，不一定能作出唯一的一个三角形的是（     ） A．已知两边的长和夹角的三角形 B．已知两个角及夹边的长的三角形 C．已知两边的长及其中一边的对角的三角形 D．已知直角边和斜边的直角三角形 【答案】C 【分析】三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容判断即可． 【详解】∵三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS， ∴A、根据SAS定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误； B、根据ASA定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误； C、根据已知两边及其中一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项正确； D、根据HL定理可知能作出唯一三角形，故本选项错误. 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． 2．（23-24八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，画出一个与全等的格点三角形(顶点都是小正方形的顶点的三角形称为格点三角形)，在图中共可以画出________个符合题意的三角形(不包括)?并画出其中4个． 【答案】23 【分析】△ABC的三边分别为，分别画出各全等图形即可得出答案． 【详解】 结合图形可得有23个符合题意的三角形． 故答案是：23． 【点睛】考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是仔细思考，按照规律查找． 3．（23-24八年级上·山东青岛·期末）已知：线段和 求作：，使得，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作三角形，熟练掌握作三角形的尺规作图是解题关键．先作，再作，然后作，最后连接即可得． 【详解】解：即为所求． 【经典例题八 作已知角的平分线】 【例8】（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点P；画射线，与相交于点D，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 1．（2024·河北沧州·模拟预测）观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（    ）    A． B． C．是的中点 D．点在点的北偏东方向上 【答案】C 【分析】本题考查了尺规作图中的作角的平分线，根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，，进而求得，即可得出结论，掌握角尺规作角平分线的方法是解题的关键． 【详解】解：根据尺规作图的画法可知：是的角平分线，，， 故、正确，不符合题意； 、无法证明是的中点， 故不正确，符合题意； 、由题意知， ∴， ∴点在点的北偏东方向上， 故正确，不符合题意． 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是利用尺规作角平分线的示意图，其作图依据为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．证明，则有，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图可知，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，点D在线段上，，， (1)求作的角平分线，并交于点F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； (2)在（1）的条件下试证明：．请将以下推导过程补充完整． 证明：∵，∴___①___； 在和中， ∴ ∴___③___    ∵平分，∴___④___． 在和中， ∴， ∴（___⑤___）． 【答案】(1)作图见详解 (2)①，②，③，④，⑤全等三角形对应边相等 【分析】本题主要考查尺规作角平分线，全等三角形的判定和性质的运用， （1）以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，即可求解； （2）根据题意证明，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， 平分， 在和中 ， （全等三角形对应边相等）． 故答案为：①，②，③，④，⑤全等三角形对应边相等． 【经典例题九 作已知线段的垂直平分线】 【例9】（2024·贵州贵阳·一模）已知一条线段AB外有一点C，利用尺规过点C作线段AB的垂线，以下作法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查基本作图，熟练掌握经过线段外一点作线段的垂线的作法是解题的关键． 根据基本作图，利用作图痕迹逐项判定即可． 【详解】解：A、由作图可知点D是线段，连接，不一定垂直，故此选项不符合题意； B、由作图可知：作的是，不一定垂直，故此选项不符合题意； C、由作图可知，，故此选项符合题意； D、由作图可知，是的平分线，不一定垂直，故此选项不符合题意； 故选：C． 1．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用． 【详解】A.由作法可知，以点A为圆心，为半径画弧，交于点D， ， 是等腰三角形，不符合题意； B.由作法可知，是线段是垂直平分线， 和不一定是等腰三角形，符合题意； C. 由作法可知，分别以点B、点A为圆心，大于为半径画弧，连接弧线，交于点D，交于点E， 是线段是垂直平分线， 是等腰三角形，不符合题意； D. 由作法知，是的角平分线， ， 是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，四边形是矩形，根据尺规作图痕迹，计算的大小为 ． 【答案】58 【分析】本题考查矩形的性质，尺规作角平分线，作垂线，利用矩形的性质，中垂线和角平分线和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由作图可知：，， ∴， ∴； 故答案为：58． 3．（24-25八年级上·广东东莞·期中）【问题背景】在古代文明中，古埃及人就已经运用了一些类似尺规作图的方法来进行土地测量和建筑设计．古巴比伦人也在一定程度上使用简单的工具进行几何图形的构建． 【实践与操作】已知：在中，， (1)请你用尺规作边上的高交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算：若，，；求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图，三角形面积的计算公式，熟练掌握过直线外一点作已知直线的垂线的画法和三角形面积公式计算是解题的关键； （1）以点C为圆心，适当长为半径画弧，交于两点M、N；2． 分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P（异于点C）连接CP并延长，交于点D，则即为边上的高． （2）利用三角形的面积可以用来计算，也可以用来计算，即可解答． 【详解】（1）解：如图所示： 即为边上的高， （2）在中， ，，， ， 【经典例题十 角平分线性质定理及证明】 【例10】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，的外角的平分线CE与内角的平分线BE交于点E，若，则的度数为（    ） A．65° B．60° C．55° D．50° 【答案】D 【分析】过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N，设∠ECD=x°，根据角平分线的性质定理，可得EF = EM，再由三角形外角的性质，可得∠BAC = 80°，从而得到∠CAF = 100°，再由Rt△EFA≌Rt△EMA，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作EF ⊥BA交BA延长线于点F，EM⊥AC于点M，EN⊥BC交BC延长线于点N， 设∠ECD=x°，∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE = ∠ECD = x°，EM = EN， ∵BE平分ABC， ∴ ∠ABE =∠EBC，EF = EN， ∴EF = EM， ∵∠BEC= 40°， ∴ ∠ABE =∠EBC =∠ECD–∠BEC=(x-40)°，∴ ∠BAC =∠ACD–∠ABC = 2x°- (x° - 40°) - (x° - 40°) = 80°，∴∠CAF = 100°， 在Rt△EFA和Rt△EMA中，∵EA=EA，EM = EF， ∴ Rt△EFA≌Rt△EMA (HL)， ∴∠FAE = ∠EAC = 50°． 故选：D 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 1．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，已知平分，平分，．下列结论正确的有（    ） ①；②；③；④若，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由三个已知条件可得AB∥CD，从而①正确；由①及平行线的性质则可推得②正确；由条件无法推出AC∥BD，可知③错误；由及平分，可得∠ACP=∠E，得AC∥BD，从而由平行线的性质易得，即④正确． 【详解】∵平分，平分 ∴∠ACD=2∠ACP=2∠2，∠CAB=2∠1=2∠CAP ∵     ∴∠ACD+∠CAB=2(∠1+∠2)=2×90゜=180゜ ∴ 故①正确 ∵ ∴∠ABE=∠CDB ∵∠CDB+∠CDF=180゜ ∴ 故②正确 由已知条件无法推出AC∥BD 故③错误 ∵，∠ACD=2∠ACP=2∠2 ∴∠ACP=∠E ∴AC∥BD ∴∠CAP=∠F ∵∠CAB=2∠1=2∠CAP ∴ 故④正确 故正确的序号为①②④ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握这些知识是关键． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点，是内角与外角的三等分线的交点，则 ．    【答案】． 【分析】过点作于点，于点，，根据角平分线的性质可得，，再由内角和即可求解． 【详解】如图，过点作于点，于点，，交的延长线于点，    ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴是的平分线， 又∵，， ∴ ，同理可得， ∴ ， 又∵，， ∴是的平分线， ∵，， ∴， ∵点，是内角与外角的三等分线的交点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的的性质定理和判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形外角的性质． 3．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，四边形是某校的一块试验田，是三条小路（宽度忽略不计），已知，点E，F分别在上，某数学兴趣小组在实践活动测量中发现，，正准备继续测量与的长度来判断与是否相等时，小亮却说：不用测量了，．小亮的说法是否正确？请说明理由．    【答案】小亮的说法正确．理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线性质定理等知识，先证明，得到是的平分线.再利用角平分线的性质即可得到． 【详解】解：小亮的说法正确. 理由：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴是的平分线. ∵， ∴，， ∴. 【经典例题十一 平分线的性质定理】 【例11】（24-25八年级上·上海·期中）如图，是的平分线，点、分别在、上，点为直线上的一个动点，如果，的面积为9，那么线段的长不可能是（   ）    A．2 B．3 C．4 D．5.5 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与三角形的面积计算公式．作出辅助线是正确解答本题的关键． 根据三角形的面积得出的长，进而利用角平分线的性质解答即可． 【详解】解：过点D作于E，于F，    ∵，的面积为9， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴线段的长不可能是2， 故选：A． 1．（24-25八年级上·山东临沂·期中）如图，的平分线与的垂直平分线相交于点，，，垂足分别为E、F，，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】此题考查线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质．解题关键在于注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，证明，由全等三角形的性质得，证明，得出即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵垂直平分， ∴， 在和中， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴． 故选D． 2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）如图，在的边上取点．连接平分，平分，若，的面积是，的面积是5，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，三角形面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．连接，过点作，，，由角平分线的性质定理，得出，再结合三角形面积公式，求出，再根据四边形的面积，即可求出的值． 【详解】解：如图，连接，过点作，，， 平分，平分， ，， ， 的面积是， ， ， ， 的面积是，的面积是5， 四边形的面积， 又四边形的面积， ， ， 故答案为： 3．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，点E是的平分线上一点，的两边分别与的两边交于点M，N，且，于点C，若和的面积分别为50和30．请求出的面积． 【答案】10 【分析】本题主要考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点E作于点D，证明，利用证明，进而解决问题． 【详解】解：过点E作于点D， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中 ， ， ∴， 在和， ， ， ∴， 设， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ 【经典例题十二 角平分线的判定定理】 【例12】（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，，的角平分线，交于点，延长，过作于，于，则下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理和逆定理，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． ①作于，于，于．由角平分线的性质得出，，得出，即可得出①正确； ②假设，则，由已知条件可知：，已知条件中并不能推出，所以②不一定成立； ③由角平分线和三角形的外角性质得出，，得出，③正确； ④由全等三角形的性质得出，，即可得出④正确；即可得出答案． 【详解】解：①作于， 平分，平分，，， ，， ， 点在的角平分线上，故①正确； ②假设，则， 由已知条件可知：， ∴， 题干中并没有这个条件，所以②不一定成立； ③平分，平分， ，， ∴， ，③正确； ④在和中， ， ∴， ， 同理：， ， ，④正确； 故选C． 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，，，，交于点H，连．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，角分线的判定定理和邻补角的定义，设与相交于点，过点作于点M，于点M，根据题意得，可利用证明，有，结合三角形得内角和定理得，进一步利用证明，有，即可判定平分，结合邻补角的定义即可． 【详解】解：设与相交于点，过点作于点M，于点M，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， 则 ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴平分， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期中）如图，已知在和中，，，，，交于点，连接下列结论：；；平分；其中正确的是 填序号． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定是解题的关键． 证明，则，，可判断①的正误；由，可得，即，可判断②的正误；如图，作于，于，则，由，，可得是的平分线，，可判断④的正误；由，可得不平分，可判断③的正误． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，，①正确，故符合要求； ∵， ∴，即，②正确，故符合要求； 如图，作于，于， ∵， ∴， ∵，， ∴是的平分线，，④正确，故符合要求； ∵， ∴不平分，③错误，故不符合要求； 故答案为：①②④． 3．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，三角形的面积是16，求的长度． 【答案】(1) (2)见详解 (3)2 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）根据垂直得到，利用三角形外角的性质得到，再根据，即可求出的度数； （2）过点作，根据角平分线的性质得到，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据（2）中结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， 即． （2）证明：过点作交于点交于点， ， ， 由（1）可知，， ， 平分， ， ， 平分， ， ， 平分． （3）解：， ， ， ， ， ， ． 【经典例题十三 角平分线性质的实际应用】 【例13】（23-24八年级上·广西贵港·期末）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 1．（23-24八年级上·江西景德镇·期中）如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（    ）处． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由三角形内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，可得三角形内角平分线的交点满足条件；然后利用角平分线的性质，可证得三角形两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，这样的点有3个，进而可得可供选择的地址共有4个． 【详解】解：∵ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等， ∴ABC内角平分线的交点满足条件； 如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点， 过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC， ∴PE＝PF，PF＝PD， ∴PE＝PF＝PD， ∴点P到ABC的三边的距离相等， ∴ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个； 综上，到三条公路的距离相等的点共有4个， ∴可供选择的地址有4处． 故选：D． 【点睛】此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握角平分线上的点到角两边的距离相等定理的应用，注意数形结合思想的应用，小心不要漏解． 2．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，平分，平分，若，则 ．    【答案】 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后证明，根据全等三角形的面积相等可得，同理可得：，设，，表示出，然后求解即可． 【详解】如图，过点作于，      ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理：， 设，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 1．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图．由作图可知，，根据证明三角形全等即可解决问题， 【详解】解：由作图可知，， ， ， 故选：D． 2．（24-25八年级上·辽宁营口·期中）在如图的几个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由作图可知，第一个图中，是的平分线；第二个图中，证明，则，，证明，则，证明，则，可知是的平分线；第三个图中，是中边上的中线；第四个图中，垂直平分，是等腰三角形，可知是的平分线． 【详解】解：由作图可知，第一个图中，是的平分线，故符合要求； 第二个图中，∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线，故符合要求； 第三个图中，是中边上的中线，故不符合要求； 第四个图中，垂直平分， 又∵， ∴是等腰三角形， ∴是的平分线，故符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了作角平分线，作垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作角平分线，作垂线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（24-25八年级上·天津河西·期中）如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直平分线和角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是读懂图象信息，熟练掌握线段垂直平分线和角平分线的作法． 由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质求得，结合三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义即可求出答案． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·湖南株洲·开学考试）如图 ，中 ， ，以点为圆心 ，适当长为半径画弧 ，交于点，交于点，再分别以点为圆心 ，大于的长为半径画弧 ，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线与相交于点，则的大小为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，掌握基本作图—角平分线，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质等知识点是解答本题的关键． 由直角三角形两锐角互余可求出，由作图可得，由三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：，， ， 由作图知，平分， ， 又， ， 故选：B． 5．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由角平分线的定义和三角形内角和定理可求解和的关系，进而判定①；根据得，根据角平分线和三角形内角和定理得，在上取一点H，使，利用SAS证明可得，利用ASA可证明得，进而可判定②；作于H，于M，根据题意得，根据，利用三角形面积即可判段③，即可得． 【详解】解：∵和的平分线，相交于点O， ∴，， ∴ ， 故①正确； ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 如图所示，作于H，于M， ∵和的平分线相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴ ， 故③正确； 综上，①②③正确，正确的个数是3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，添加辅助线． 6．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，点C在的边上，用直尺和圆规作，这个尺规作图的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，根据判定三角形全等即可． 【详解】解：连接． 由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；②分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧在内部交于点；③作射线交于点；④过点作，交于点，交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查角平分线的作法，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理． 根据题意可得平分，再根据，证明，得到，再根据，结合三角形内角和定理得到，进而得到，再利用三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：根据题意可得平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2024·吉林松原·三模）如图，已知线段，分别以点为圆心，长为半径作圆弧，两弧相交于点、，连接，交线段于点，以点为圆心，长为半径作圆弧，交线段于点，连接、，则 度． 【答案】15 【分析】本题考查了作图—基本作图、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，由题意得出是等边三角形，为等腰直角三角形，从而得出，，最后再由计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接． 由作图可知，垂直平分线段，， ∴是等边三角形，为等腰直角三角形， ∴，， ∴． 故答案为：15． 9．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，面积是20，的垂直平分线分别交边于点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质，连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点是边的中点，， ，， ∵的面积是20， ， 解得， 是线段的垂直平分线， ， ， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：12． 10．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）如图， ，以 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 ， 于点 ， ，画射线 ，以点 为圆心， 为半径画弧交 于点 ，以点 为圆心， 长为半径画弧，交上一步所画弧于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，再以点 为圆心， 长为半径画弧，交弧 于点 ，画射线 ，反向延长 ，得到射线 ，画出 的平分线 ，则   ．（用含 的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了尺规基本作图-作角等于已知角、作角的平分线，与角平分线相关的角的运算，关键是掌握利用角平分线的定义和角的和差的计算． 根据题意可知，推出，根据角平分线的性质，即可得到． 【详解】解：由作法可得，， ， 为的角平分线， ， 故答案为：． 11．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，已知及点C、D，求作一点P，使，并且使点P到的距离相等．（尺规作图） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作的垂直平分线和的平分线，它们的交点即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 12．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，点是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图：作的平分线，交于点．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的作法及全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）结合角平分线的定义可得，然后证明即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； ； （2）证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 13．（2024八年级上·广西·专题练习）作角：已知： 求作：，使． 作法： 1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 2、画一条射线，以点为圆心，（______）长为半径画弧，交于点； 3、以点（______）为圆心，（______）长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点； 4、过点画射线，则． 这样作出的和就是相等的．依据是（______）． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定，先补全作法，再根据“”证明即可 【详解】1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 2、画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 3、以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点； 4、过点画射线，则． 这样作出的和就是相等的．理由如下： 连接， 由作法可知，，，， ∴， ∴ 故答案为：；；； 14．（24-25八年级上·山东济宁·期中）（1）如图，是等腰三角形底边的中线，，，求的度数和的长度； （2）如图，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M、N分别是位于公路两侧的村庄，当汽车行驶到哪个位置时，与村庄M、N的距离相等？（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、尺规作图—作垂线，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，，再由计算即可得解； （2）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，则点即为所求． 【详解】解：（1）是等腰三角形，是边上的中点， ，， ． （2）如图，连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，则点即为所求． 15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）【观察发现】折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以由作一对对应点连线段的垂直平分线得到，如图1，在中，，①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于两点，作直线，交于点，交于点；③连接． 【操作体验】（1）根据“观察发现”中的步骤，用尺规作图； 【推理论证】（2）在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动．如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与BC边交于点，连．小亮根据上面步骤得出，请你补全括号里的证明依据； 证明： （           依据1                  ） （             依据2                 ） 【拓展探究】（3）对称的性质在日常生活中也有重要的应用．如图3，某地有两个村庄和两条相交叉的公路OA，OB，现计划修建一个物资仓库（在内），希望仓库到两个村庄的距离相等，到两条公路的距离也相等，请你用尺规作图的方法确定该仓库P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）见解析；（2）垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换；（3）见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的作法，性质，角平分线的作法，熟知相关性质是解题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出结果即可； （3）作的垂直平分线和的平分线交于点，即可解答． 【详解】（1）解：如图，所示即为所求， ； （2）证明： （垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） （等量代换）， 故答案为：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换； （3）解：如图所示，即为所求， 学科网（北京）股份有限公司 $$