第二十五章《概率初步》同步单元基础与培优高分必刷卷-2024-2025学年九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

第二十五章《概率初步》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列事件为确定事件的有（　　） （1）打开电视正在播动画片 （2）长、宽为，的矩形面积是 （3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 （4）是无理数 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案． 【详解】打开电视正在播动画片，是随机事件，不合题意； 长、宽为，的矩形面积是，是确定事件，符合题意； 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意； 是无理数，是确定事件，符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定事件，正确掌握相关定义是解题关键． 2．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ） A．12个 B．16个 C．20个 D．30个 【答案】A 【详解】解：∵共摸了40次，其中10次摸到黑球， ∴有30次摸到白球． ∴摸到黑球与摸到白球的次数之比为1：3． ∴口袋中黑球和白球个数之比为1：3． ∴4×3=12（个）． 故选A． 3．下列说法正确的是（    ） A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖 B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件 C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件 D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查 【答案】D 【分析】根据概率的意义对A进行判断；根据随即事件和必然事件对B、C进行判断；根据全面调查和抽样调查对D进行判断． 【详解】A、某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票可能中奖，故A错误； B、从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故B错误； C、篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，故C错误； D、为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（        ）            A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：共有5个书签图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是第2张与第4张书签图片，共2张， ∴小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，概率公式求概率，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图： 共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率, 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率． 6．现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法求概率．正确列表并不重复不遗漏的列出所有可能的结果数以及满足题意的结果数成为解题的关键． 根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数和满足题意的情况数，然后根据概率公式即可解答． 【详解】解：三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下： A B B A （B，A） （B，A） B （A，B） （B，B） B （A，B） （B，B） 共有6种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有2种情况， 则抽取的两张牌花色相同的概率为． 故选：B． 7．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】假设不规则图案面积为x， 由已知得：长方形面积为20， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为： ， 当事件A实验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， 综上有：，解得． 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 8．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画树状图（或列表），共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可． 【详解】将宫、商、角、徵、羽、分别记为1，2，3，5，6．根据题意画图如下： 共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种， 则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 9．按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大 B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 【答案】D 【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李抽到“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求出三人抽到“主持人”的可能性． 【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况： 小王抽到“主持人”可能性为， 小王抽到空白纸条的可能性为：，在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条， 抽取“主持人”可能性为：， 抽取空白纸条可能性为：（当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”）， 故小李抽到“主持人”的可能性为：， 小马抽到“主持人”的可能性为：， 故选：D． 【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键． 10．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成的结果数，然后根据概率公式求解．． 【详解】解：反应的化学方程式为， 与的原子个数比为，与的原子个数比为， 反应后生成的中来自于反应物C，而来自于反应物O， 共有6种等可能的结果数，其中反应生成的结果数为2， ∴反应生成的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 【答案】9 【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可． 【详解】解：从中任意摸出一个球是红球的概率为， ， 去分母，得， 解得， 经检验是所列分式方程的根， ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式． 12．当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ． 【答案】0.5/ 【分析】根据大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率解答即可． 【详解】解：当重复试验次数足够多时，频率逐渐稳定在0.5左右， ∴掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5． 故答案为：0.5． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，熟练掌握大量重复试验中事件发生的频率可以表示概率是解答本题的关键． 13．不透明的袋中装有大小质地完全相同的个球，其中个黄球、个白球和个红球．从袋中任取个球，恰为个红球的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有种等结果，其中恰为个红球的结果有种， ∴恰为个红球的概率为， 故答案为：． 14．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式等知识，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 先列表可得出所有等可能的结果数以及小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果数，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：将《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》、《朝花夕拾》分别记为A，B，C，D， 列表如下： A B D A （A，A） （A，B） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） 共有9种等可能的结果，其中小明和小颖恰好选中书名相同的书的结果有2种， ∴小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率为． 故答案为：． 15．有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 解不等式①得． a、b取值： 1 2 1 2 共6种情况： ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有0个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有2个． ，时，解不等式②得，非负整数解只有5个． ，时，解不等式②得，负整数解只有4个． 综上所述，关于x的不等式组的解集中有且只2个非负整数的概率为． 故答案为： 【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合要求的点是解题关键. 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种．记种植辣椒为，种植茄子为，种植西红柿为，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）根据题意列出树状图，即可得到答案； （2）根据（1）列出的情况，找到甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况，得出概率． 【详解】（1）解：由题意得：    共有9种情况，分别是：． （2）解：由（1）得 其中甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的情况有，共3种， ， 甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率为 【点睛】本题考查了树状图法求概率的问题，解题的关键是画出树状图． 17．有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． (1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________； (2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图求概率即可求解． 【详解】（1）解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于； 故答案为：． （2）解：据题意，可以画出如下的树状图：      由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等． 其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种． ∴． 【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 18．为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由 【答案】(1) (2)应往袋中加入黄球，见解析 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）根据列表法求分别求得加入黄球和红球的概率即可求解． 【详解】（1）解：顾客首次摸球的所有可能结果为红，黄①，黄②，黄③，共4种等可能的结果． 记“首次摸得红球”为事件，则事件发生的结果只有1种， 所以，所以顾客首次摸球中奖的概率为． （2）他应往袋中加入黄球． 理由如下： 记往袋中加入的球为“新”，摸得的两球所有可能的结果列表如下： 第二球 第一球 红 黄① 黄② 黄③ 新 红 红，黄① 红，黄② 红，黄③ 红，新 黄① 黄①，红 黄①，黄② 黄①，黄③ 黄①，新 黄② 黄②，红 黄②，黄① 黄②，黄③ 黄②，新 黄③ 黄③，红 黄③，黄① 黄③，黄② 黄③，新 新 新，红 新，黄① 新，黄② 新，黄③ 共有种等可能结果． （）若往袋中加入的是红球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率； （）若往袋中加入的是黄球，两球颜色相同的结果共有种，此时该顾客获得精美礼品的概率； 因为，所以，所作他应往袋中加入黄球． 【点睛】本小题考查简单随机事件的概率等基础知识，考查抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识等，考查统计与概率思想、模型观念，熟练掌握概率公式是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（        ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： (1)本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； (2)在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ； (3)已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； (4)若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人． 【答案】(1)抽样调查 (2)200，22 (3) (4)350 【分析】（1）根据抽样调查的定义即可得出答案； （2）根据喜欢文学的人数除以其所占的百分比可得总人数，用喜欢体育的人数除以总人数可求出的值； （3）根据概率公式求解即可； （4）用1000乘以选择“文学”类的百分比即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 本次调查采用的调查方式为：抽样调查， 故答案为：抽样调查； （2）解：根据题意得： 在这次调查中，抽取的学生一共有：（人）， 扇形统计图中的值为：， 故答案为：200，22； （3）解：恰好抽到女生的概率是：， 故答案为：； （4）解：根据题意得： 选择“文学”类课外活动的学生有：（人）， 故答案为：350． 【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查、条形统计图与扇形统计图的信息关联、根据概率公式求概率、由样本估计总体，正确利用条形统计图和扇形统计图得出正确信息是解题的关键． 20．不透明的袋子里装有2个标有数字的小球，1个标有数字0的小球和若干个标有数字2的小球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是标有数字的概率为． (1)袋子里标有数字2的小球有　　　个； (2)丽丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标、再将此球放回、摇匀，然后由静静再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在坐标轴上的概率． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查已知概率求数量，列表或画树状图法求概率： （1）根据标有数字的小球的个数及概率求出总数，即可求解； （2）通过列表列出所有等可能的情况，从中找出满足条件的情况，再利用概率公式求解． 【详解】（1）解：袋子里小球的总数为：（个）， 袋子里标有数字2的小球有：（个）， 故答案为：2； （2）解：由题意列表如下：     丽丽 静静 0 2 2 0 2 2 由表可知，共有25种等可能的情况，其中，，，，在坐标轴上，共有9种情况， 因此出点M落在坐标轴上的概率为． 21．实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有了很大提高．张老师为了解本校学生的具体情况，对本校学生进行了为期半个月的随机跟踪调查，将调查结果分成四类（：特别好；：好；：一般；：较差），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)本次调查中，张老师一共调查了______名学生，张老师所在学校共有800名学生，你估计其中“特别好”的学生大约有______名； (2)图2中类所占圆心角的度数为______，并将图1补充完整； (3)张老师想从被调查的类和类学生中分别随机选取一位进行个别谈话，请用列表法或画树状图的方法，求所选两位学生恰好是一位男生和一位女生的概率． 【答案】(1)20，120 (2)，图见解析 (3) 【分析】 本题考查扇形统计图和条形统计图的综合、用样本估计总体、用列表法或画树状图法求概率，理解题意，看懂统计图是解答的关键． （1）由“特别好”的学生人数除以其所占的百分比可求得调查总人数，再利用全校总人数乘以“特别好”的学生所占的百分比即可求解； （2）由乘以D类学生所占的百分比可求得类所占圆心角的度数，再求得C类和D类的人数，进而补全统计图即可； （3）画树状图得到所有的等可能的结果数，然后找出符合条件的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，本题调查的人数为（名）， 估计全校“特别好”的学生大约有（名）， 故答案为：20，120； （2）解：类所占圆心角的度数为， 故答案为：； 类的人数为（名），其中男生有（名）， 类人数为（名），其中女生有（名）， ∴补全图1如图所示： （3）解：画树状图为： 由图知，一共有6种等可能的结果，其中恰好是一位男生和一位女生的有3种，故所选两位学生恰好是一位男生和一位女生的概率为． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数； (2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和； (4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率． 【答案】(1)38千克 (2)甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高 (3)15520千克 (4) 【分析】（1）根据中位数的定义求解可得． （2）根据平均数的定义分别计算出甲、乙两座山样本的产量，据此可得． （3）用平均数乘枣树的棵树，求得四座山的产量和，再乘成活率即可． （4）用表格或树状图列出所有可能的结果，然后用概率公式即可求得． 【详解】（1）解：因为甲山4棵小枣树产量分别为34千克、36千克、40千克、50千克， 所以甲山4棵小枣树产量的中位数为（千克）． 故答案为：38千克． （2）解：因为（千克）， （千克）， 所以， 所以甲、乙两座山的样本的产量一样高． 答：甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高． （3）四座山的小枣树的总产量为：（千克）． 答：用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和为15520千克． （4）将这四座山分别记作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲乙 甲丙 甲丁 乙 乙甲 乙丙 乙丁 丙 丙甲 丙乙 丙丁 丁 丁甲 丁乙 丁丙 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙两座山的结果数为2种， 所以王大叔选中甲、乙两座山的概率为． 【点睛】本题考查了统计与概率，涉及折线统计图、平均数、中位数、用样本平均数估计总体、画树状图或列表求简单事件的概率等，解题的关键是根据折线统计图得出正确的信息． 23．某超市开展“五一”大酬宾，举行购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元，凡购买满200元及以上者，每200元可抽奖一次（不足200元一概不计入，每人当天购物最多可抽5次），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”，“2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别．抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和为4，则获三等奖，其余均不获奖． （1）试利用树状图或列表法顾客每抽奖一次分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率； （2）若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部分随机抽查了100位顾客的消费金额并绘制成条形统计图如下（金额折算为200元的整数倍，其中扣除200元的整数倍后不足200元的部分全部去掉不计入）： ①求上述样本数据中每位顾客消费金额的平均数； ②据“五一节”当天统计，共有2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动，已知该超市每销售100元，平均可获利20元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金融外，估计这一天超市共盈利大约为多少元？ 【答案】（1），，；（2）①元，②元． 【分析】(1)列表表示出所有可能，再根据概率公式计算即可； (2) ①根据平均数公式计算即可；②根据超市每销售100元，平均可获利20元，求出利润，再减去购物卡金额即可． 【详解】解：(1)列表如图所示： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 一共有9种等可能结果，和为6的有1种，和为5的有2种，和为4的有3种， 获得一等奖的概率为； 获得二等奖的概率为； 获得三等奖的概率为； (2) ① 样本数据中每位顾客消费金额的平均数为：（元） ②超市每销售100元，平均可获利20元，销售获利为（元）， 样本数据中可抽奖次数为（次）， 2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动抽奖次数为（次） 兑现的购物卡金额为（元）， 这一天超市共盈利为（元）； 估计这一天超市共盈利大约为元． 【点睛】本题考查了是概率和样本平均数以及用样本估计总体，解题关键是熟练运用列表法求概率，准确的用样本数据估计总体数据． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十五章《概率初步》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列事件为确定事件的有（　　） （1）打开电视正在播动画片 （2）长、宽为，的矩形面积是 （3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 （4）是无理数 A．个 B．个 C．个 D．个 2．在一个不透明的盒子里，装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有白球（ ） A．12个 B．16个 C．20个 D．30个 3．下列说法正确的是（    ） A．某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖 B．从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件 C．篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件 D．为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查 4．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．小文购买了以“剪纸图案”为主题的5张书签，他想送给好朋友小乐一张．小文将书签背面朝上（背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张，则小乐抽到的书签图案既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（        ）            A． B． C． D． 5．“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德．小刚、小强计划利用暑期从，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 6．现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为，，，若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为，则两次抽取的牌花色相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计实验结果），他将若干次有效实验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（    ） A． B． C． D． 8．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（   ） A． B． C． D． 9．按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会．下列说法中正确的是（    ） A．小王的可能性最大B．小李的可能性最大 C．小马的可能性最大 D．三人的可能性一样大 10．同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如与、与．在一次制取的实验中，与的原子个数比为2：1，与的原子个数比为1：1，若实验恰好完全反应生成，则反应生成的概率（    ） A． B． C． D． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和个白球（仅有颜色不同）．若从中任意摸出一个球是红球的概率为，则 ． 12．当重复试验次数足够多时，可用频率来估计概率．历史上数学家皮尔逊（Pearson）曾在实验中掷均匀的硬币24000次，正面朝上的次数是12012次，频率约为0.5，则掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是 ． 13．不透明的袋中装有大小质地完全相同的个球，其中个黄球、个白球和个红球．从袋中任取个球，恰为个红球的概率是 ． 14．某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是 ． 15．有三张正面分别标有数字，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回，再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有2个非负整数的概率为 ． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．甲、乙两名同学准备参加种植蔬菜的劳动实践活动，各自随机选择种植辣椒、种植茄子、种植西红柿三种中的一种．记种植辣椒为，种植茄子为，种植西红柿为，假设这两名同学选择种植哪种蔬菜不受任何因素影响，且每一种被选到的可能性相等．记甲同学的选择为，乙同学的选择为． (1)请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求甲、乙两名同学选择种植同一种蔬菜的概率． 17．有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁． (1)从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________； (2)从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率． 18．为促进消费，助力经济发展，某商场决定“让利酬宾”，于“五一”期间举办了抽奖促销活动．活动规定：凡在商场消费一定金额的顾客，均可获得一次抽奖机会．抽奖方案如下：从装有大小质地完全相同的1个红球及编号为①②③的3个黄球的袋中，随机摸出1个球，若摸得红球，则中奖，可获得奖品：若摸得黄球，则不中奖．同时，还允许未中奖的顾客将其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1个红球或黄球（它们的大小质地与袋中的4个球完全相同），然后从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，若摸得的两球的颜色相同，则该顾客可获得精美礼品一份．现已知某顾客获得抽奖机会． (1)求该顾客首次摸球中奖的概率； (2)假如该顾客首次摸球未中奖，为了有更大机会获得精美礼品，他应往袋中加入哪种颜色的球？说明你的理由 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下： 调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（        ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处． 根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图． 请根据统计图提供的信息，解答下面的问题： (1)本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）； (2)在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ； (3)已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ； (4)若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人． 20．不透明的袋子里装有2个标有数字的小球，1个标有数字0的小球和若干个标有数字2的小球，这些球除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，是标有数字的概率为． (1)袋子里标有数字2的小球有　　　个； (2)丽丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标、再将此球放回、摇匀，然后由静静再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在坐标轴上的概率． 21．实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有了很大提高．张老师为了解本校学生的具体情况，对本校学生进行了为期半个月的随机跟踪调查，将调查结果分成四类（：特别好；：好；：一般；：较差），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： (1)本次调查中，张老师一共调查了______名学生，张老师所在学校共有800名学生，你估计其中“特别好”的学生大约有______名； (2)图2中类所占圆心角的度数为______，并将图1补充完整； (3)张老师想从被调查的类和类学生中分别随机选取一位进行个别谈话，请用列表法或画树状图的方法，求所选两位学生恰好是一位男生和一位女生的概率． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示． (1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数； (2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高； (3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和； (4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率． 23．某超市开展“五一”大酬宾，举行购物抽奖活动，奖项设置为面值不同的购物卡，分别是：一等奖120元，二等奖60元，三等奖10元，凡购买满200元及以上者，每200元可抽奖一次（不足200元一概不计入，每人当天购物最多可抽5次），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋子里装有三个小球，球面上分别标注数字“1”，“2”，“3”，它们除数字不同外没有任何区别．抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为6，则获一等奖，数字之和为5，则获二等奖，数字之和为4，则获三等奖，其余均不获奖． （1）试利用树状图或列表法顾客每抽奖一次分别获得一等奖、二等奖、三等奖的概率； （2）若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部分随机抽查了100位顾客的消费金额并绘制成条形统计图如下（金额折算为200元的整数倍，其中扣除200元的整数倍后不足200元的部分全部去掉不计入）： ①求上述样本数据中每位顾客消费金额的平均数； ②据“五一节”当天统计，共有2500位顾客参与该超市的购物抽奖活动，已知该超市每销售100元，平均可获利20元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金融外，估计这一天超市共盈利大约为多少元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$