专题06 等腰三角形的性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （华东师大版）

专题06 等腰三角形的性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 等边对等角 题型二 根据等边对等角证明 题型三 三线合一 题型四 根据三线合一证明 题型五 等腰三角形的定义 题型六 格点图中画等腰三角形 题型七 找出图中的等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明等腰三角形 题型九 根据等角对等边证明边相等 题型十 根据等角对等边求边长 题型十一 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型十二 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型十三 等腰三角形的性质与判定 题型十四 三角形边角的不等关系 题型十五 等边三角形的性质 题型十六 等边三角形的判定 题型十七 等边三角形的判定和性质综合 知识点一：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点二：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 知识点三：等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 等边对等角】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，＝＝，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，在中，，平分交于点D，交的延长线于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，中，点D在上，且，则 度． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图所示，在中，平分，点D为上的一点，连接，且． (1)证明：． (2)若，且，求的度数． 【经典例题二 等腰三角形的定义】 【例2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，D，E，F分别在上，且，．若，，则AC的长度为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 1．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，若，，则图中全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，平分为边上的高，且．求证：． 【经典例题三 根据等边对等角证明】 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 2．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，是的高，是的中线，是的角平分线，若，则的度数为 ． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，于D，，点H是边的中点，连接，交于点G，连接． (1)求证：； (2)求证： ． 【经典例题四 三线合一】 【例4】（23-24八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的有（    ）    A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形中，，点在边上，，，，则的面积 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图1，在中，，是高，于点，于点，求证：． （2）如图2，在中，，，和分别平分和，求证：．    【经典例题五 根据三线合一证明】 【例5】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（   ）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 2．（24-25八年级上·江西南昌·期中）中，，，将折叠，使得点B与点A重合．折痕D分别交、于点D、P， 当是等腰三角形时，的度数为 ． 3．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 【经典例题六 格点图中画等腰三角形】 【例6】（2012·湖北武汉·中考模拟）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 1．（2024·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．所画图形的顶点均在格点上．不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中画一个等腰三角形，使其面积为2； (2)在图②中画一个四边形，使其是轴对称图形且面积为3． 【经典例题七 找出图中的等腰三角形】 【例7】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 1．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）已知：如图，下列三角形中，，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（23-24八年级上·北京大兴·期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有 个.    3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【经典例题八 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例8】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，，图中共有多少对全等三角形（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 1．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 3．（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 【经典例题九 根据等角对等边证明边相等】 【例9】 （23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，、的平分线相交于F，过F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的有（    ） ①，都是等腰三角形：②：③：④．            A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，、的平分线相交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．则的周长为 ． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，． (1)如图1，与，之间的关系为 　　． (2)如图2，在中，的平分线与的平分线交于点，过点作交于点，交于点．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出与，之间的正确关系，并说明理由． 【经典例题十 根据等角对等边求边长】 【例10】（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，中，，的平分线交于点，过点作交、于、，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在，，且，则 ． 3．（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图，点，，，四点共线，且，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【经典例题十一 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例11】（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·河南新乡·课后练习）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    3．（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒 速度沿折线运动（回到点即停止）．设运动时间为秒．    （1）如图1，若点恰好在的角平分线上，求的值． （2）当为何值时，？ （3）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 【经典例题十二 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【例12】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ． （2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于. （1）当时，= ，= ；点从向运动时，逐渐 （填“增大”或“减小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数.若不可以，请说明理由. 【经典例题十三 等腰三角形的性质与判定】 【例13】（24-25八年级上·湖南长沙·课后作业）如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，，求证：与是友谊三角形． 【经典例题十四 三角形边角的不等关系】 【例14】（23-24八年级上·重庆开州·期末）已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 1．（23-24八年级上·湖南益阳·课后作业）等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（　　） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【经典例题十五 等边三角形的性质】 【例15】（23-24八年级上·河南郑州·单元测试）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·河南驻马店·单元测试）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【经典例题十六 等边三角形的判定】 【例16】（23-24八年级上·湖南长沙·课后作业）已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·单元测试）有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．（23-24八年级上·湖南常德·单元测试）在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法： ①当时，一定为等边三角形； ②当时，一定为等边三角形； ③当是等腰三角形时，一定为等边三角形； ④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形． 其中正确的说法是 ．（填序号） 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【经典例题十七 等边三角形的判定和性质综合】 【例17】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 3．（2024八年级上·湖南永州·课后练习）如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（  ） A． B． C． D． 2．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，点在上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求的点了，则的值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点的二分割线，则的度数是（　　） A．或 B．或 C．或或 D．或或 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知等腰的一个外角为，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为 ． 8．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，是的中线，在上取一点F，连接并延长交于点E，使．若，，则的长为 ． 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为 ． 10．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在菱形中，，，点是边的中点，绕点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长为 ． 11．（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 12．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，，点D在边上，，和相交于点O． (1)试说明的理由； (2)若，过点E作，垂足为F，试判断和的数量关系，并说明理由． 13．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知线段直线于点，点在直线上，分别以，为边作等边和等边，直线交直线于点． (1)当点在线段上时，如图1，证明： ①； ②； (2)当点在线段延长线上时，如图2，请写出线段之间的关系，并说明理由． 14．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，ΔABC是等边三角形，点D是直线上的点，点E是直线上的点，且． (1)如图1，当点D在线段上（不与点A，C重合）时，求证：； (2)当点D在线段或线段延长线上时，与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并在图2和图3中选择一种情况给予证明． 15．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． (1)当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点Q以的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 等腰三角形的性质重难点题型专训（17大题型+15道拓展培优） 题型一 等边对等角 题型二 根据等边对等角证明 题型三 三线合一 题型四 根据三线合一证明 题型五 等腰三角形的定义 题型六 格点图中画等腰三角形 题型七 找出图中的等腰三角形 题型八 根据等角对等边证明等腰三角形 题型九 根据等角对等边证明边相等 题型十 根据等角对等边求边长 题型十一 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 题型十二 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型十三 等腰三角形的性质与判定 题型十四 三角形边角的不等关系 题型十五 等边三角形的性质 题型十六 等边三角形的判定 题型十七 等边三角形的判定和性质综合 知识点一：等腰三角形的性质 1、等腰三角形 （1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 （2）性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD （3）等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 知识点二：等腰三角形的判定 等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 总结： 知识点三：等边三角形的性质与判定 等边三角形 （1） 定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2） 性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3） 判定： ①三条边都相等的三角形是做等边三角形 ②三个角都相等的三角形是等边三角形 ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4） 推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 总结： 图形 等腰三角形 等边三角形 性  质 两条边都相等 三条边都相等 两个角都相等 三个角都相等，且都是60º 底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合   每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合 对称轴（1条） 对称轴（3条） 1 等腰三角形和等边三角形对比 ② 等腰三角形和等边三角形的判定 图形 等腰三角形 等边三角形 判定 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形的判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 注：本讲义部分题型可用勾股定理答题；a²+b²=c² 【经典例题一 等边对等角】 【例1】（24-25八年级上·浙江温州·期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，＝＝，点、可在槽中滑动，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，可得，根据题意得，求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又 ∴ ∴，解得，, ∴， 故选：D． 1．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，在中，，平分交于点D，交的延长线于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键． 根据平行线的性质得，再根据角平分线的定义得，然后再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，中，点D在上，且，则 度． 【答案】15 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．找着角之间的关系式正确解答本题的关键． 在等腰三角形中，，将上式代入中，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图所示，在中，平分，点D为上的一点，连接，且． (1)证明：． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，等边三角形的判定和性质． （1）利用角平分线的定义结合等边对等角求得，再利用平行线的判定定理即可证明； （2）证明为等边三角形，即可求解的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【经典例题二 等腰三角形的定义】 【例2】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，中，，，D，E，F分别在上，且，．若，，则AC的长度为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，过点F作，证明，得到，再证明是等腰直角三角形，得到，由此求出AC的长度． 【详解】解：过点F作， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：C． 1．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）如图，若，，则图中全等三角形共有（   ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先依据等边对等角的性质得到，然后再结合全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：连接BC， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中，， ∴， ∴， ∵在和中，， ∴， ∵在和中，， ∴． 故选C． 2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，为等腰直角三角形，，点在延长线上，连接，以为边作等腰直角，连接交于点，则 ． 【答案】 【分析】过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G，证明，得到，进而证明，得到，再证明，得到，进而推出，即点F是中点，即，由，得到，从而得出，即点A是中点，推出，即可求出． 【详解】解：过点E作的垂线，交延长线于点H，过点C作交于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即点F是中点，即， ，， ， ，即点A是中点， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形全等的综合问题，等腰三角形的性质，平行线性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，平分为边上的高，且．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 根据为边上的高，且，可得到，根据平分，得出，而，可得，即可得到，即可证明． 【详解】证明：∵为边上的高，且， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题三 根据等边对等角证明】 【例3】（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，为边上的中线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 1．（2024·贵州毕节·模拟预测）如图，的面积为16，且，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点，，作直线．已知为的中点，为直线上任意一点，则的长度的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，连接，由三线合一定理得到，再由三角形面积计算公式得到，由作图方法可知，垂直平分，则，故当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，，为的中点， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∵， ∴； 由作图方法可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴当A、D、M三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴的最小值为8， 故选：C． 2．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，是的高，是的中线，是的角平分线，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，等边对等角，三角形内角和定理，根据三角形的高的概念得到，根据三线合一定理和等边对等角得到，，再根据角平分线的定义得到，据此根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：是的高， ， ，是的中线， ，， 是的角平分线， ， 则， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，，平分，于D，，点H是边的中点，连接，交于点G，连接． (1)求证：； (2)求证： ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，再证，然后利用证明即可； （2）由等腰三角形的性质得，得，再由全等三角形的性质得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明∵，平分， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 【经典例题四 三线合一】 【例4】（23-24八年级上·辽宁阜新·阶段练习）如图，在中，，D是的中点，E是边上一点，且，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了等腰三角形的三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和定理，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，根据三角形内角和得到，再根据等边对等角及三角形内角和得到，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D 1．（23-24八年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，，为边上的高，平分，点F在上连接并延长交于点G，若，，有下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的有（    ）    A．1个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，平行线的判定和性质．过点A作于点N，证明，得出，说明，判断③正确；根据，得出，证明，判断①正确；证明，得出，判断④正确；证明，根据，得出，判断②正确． 【详解】解：过点A作于点N，如图所示：    ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵在和中 ， ∴， ∴，故④正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，故②正确； 综上分析可知，正确的有4个，故B正确． 故选：B． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形中，，点在边上，，，，则的面积 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积．过点作于，过点作于点，由等腰三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出，根据三角形的面积公式可得出答案． 【详解】解：过点作于，过点作于点， ，， ， ， ， 又， ， 又，， ， ， ． 故答案为：5． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）（1）如图1，在中，，是高，于点，于点，求证：． （2）如图2，在中，，，和分别平分和，求证：．    【答案】（1）证明见见解；（2）证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键． （1）根据等腰三角形三线合一的性质，得到，进而证明，即可得到结论； （2）根据等腰三角形的性质，得到，，再结合角平分线的定义，得到，证明，即可得到结论； 【详解】（1）证明：，是高， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：，， ，， 和分别平分和， ，， ， 在和中， ， ， ． 【经典例题五 根据三线合一证明】 【例5】（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图， 在中，． 若某个三角形与能拼成一个等腰三角形 （无重叠），则拼成的等腰三角形有（      ） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 分以为腰，为腰两种情况求解即可． 【详解】解：分以为腰，为腰两种情况；如图， ∴拼成的等腰三角形有5种， 故选：B． 1．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（   ）处截断． A．①或② B．①或③ C．②或③ D．③或④ 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江西南昌·期中）中，，，将折叠，使得点B与点A重合．折痕D分别交、于点D、P， 当是等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是注意分类讨论．分，，三类讨论结合折叠的性质及三角形内角和定理即可得到答案； 【详解】解：①当时， ∵， ∴， ∴， ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； ②当时 ∵， ∴， ∴， ∴ ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； ③当时 ∵， ∴ ∴ ∵将折叠，使得点B与点A重合， ∴， 此时，符合题意； 综上所述答案为：或或； 3．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质及旋转的性质． （1）作中线，证明，可得结论； （2）证明点B，，共线，结合，即可得到结论； （3）绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到，证明是直角三角形，利用即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作中线， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， ， 点B，，共线， 又∵， 是等腰三角形； （3）解：如图，把绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到， 由旋转得，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ． 【经典例题六 格点图中画等腰三角形】 【例6】（2012·湖北武汉·中考模拟）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查的是网格等腰三角形的特点，分以为腰，以为底边两种情况确定C即可；清晰的分类讨论是解本题的关键． 【详解】解：如图，点C的个数有8个， 故选：C． 1．（2024·山东青岛·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，若为轴上一点，且使得为等腰三角形，则满足条件的点有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与x轴交点即为所求点M，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图， 满足条件的点M的个数为2． 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 2．（23-24八年级上·河南新乡·期中）如图，在正方形网格中，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查根据线段构造等腰三角形，可分别以①为底，②为腰，A为顶角顶点，③为腰，B为顶角顶点，这三种情况构造等腰三角形，即可找出点C． 【详解】解：①以为底，作的垂直平分线，可找出格点C一个，如图所示： ②为腰，以A为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： ③为腰，以B为圆心，为半径画弧，可找出格点C一个，如图所示： 综上所述，点C的个数有3个， 故答案为：3． 3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）图①、图②均是的正方形网格．每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．所画图形的顶点均在格点上．不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中画一个等腰三角形，使其面积为2； (2)在图②中画一个四边形，使其是轴对称图形且面积为3． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据等腰三角形的定义作出图形即可； （2）根据轴对称图形的定义作图即可． 【详解】（1）解：如图， ， ， ， 即为所求； （2）如图，， 四边形即为所求． 【经典例题七 找出图中的等腰三角形】 【例7】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）如图，中，，，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可． 【详解】解：如图所示： 以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合． 因此出现等腰三角形的点P的位置有4个． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法． 1．（23-24八年级上·辽宁抚顺·期末）已知：如图，下列三角形中，，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】顶角为：36°，90°，108°的等腰三角形都可以用一条直线把等腰三角形分割成两个小的等腰三角形，再用一条直线分其中一个等腰三角形变成两个更小的等腰三角形． 【详解】由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”， ①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°，72°，能； ②不能； ③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能； ④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能． 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；在等腰三角形中，从一个顶点向对边引一条线段，分原三角形为两个新的等腰三角形，必须存在新出现的一个小等腰三角形与原等腰三角形相似才有可能． 2．（23-24八年级上·北京大兴·期末）如图，长方形ABCD中，AB=6,BC=2,直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与AD,BC交于点E,F,若直线l上的动点P,使得△PAB和△PBC均为等腰三角形.则动点P的个数有 个.    【答案】5 【分析】利用分类讨论的思想，此题共可找到5个符合条件的点：一是作AB或DC的垂直平分线交l于P；二是在长方形内部，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B，同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC；三是如图，如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D，同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC． 【详解】分三种情况讨论： ①如图，作AB或DC的垂直平分线交l于P，    ②如图，在l上作点P1，使P1C=DC，AB=P1B， 同理，在l上作点P2，使P2A=AB，P2D=DC，    ③如图，在长方形外l上作点P3，使AB=AP3，DC=P3D， 同理，在长方形外l上作点P4，使BP4=AB，CP4=DC，    故答案为：5． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解题中利用等腰三角形的判定来解决特殊的实际问题，其关键是根据题意，结合图形，再利用数学知识来求解． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图1，已知等边中，D、E分别是上的点，连接． (1)若，求证：是等边三角形； (2)如图2，若D、E分别为中点，连接，与相交于点F，请直接写出图中所有等腰三角形．（与除外） 【答案】(1)见解析 (2)为等腰三角形 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定是解题的关键． （1）由是等边三角形，可得，由，可得，即，进而结论得证； （2）由等边，可得，，由D、E分别为中点，可得，，，，则，是等边三角形，，，可得，是等腰三角形；，则，，，；进而可得，是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵等边， ∴，， ∵D、E分别为中点， ∴，，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，是等腰三角形；， ∴，， ∴，； ∴，是等腰三角形； 综上所述，是等腰三角形． 【经典例题八 根据等角对等边证明等腰三角形】 【例8】（24-25八年级上·辽宁抚顺·期中）如图，，，图中共有多少对全等三角形（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等角对等边，由等角对等边得出，利用即可证明，从而得出，再利用即可证明，从而得解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； 综上所述，图中共有对全等三角形， 故选：B． 1．（23-24八年级上·河北廊坊·期末）求证：若三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，则这个三角形是等腰三角形已知：如图，是的外角，，．求证． 以下是排乱的证明过程： ①又∵，②∴，③∵④∴，，⑤∴．证明步骤正确的顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及外角的性质等知识；先由平行线的性质得，等量代换得到，然后由等角对等边即可得出结论． 【详解】解：∵③， ∴④， ∵①， ∴②， ∴⑤， 故证明步骤正确的顺序是， 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图，已知，平分，点E为中点，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等角对等边，延长交于点F，证明可得，然后根据平行线的性质和等角对等边得到． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵点E为中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：4． 3．（24-25八年级上·甘肃平凉·期中）如图，，，求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，先证明，得到，即得，据此即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∴是等腰三角形． 【经典例题九 根据等角对等边证明边相等】 【例9】 （23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，、的平分线相交于F，过F作，交于D，交于E，那么下列结论正确的有（    ） ①，都是等腰三角形：②：③：④．            A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质，借助于等量代换可求出，则是等腰三角形，同理可得，是等腰三角形，①正确；根据，，根据线段的和差以及等量代换可得，，即②正确，③错误；由于和不一定相等，则可得和不一定相等，④错误． 【详解】解：①∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， 同理可得， ∴，都是等腰三角形，①正确； ②∵，，， ∴，②正确； ③∵， ∴，③错误； ④∵和不一定相等， ∴和不一定相等，④错误； 综上，结论正确的有2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定、平行线的性质、角平分线定义等知识；灵活运用平行线的性质、角平分线定义求出、是解题的关键． 1．（2024·安徽合肥·一模）如图，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定即可得选项A正确；先根据三角形的外角性质可得，再根据平行线的性质即可得选项B正确；根据邻补角的定义求出，由此即可得选项C错误；根据等腰三角形的判定即可得选项D正确． 【详解】解：， ，则选项A正确； ，， ， ，则选项B正确； ， ， ， ，则选项C错误； ， ，则选项D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 2．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，、的平分线相交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．则的周长为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和新性质，平行线的性质等知识，由在中，、的平分线相交于点O，过点O作，易证得与是等腰三角形，继而可得的周长等于． 【详解】解：∵在中，、的平分线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴的周长是：． 故答案为：18． 3．（2024八年级上·全国·专题练习）在中，，的平分线交于点，过点作交，于点，． (1)如图1，与，之间的关系为 　　． (2)如图2，在中，的平分线与的平分线交于点，过点作交于点，交于点．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出与，之间的正确关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)不成立，与，之间的正确关系是，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后根据等量代换以及线段的和差关系，即可解答； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，然后根据等量代换以及线段的和差关系，即可解答． 【详解】（1）解：（1）， 理由：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论不成立，与，之间的正确关系是， 理由：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 【经典例题十 根据等角对等边求边长】 【例10】（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，中，，的平分线交于点，过点作交、于、，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角平分线和平行，可判定△BEO和△CFO为等腰三角形，通过线段和差即可求出CF． 【详解】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠EBO=∠CBO， ∵， ∴∠EOB=A∠CBO, ∴∠EBO=∠EOB， ∴BE=EO， 同理，CF=FO， ，， ∴CF=8-3=5， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和平行线、角平分线的性质，解题关键是联系已知条件，发现线段相等关系． 1．（23-24八年级上·山东威海·期末）如图，△ABC的内角∠ABC及外角∠ACG的平分线交于点D，且过点D．若BE=9，CF=5，则EF=（　　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质和平行线的性质，可得∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，然后即可得到ED和DF的值，然后根据线段的和差即可求得EF的值. 【详解】解：∵△ABC的内角∠ABC， ∴∠EBD=∠DBC ∵EFBC， ∴∠EDB=∠DBC， ∴∠EBD=∠EDB， ∴DE=BE=9 同理：DF=CF=5， ∴EF=DE-DF=9-5=4. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，明确题意、掌握数形结合的思想是解答本题的关键. 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）在，，且，则 ． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题关键．根据等角对等边即可得． 【详解】解：∵在，，且， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图，点，，，四点共线，且，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据AC=BD可得AD=BC，然后利用已知条件根据ASA即可证明全等； （2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF，再结合等角对等边可得，最后利用线段的和差即可求得EG的长度． 【详解】解：（1）证明：∵AC=BD， ∴AC+CD=BD+CD， ∴AD=BC， 在△ADE和△BCF中， ∴△ADE≌△BCF（ASA）； （2）∵△ADE≌△BCF， ∴∠ADE=∠BCF， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键． 【经典例题十一 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 【例11】（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图．在中，，．点P为直线上一动点，若点P与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点P的位置有（　　） A．4个 B．6个 C．8个 D．9个 【答案】C 【分析】利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数． 【详解】解：如图： 在中，，， ， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有8个． 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定． 1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，直线相交于点，，点在直线上，直线上存在点，使以点为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】分别以点为顶点的等腰三角形有种情况，分别为，，，从这三方面考虑点的位置即可； 【详解】解：当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线在点两侧各有一个交点，此时点有个； 当时； 以点为圆心，的长为半径作圆，与直线有一个交点，此时点有个； 当时； 作的垂直平分线，与直线有一个交点，此时点有个； ∴满足条件的点总共有个； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点是解题的关键． 2．（23-24八年级上·河南新乡·课后练习）如图，中，动点D在直线上，当为等腰三角形， ．    【答案】或或或 【分析】画出图形，分四种情况分别求解． 【详解】解：若， 则；    若， 则， ∴；    若，且三角形是锐角三角形， 则；    若，且三角形是钝角三角形， 则．    综上：的度数为或或或， 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，外角的性质，解题的关键是找齐所有情况，分类讨论． 3．（23-24八年级上·重庆开州·期末）如图，中，，，，若点从点出发，以每秒 速度沿折线运动（回到点即停止）．设运动时间为秒．    （1）如图1，若点恰好在的角平分线上，求的值． （2）当为何值时，？ （3）在运动过程中，当为何值时，为等腰三角形？（直接写出答案） 【答案】（1）秒． （2）秒或秒． （3）秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）过点作，从而可得在≌，在中再根据勾股定理即可求出答案． （2）分别讨论P在AB，BC，AC三种情况，明显是BC边上不可能，只要讨论AB，AC两种情况即可． （3）讨论P在AB边上时每一条边都可能是底的情况，讨论P在AC边上时每一条边都可能是底的情况，解出即可． 【详解】（1）如图所示，过点作于点，    在的角平分线上，，， ， 在和中 ， ， ， 又，，， 在中，由勾股定理得： ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得：， ， 秒． （2）①当点在上时， ， ， 秒， ②当点在上时，如图所示，    过点作于点， ， 代入可得：， 在中，由勾股定理得： ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ， 解得： ， ， 秒， 综上，当的值为秒或秒时，． （3）①当时， ，则， 秒， ②当时，过作，如图所示，    ，， 为的中线， 又， ， 为的中位线， 为的中点， ， ， 秒， ③当，点在上时， ， 秒， 点在上时，如图所示，过作于，    由（2）可得：，， ，， 为的中线， 点是的中点， ，则， 秒． 综上，当的值为秒或秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形，勾股定理等知识点，孰练记住它们的性质和会分类讨论思想是解决问题的关键. 【经典例题十二 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点】 【例12】（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 1．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【详解】解：作图如下 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力． 2．（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）（1）ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，ABC的面积20，AB=6，AC=8，OD=2，则BC的长是 ． （2）如图，直角坐标系中，点，点在轴上，且是等腰三角形，则满足条件的点共 个． 【答案】 6 4 【分析】（1）根据题意过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，利用角平分线的性质可知OE=OF=OD=2，利用三角形的面积公式进行计算即可； （2）根据题意分AB=AP，BP=AB，AP=BP三种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO， ∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC， ∴OE=OF=OD=2， ∵S△ABC=S△ABO+S△BOC+S△AOC =AB•OE+AC•OF+BC•OD =×6×2+×8×2+×BC×2 ∵△ABC的面积20， ∴×6×2+×8×2+×BC×2=20， 解得：BC=6. 故答案为：6； （2）如图，点A（-2，2）、B（0，1）， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（-1，0），P2（-3，0），此时（AP=AB）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（-2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP=AB）； ③AB的垂直平分线交x轴于一点P4（PA=PB），此时（AP=BP）； 设此时P4（x，0）， 则（x+2）2+4=x2+1， 解得：x=- ， ∴P4（- ，0）． ∴符合条件的点有4个． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线，利用角平分线的性质是解答此题的关键．注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 3．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，，，点在线段上运动（不与、重合），连接，作，交线段于. （1）当时，= ，= ；点从向运动时，逐渐 （填“增大”或“减小”）； （2）当等于多少时，，请说明理由； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出的度数.若不可以，请说明理由. 【答案】（1）40°，100°；减小；（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE；理由见解析；（3）当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【分析】（1）利用平角的定义可求得∠EDC的度数，再根据三角形内角定理即可求得∠DEC的度数，利用三角形外角的性质可判断∠BDA的变化情况； （2）利用∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC得出∠BAD=∠EDC，进而求出△ABD≌△DCE； （3）根据等腰三角形的判定以及分类讨论得出即可． 【详解】（1）∵∠BDA=100°，∠ADE=40°，∠BDA+∠ADE+∠EDC=180°， ∴∠EDC=180°-100°-40°=40°， ∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠C=40°， ∴∠DEC=180°-40°-40°=100°； ∵∠BDA=∠C+∠DAC，∠C=40°， 点D从B向C运动时，∠DAC逐渐减小， ∴点D从B向C运动时，∠BDA逐渐减小， 故答案为40°，100°；减小； （2）当DC=2时，△ABD≌△DCE； 理由：∵∠ADE=40°，∠B=40°， 又∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC． ∴∠BAD=∠EDC． 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）； （3）①当AD=AE时，∠ADE=∠AED=40°， ∵∠AED>∠C， ∴此时不符合； ②当DA=DE时，即∠DAE=∠DEA=（180°-40°）=70°， ∵∠BAC=180°-40°-40°=100°， ∴∠BAD=100°-70°=30°； ∴∠BDA=180°-30°-40°=110°； ③当EA=ED时，∠ADE=∠DAE=40°， ∴∠BAD=100°-40°=60°， ∴∠BDA=180°-60°-40°=80°； ∴当∠ADB=110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，根据已知得出△ABD≌△DCE是解题关键． 【经典例题十三 等腰三角形的性质与判定】 【例13】（24-25八年级上·湖南长沙·课后作业）如图，中，为中线，点为上一点，，交于点，且若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，连接，证明，再运用全等三角形的性质可得，，然后运用等腰三角形的性质可得，进而求解即可 【详解】解：如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 又因为， 所以， 所以． 所以． 故选B． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）如图，是的角平分线，，垂足为，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和垂直的定义得到，推出，根据等腰三角形的性质得到，求得，得到，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 本题考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级上·河南郑州·期末）定义：如果一个三角形能被过顶点的一条线段分割成两个等腰三角形，则称这个三角形为特异三角形，如图，中，为钝角，则使得是特异三角形所有可能的的度数为 ． 【答案】或或 【详解】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．注意分类讨论数学思想的应用． 根据题意三角形得到和都是等腰三角形，讨论：①当时，，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；②当，时，时；③当时，，分别利用等腰三角形的性质和三角形外角性质可计算；④当，，设设，则，根据题意列方程即可． 【解答】解：∵是特异三角形， ∴和都是等腰三角形， ①当时，则， 若，则， 此时； 由于，则与不成立； ②当，则，所以， 若，则， 此时，不合题意舍去； 若，则，此时； ③当时，则， 若，则，此时； 由于，则与不成立； ④当，， 设，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 故答案为或或． 3．（23-24八年级上·湖南株洲·期末）定义：若两个三角形，有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等，我们就称这两个三角形为友谊三角形． (1)若两个三角形全等，它们__________（填是或否）友谊三角形； (2)如图1，在四边形中，平分，，与是友谊三角形，请探究与之间的关系； (3)如图2，在四边形中，，，，求证：与是友谊三角形． 【答案】(1)是 (2)，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题是四边形综合题，考查了新定义，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，理解新定义是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，利用全等三角形的判定和性质即可解决问题． （3）根据三角形的内角和可得，由为公共边，，即可得出结论． 【详解】（1）解：全等三角形的对应边相等，对应角相等， 两个三角形全等，必有有两组边相等且其中一组等边所对的角对应相等， 若两个三角形全等，它们是友谊三角形， 故答案为：是； （2）解：平分， ， ，，与是友谊三角形， ， 如图中，在上取一点，使得， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）证明：如图，设与交于点， ，， ， 为公共边，， 与是友谊三角形． 【经典例题十四 三角形边角的不等关系】 【例14】（23-24八年级上·重庆开州·期末）已知锐角，如图． （1）在射线OM上取一点A，以点O为圆心，OA长为半径作弧DE，交射线ON于点B，连接AB； （2）以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧DE于点C； （3）连接BC，AC．作射线OC． 根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（    ） A． B．若，则 C．OB垂直平分AC D． 【答案】D 【分析】由作法得BA＝BC，OA＝OC，则判断△AOB≌△COB，所以∠BOC＝∠AOB，则于是可对A选项进行判断；若AC＝OA，则可判断△OAC为等边三角形，则∠AOB＝60°，于是可对B选项进行判断；利用OA＝OC，BA＝BC得到OB垂直平分AC，则可对C选项进行判断；根据三角形三边的关系可对D选项进行判断． 【详解】解：由作法得BA＝BC，OA＝OC， 而OB为公共边， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠BOC＝∠AOB，所以A选项的结论正确； 若AC＝OA，则OA＝OC＝AC， ∴△OAC为等边三角形， ∴∠AOB＝60°，所以B选项的结论正确； ∵OA＝OC，BA＝BC， ∴OB垂直平分AC，所以C选项的结论正确； ∵AB＋BC＞AC， 而AB＝BC， ∴2AB＞AC，所以D选项的结论错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图−复杂作图，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，三角形三边关系，也考查了垂直平分线的判定．熟练掌握相关性质是解题的关键． 1．（23-24八年级上·湖南益阳·课后作业）等腰三角形的底边BC=8cm，且|AC﹣BC|=2cm，则腰长AC的长为（　　） A．10cm或6cm B．10cm C．6cm D．8cm或6cm 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质求出AC的长即可． 【详解】∵|AC-BC|=2cm， ∴AC-BC=2cm或-AC+BC=2cm， ∵BC=8cm， ∴AC=（2+8）cm或AC=（8-2）cm，即10cm或6cm． 故选A． 【点睛】本题考查绝对值和等腰三角形的性质，掌握绝对值的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，已知等边三角形的边长是，且高，P为上一动点，D为的中点，则的最小值为 ． 【答案】/10厘米 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质及三角形三边不等关系，熟练掌握等边三角形的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键；连接，由题意易得，，要求的最小值即为的最小值，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵D为的中点， ∴， ∴， ∴， 根据三角形三边不等关系可知：，即，当C、P、D共线时取等号， ∴的最小值为； 故答案为． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，等边三角形ABC中，D、E分别是BC、AC边上的点，BD＝CE，AD与BE相交于点P，AP＝4，Q是射线PE上的动点． (1)求证：： (2)若△APQ为直角三角形，求PQ的值； (3)当△APQ为钝角三角形时，直接写出PQ的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)2或8 (3)或 【分析】（1）先利用等边三角形的性质得出=即可得出结论； （2）先借助（1）的结论，判断出，进而分两种情况，即可得出结论； （3）借助（2）的结论即可得出范围． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴ 在和中， ∴； （2）如图，由（1）知，， ∵为直角三角形， ①当时， ∵， ∴， ②当时，即， ∴， 即是直角三角形时，或8. （3）∵为钝角三角形， ∴当时，， ②当时，． 即：是钝角三角形时，或． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，钝角三角形的特点，解本题的关键是判断出． 【经典例题十五 等边三角形的性质】 【例15】（23-24八年级上·河南郑州·单元测试）如图，是等边三角形，是边上的高，点E是边的中点，点P是上的一个动点，当最小时，的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题，掌握等边三角形三线合一的性质是解题关键．连接，由等边三角形的性质，得出，进而得到，即当、、三点共线时，有最小值，再利用三线合一性质，得到，即可得到的度数． 【详解】解：如图，连接， 是等边三角形，是边上的高， 是中点，即垂直平分， ， ， 即当、、三点共线时，有最小值， 点是边的中点， ， ， ∵等边中，， ∴， ∵， ∴此时， ∴． 故选：C． 1．（23-24八年级上·河南驻马店·单元测试）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为（　　） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明全等三角形，将线段一分为二，分别求出两段的长度，进而求出的长度． 【详解】解：等边， ，． ． ， ． ． 过点作于点， ． ， ． 在和中， ． ． ， ． 在中，， ∴， ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键． 2．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明即可得证； （2）求出，再根据含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题十六 等边三角形的判定】 【例16】（23-24八年级上·湖南长沙·课后作业）已知的三边分别为、、，且 则为（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解： ∴．则为等边三角形 故答案为：D． 1．（23-24八年级上·湖南岳阳·单元测试）有下列三角形：①有两个角等于（则第三个角也为．）；②有一个角等于的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法，解题的关键掌握：三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：①两个角为，则第三个角也是，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ②有一个角等于的等腰三角形，此选项正确，故符合题意； ③三个外角相等则三个内角相等，则其是等边三角形，此选项正确，故符合题意； ④由题意知该线为腰的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可知，该等腰三角形的腰与底边长相等，故该等腰三角形为等边三角形，此选项正确，故符合题意， 故选：D． 2．（23-24八年级上·湖南常德·单元测试）在中，，，点在边上，连接．给出下列四种说法： ①当时，一定为等边三角形； ②当时，一定为等边三角形； ③当是等腰三角形时，一定为等边三角形； ④当是等腰三角形时，一定为等腰三角形． 其中正确的说法是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余，等边三角形的判定，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键，由，，得．①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形；②当时，由，得，进而即可判定；③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形；④当是等腰三角形时，得为等边三角形，进而得，即可判断为等腰三角形．从而即可得解． 【详解】解：∵，， ∴． ①当时，由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可判定为等边三角形； ②当时，， ∴， ∴为等边三角形； ③当是等腰三角形，且为顶角时，不是等边三角形； ④当是等腰三角形时， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 综上，正确的说法是①②④． 故答案为：①②④． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，； 问题：若的三边长都是正整数，且满足，请问是什么形状？ 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，等边三角形的判定等知识；利用完全平方公式凑成和或差的平方是解题的关键．由完全平方公式，条件可化为，利用非负数的性质即可求得a、b、c的值，从而可判定的形状． 【详解】解：∵， ， ， ，是等边三角形． 【经典例题十七 等边三角形的判定和性质综合】 【例17】（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知和均是等边三角形，点，，在同一条直线上，与相交于点，与交于点，与相交于点，连接，，有下列结论：①；②平分；③；④，其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．证可得，得①正确；和的大小不确定，得点的位置不确定，又是定值，得不一定平分，得②错误；先证，再证是等边三角形，即可得③正确；过作于，于，证，得，再利用角平分线的判定定理即可得④正确． 【详解】解：和均是等边三角形， ，，， ，， ， ， 故①正确； 和的大小不确定， 点的位置不确定， 又是定值， 不一定平分， 故②错误； ， ， 又，， ， ， 又， 是等边三角形， ， 故③正确； 过作于，于， ， ， ，， ， ， ，， ， 故④正确； 故正确的有个， 故选：C． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P、M、N分别在等边三角形的各边上，且于点P，于点M，于点N，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是等边三角形，，，可证明是等边三角形，得出，进而证明，得出，，再由，，得出，结合，可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为： 3．（2024八年级上·湖南永州·课后练习）如图1，等边中，点D在上，点E在上，连接，交于点F，． (1)求的度数； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，将沿翻折交于点G，过点C作的垂线交直线于点H，若，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）通过边角边证明，再根据全等三角形的性质得到，进而求解即可； （2）在上截取，连接，先证明，进而证明，即可求解； （3）延长到点N，使得，连接，连接，交于点M，通过证明，进而证明是等腰三角形，是等边三角形，再证明即可求解． 【详解】（1）解：∵等边， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点N，使得，连接，连接，交于点M， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，沿翻折交于点G，， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）如图，在等边三角形中，平分，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，可得，，再进一步解题即可． 【详解】解：∵等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，而， ∴，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（2024·广东湛江·模拟预测）如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转得，得，得，可判断出是等边三角形，故可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ 由旋转得， ∴， ∴ 而， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴, 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川内江·期中）如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 4．（23-24八年级上·广西南宁·期中）如图，，点在上，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求的点了，则的值为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的外角性质等知识点，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得，，，，…，依此得到规律，再根据三角形外角小于即可求解，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的外角性质是解决此题的关键． 【详解】由题意可知：，，…， ∴，，…， ∵， ∴，，，，…， ∴， ∴， ∵n为整数， ∴， 故选：D． 5．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点的二分割线，则的度数是（　　） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，等腰三角形，三角形内角和与外角和的综合，理解题目中“二分割线”的定义，掌握直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和与外角和的计算和性质，分类讨论思想是解题的关键． 根据题意，分类讨论：当，，即是等腰三角形，是直角三角形，满足条件；当，，即是直角三角形，是等腰三角形，满足条件；当，，即是等腰三角形，是直角三角形，满足条件；数形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：在中，，若直线是的关于点的二分割线， ∴①如图所示，当，，即是等腰三角形，是直角三角形，满足条件， ∴； ②如图所示，当，，即是直角三角形，是等腰三角形，满足条件， ∴， ∴； ③如图所示，当，，即是等腰三角形，是直角三角形，满足条件， ∴， ∵是的外角， ∴， 综上所述，的度数是或或， 故选：D ． 6．（24-25八年级上·浙江金华·期中）已知等腰的一个外角为，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理． 等腰三角形的一个外角等于，则等腰三角形的一个内角为，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分三种情况进行分类讨论即可得． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角为， ∴与相邻的内角为， 则的度数可能为， 当为顶角时，其他两角都为、， 则的度数可能为， 当为底角时，其他两角为、， 则的度数可能为， 所以的度数为或或， 故答案为：或或． 7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ∵是中线， ∴，，． ∵， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值， ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故答案为：3． 8．（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，是的中线，在上取一点F，连接并延长交于点E，使．若，，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识点，延长至H，使得，连接，根据全等三角形的判定得出，再由其性质确定，，根据等量代换及等角对等边即可证明出，进而代入求值即可得解，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，延长至H，使得，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8． 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查的是旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握旋转过程中图形中每一点都绕旋转中心旋转了相同的角度，旋转前后的对应角相等，对应线段线段． 由平行线的性质先求解，再由旋转的性质结合等腰三角形的性质可得，再求解，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 故答案为：． 10．（24-25八年级上·辽宁抚顺·阶段练习）如图，在菱形中，，，点是边的中点，绕点逆时针旋转得到，连接交于点，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的旋转，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解题关键是旋转的性质的应用． 由菱形中，，，点是的中点，得是等边三角形，作,由点是的中点，得是等边三角形，点是的中点，得，由绕点顺时针旋转，得，由，，得，得． 【详解】解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， 作， 是的中点， ， 是的中点， ， ， ， 是等边三角形，点是的中点， ， 绕点顺时针旋转， ， ， , ，， ， , ． 故答案为：或． 11．（24-25八年级上·北京丰台·期中）如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·山东烟台·期中）如图，，点D在边上，，和相交于点O． (1)试说明的理由； (2)若，过点E作，垂足为F，试判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）由三角形内角和定理结合题意可证，从而可证，即可证； （2）由全等三角形的性质可推出，从而由等腰三角形的性质得出，．根据三角形内角和定理可得出，即得出，从而得出． 【详解】（1）证明：∵，， 又，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． ∵， ∴； （2）解：． 理由：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵，，且， ∴， ∴． ∵， ∴． 13．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）已知线段直线于点，点在直线上，分别以，为边作等边和等边，直线交直线于点． (1)当点在线段上时，如图1，证明： ①； ②； (2)当点在线段延长线上时，如图2，请写出线段之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析； (2)，理由见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． ①利用角的和差关系证明，而利用证明，从而得证； ②由全等三角形的性质得到，证明得到，从而得到； （2）同理可证，利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）①证明：和都是等边三角形， ，，， ．即． 在和中， ， ②证明：△△， ，． 直线， ，． 点，，在一条线上，， ， ， ． ， ， 即； （2）解：，理由如下： 同理证明， ，，， ， ， ，即． 14．（24-25八年级上·江苏南通·期中）已知，ΔABC是等边三角形，点D是直线上的点，点E是直线上的点，且． (1)如图1，当点D在线段上（不与点A，C重合）时，求证：； (2)当点D在线段或线段延长线上时，与有怎样的数量关系？写出你的猜想，并在图2和图3中选择一种情况给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形． （1）如图1中，作交于M．首先证明．再证明，推出，即可证明； （2）如图2中，作交的延长线于M．首先证明．再证明，推出，即可证明；如图3中，作交的延长线于M．首先证明．再证明，推出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图1中，作交于． 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）结论不变．． 选图2情况．证明：如图2中，作交的延长线于． 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 选图3情况． 证明：如图3中，作交的延长线于． 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 15．（24-25八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，已知在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． (1)当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点Q以的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ 【答案】(1)当点Q的运动速度为或时，能够使与全等 (2)经过点P与点Q第一次在的边上相遇 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用及一元一次方程的应用等知识，熟练运用这些性质解决问题是解此题的关键． （1）分为若时与若时，两种情况分类讨论，求解即可； （3）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：， ， D为的中点。 ， 若时， 则，， ， 点，点运动的时间， ； 若时， 则，， 点，点运动的时间， ， 当点Q的运动速度为或时，能够使与全等； （2）设经过秒后点与点第一次相遇， 由题意，得， 解得， 经过点与点第一次相遇， ， 经过点P与点Q第一次在的边上相遇． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$