22.1.1二次函数 教案 -2024-2025学年人教版数学九年级上册

二次函数教学设计 一．内容与内容解析： 《二次函数》是义务教育课程标准实验教科书九年级下册22.1.1的内容。本章是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。伽利略所发现的、通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。 二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 本节从实际问题入手，结合学生已有的知识经验观察、归纳出二次函数的概念，以及一般表达式 ，学生会在探知过程中体会函数思想。 二．目标： 基础知识：掌握二次函数的概念； 基本技能：能够表示简单的变量之间的二次函数关系；知道实际问题中存在的二次函数关系中，对自变量的取值范围的要求。 基本数学思想：体会从特殊到一般的数学思想和函数思想。 基本活动经验：经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。 三．教学问题诊断分析： 1、这节课是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础上，来学习二次函数的概念。二次函数是初中阶段研究的最后一个具体的函数，也是最重要的，在历年来的中考题中占有较大比例。同时，二次函数和以前学过的一元二次方程有着密切的联系。进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图像做铺垫。所以这节课在整个教材中具有承上启下的重要作用 2、九年级学生的抽象思维能力已有一定程度的发展，同时在数学和其他学科领域积累了较为丰富的知识和经验。因此，除了注意利用与生活实际有关的具体情景学习新知识外，应更多地运用符号、表述式等数学语言，在比较抽象的水平上提出数学问题，加深和拓展学生对数学的理解。 教学重点：二次函数的概念。 教学难点：具体地分析、确定实际问题中函数关系式。 教学方法：多媒体辅助教学，启发、探究、合作交流。 教学课时：一课时 教学过程设计 活动一：知识回顾 复习反馈 （一） 复习提问 我们学过了哪些函数？ 什么叫一次函数？(y=kx+b，其中k≠0)表达式中的自变量是什么？函数是什么？(函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。)常量是什么？为什么要有k≠0的条件？ k值对函数性质有什么影响？ 设计意图： 复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较． 活动二：创设情景 引入概念 1、 欣赏图片（弧线） （1）你们喜欢打篮球吗？ （2）你们知道：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 引入新课-----二次函数 2、 问题(1)圆的面积 y ( )与圆的半径x( cm ) (2)某商店1月份的利润是2万元，2、3月份利润逐月增长，这两个月利润的月平均增长率为x，3月份的利润为y (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。 1.y =πx2 2.y = 2(1+x)2 3.y= (60-x-4)(x-2) 说明：由以上三例，引导启发学生归纳出 (1)函数解析式的一边均为整式(表明这种函数与一次函数有共同的特征)． (2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．  本处设计了三个问题，学生容易分析其中的变量以及变量之间的关系，也不难列出函数解析式.通过归纳解析式特点，自然引出二次函数的定义. 3、二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数． 　对二次函数概念的理解可从以下几方面入手： （1）强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．对定义中的“形如”的理解，与一次函数类似地，仍然要注意二次函数的自变量与函数不仅仅局限于只用x、y来表示. 　　 （2）在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0． （３）为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了) （４）b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零． 　　若b=0，则y=ax2＋c； 　　若c=0，则y=ax2＋bx； 　　若b=c=0，则y=ax2． 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式. 活动三：动手操作 理解概念 1、（1）下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，指出a、b、c．      1) 3y=x(x-1)；2)y=3x(2-x)＋3x2；3)y=x4＋2x2＋1；4)y=2x2＋3x+1 （2）已知函数 y=（m2-9)x2-(m-3)x＋2，当m为何值时，这个函数是二次函数？当m为何值时，这个函数是一次函数？ （3）圆柱的体积V的计算公式是V= ，其中 r是圆柱底面的半径，h是圆柱的高.    1当h 是常量时，V是r 的什么函数？    2当r 是常量时，V是h 的什么函数？ 2、做一做: （1）正方形边长为x（cm），它的面积y（cm2）是多少？ （2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长增加x厘米，宽增加2x厘米,则面积增加到y平方厘米，试写出y与x的关系式． 设计意图：通过练习，巩固加深对二次函数概念的理解. 活动四：应用概念 解决问题 （一）1、关于x的函数是二次函数, 求m的值. 2、m取何值时，函数是 y= (m+1)x 是二次函数？ （二）练习1、请举1个符合以下条件的y关于x的二次函数的例子 （1）二次项系数是一次项系数的2倍，常数项为任意值。 （2）二次项系数为-5，一次项系数为常数项的3倍。 3、若函数为二次函数，求m的值。 4、当m为何值时，函数y＝(m－2)xm2－2＋4x－5是x的二次函数。 5、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 设计意图：通过此题设计让学生会用二次函数的概念解决实际问题，此题可以根据课堂的进展情况灵活操作，若没有时间可以作为选作作业。 活动五：归纳小结 升华概念 1、让学生，从知识上，方法上，获得的经验等角度谈谈收获。 （1）二次函数概念：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数． 　对二次函数概念的理解可从以下几方面入手： （2）若b=0，则y=ax2＋c； 　　若c=0，则y=ax2＋bx； 　　若b=c=0，则y=ax2． 以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式. （3）数学思想：特殊到一般的数学思想. 设计意图：通过小结将二次函数与以前学过的函数的知识联系起来，将这个概念纳入已有的概念体系中，同时又为下节课做好铺垫。 2、布置作业 （1）把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项 系数为______，常数项为______. （2）函数 y=(m-n)x2+ mx+n 是二次函数的条件是( ) A. m,n是常数,且m≠0 B. m,n是常数,且n≠0 C. m,n是常数,且m≠n D. m,n为任何实数 （3）某商店经销一种销售成本为每千克40元的商品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量 就减少10kg,针对这种商品的销售情况，请解答下列问题： （1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和销售利润分别为多少？ （2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围） 学科网（北京）股份有限公司 $$