精品解析：上海市松江一中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

松江一中2024学年度第一学期期中考试卷 高二数学 考生注意：本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上. 一.填空题（第1至第6题每题4分，第7至第12题每题5分） 1. “平面经过直线”用集合符号语言可表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与平面的关系直接得到结果. 【详解】由题意可知：直线在平面内， 所以符号语言为：， 故答案为：. 2. 在正方体中，所在直线与平面所成的角为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由正方体的结构特征有所在直线与平面所成角为，即可求其大小. 【详解】由题设知，面，所以所在直线与平面所成角为， 设正方体棱长为2，则，则. 故答案为： 3. 若单位向量、满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为单位向量、满足， 所以， 所以 . 故答案为： 4. 已知某水平放置的四边形的斜二测画法直观图是边长为1的正方形，如图所示，则四边形的面积是_________. 【答案】 【解析】 【分析】画出四边形的原图形，进而求出面积. 【详解】连接，则与平行，且有勾股定理得， 故画出四边形的原图形，如下： 四边形为平行四边形，高， 故四边形的面积是. 故答案为： 5. 已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的_____心. 【答案】内 【解析】 【分析】若面，且，连接，利用线面垂直的判定、性质定理证、，结合题设二面角相等，即可判断. 【详解】如下图，若面，且，连接， 由面，则， 又均在面内，则面，面，即， 同理可证，结合二面角、大小相等， 结合下图示，、对应二面角分别为， 在中，， 所以，则， 综上，到距离相等，同理到距离与到距离也一样， 所以点在平面内的射影是的内心. 故答案为：内 6. 一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，结合弧长公式进行求解即可. 【详解】因为圆锥的母线长为6，所以侧面展开图扇形的半径为6，设该圆锥的底面半径为， 所以有， 故答案为：. 7. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据圆台的侧面积求圆台的母线，再根据圆台轴截面求出高即可. 【详解】因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为 ， 设母线长为，高为. 则，解得. 如图所示圆台的轴截面， 在中，， 由勾股定理得：圆台的高. 故答案为：3. 8. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体结构特征，直观想象将面旋转展开成与面在同一个平面内，进而求的最小值. 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内. 故答案为： 9. 如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据水的高度以及圆锥形容器的轴截面为等边三角形得到水的体积，设出球的半径表示出球的体积，则根据放球后总体积，得到关于铁球半径的方程，解出即可. 【详解】如图，作出圆锥容器的轴截面，为正三角形，，，故. 设铁球的半径为，则，，在中，. 设放入球后，球与水共占体积为，则， 又，依题意有，故，解得. 故答案为： 10. 已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用重心的几何性质结合空间向量的减法可得出，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】如下图所示： 因为为的重心，则， 可得，则， 所以， ，故. 故答案为：. 11. 已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，利用和得到关于的方程组，求出的值，再由题意，判断两球相交形成的图形为圆面，利用余弦定理求出，求得圆面的半径，即得交线长. 【详解】 如图，设正四面体的外接球半径为，外接球球心到底面的距离为，过点作于，连接, 则必过的中心，， 则又，联立解得. 由题意，两球相交形成的图形为圆面， 如图，在中，，故， 所以交线所在圆的半径为，所以交线长度为． 故答案为： 12. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是_____. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据题设有，利用线面平行的判定判断①；应用线面平行的判定得到面，问题化为求点到平面的距离，应用等体积法求点面距判断②；进而利用等面积法求点到的距离判断③；利用余弦定理得到关于的表达式，进而判断是否能成立判断④. 【详解】①当点是中点时，则是中点，易知， 又面，面，故直线平面，对； ②由题设，易知，面，面，故面， 所以直线到平面的距离，即点到平面的距离， 由，，， 故到距离为，则， 所以，可得，错； ③令点到的距离，则，对； ④由题设，易得，且， ， 所以， ， 在中， 由，显然时，能成立，故存在点使得，对. 故答案为：①③④ 二.选择题（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 若直线不垂直于平面，那么平面内（ ） A. 不存在与l垂直的直线 B. 只存在一条与l垂直的直线 C. 存在无数条直线与l垂直 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】平面内与在内的射影垂直的直线，垂直于直线，这样的直线有无数条，故可得结论． 【详解】平面内与在内的射影垂直的直线，垂直于直线，这样的直线有无数条，故C正确，则A，B、D错误. 故选：C 14. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项中的线面关系条件，利用面面平行的判定定理和线面平行的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与可能相交，故A错误． 对于B，若，则或，故B错误． 对于C，假设，因则，又因，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，故C正确． 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交， （这三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧）故D错误． 故选：C． 15. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依据题意作出圆锥的轴截面，再分析其轴截面三角形的顶角是否大于等于，结合三角函数即可得解. 【详解】 如图，是圆锥的轴截面，设圆锥的底面圆半径为. 若,所得截面面积最大值为,则,故不符合题意； 若，此时所得截面面积得最大值为，符合题意， 此时有，解得，又，则. 故选：D. 16. 设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题，则（ ）. ①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形； ②若不是平行四边形，则可能是平行四边形. A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】C 【解析】 【分析】对于②，可以考虑构造一个正四棱锥来说明，对于①可以考虑利用反证法证伪. 【详解】对于②，考虑一个正四棱锥，然后再他的侧棱的延长线上可以画出一个梯形， 具体做法是：取，则四棱锥为正四棱锥， 然后令， 那么 此时是梯形，但不是平行四边形， 对于①，如图，四边形为平行四边形，也为平行四边形， 若平面与平面不平行， 则四边形中必有一边与底面相交， 不妨设直线与底面相交， 则直线也与底面相交， 在平面中过做的平行线，交与，则， 因平面，平面，故平面，即平面， 而平面平面，故，而， 故相交，这与为平行四边形矛盾. 故平面平面，故， 若四边形为菱形，则，则， 故四边形为菱形，故①错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：空间中满足条件的几何体的存在性，可以通过常见几何体来构造，或者通过反证法结合空间中点线面的判断与性质导出矛盾. 三.简答题（14+14+14+18+18） 17. 如图，在长方体中，，，. （1）求证：； （2）若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 【答案】（1） 由题设面，面，则， 在长方体中，即，则为正方形，故， 由且都在面内，故面，面， 所以； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据长方体结构特征及线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）利用长方体、棱锥的体积公式求多面体体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题设，剩下的多面体的体积. 18. 如图，在正四棱锥中，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）求二面角的大小.（结果用反三角表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接底面对角线，得到相互垂直平分，在正棱锥中顶点和底面中心的连线垂直底面，所以得到直角三角形，利用勾股定理求出棱锥的高，再在侧面上由三垂直即可得到高，并求出高的值，得到侧面面积，从而求出四棱锥的表面积； （2）由（1）得到三垂直，由此建立空间直角坐标系，由（1）中线段长得到点的坐标，利用空间向量求出面的法向量，然后求得二面角的余弦值，从而得到角. 【小问1详解】 如图：连接，相交于点，连接，取中点，连接， 在正四棱锥中，平面，为、中点， 因为平面，所以， 因为平面，所以， 因为为中点，为中点，所以， 在正方形中，，在中， 在中， 因为在正四棱锥中，，所以， 所以， 所以四棱锥的表面积： 【小问2详解】 由（1）可知，，，所以以为坐标原点，为轴，为轴，为轴如图建立空间直角坐标系， 由（1）可知，，，， 所以，，，， 设分别为平面和平面的一个法向量， 所以，令，则，即 所以，令，则，即 设为二面角，由图形可知为钝角， 所以 ， 所以. 19. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上. （1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； （2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 【答案】（1）陀螺体积、表面积分别为，； （2）(). 【解析】 【分析】（1）根据题意求得外接球半径，进而可求得底面半径，再应用圆锥、圆柱体积、表面积公式求结果； （2）令圆柱的高为，有陀螺的高为，应用圆柱体体积公式、基本不等式求侧面积最大值，确定取值条件，即可得结果. 【小问1详解】 令陀螺外接球半径为，则，可得， 由题意，圆柱的矩形轴截面对角线长为，又圆柱的高为， 所以圆柱底面直径，则底面半径， 综上，圆锥的高为，母线长为， 所以陀螺的体积为， 陀螺表面积为. 【小问2详解】 令圆柱的高为，由（1）知陀螺外接球半径， 所以圆柱底面直径为，圆锥的高为， 所以陀螺的高为， 由圆柱体侧面积， 当且仅当时取等号， 所以陀螺的高是()时，圆柱体侧面积最大. 20. 如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. （1）若，求证：直线平面； （2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； （3）若，求直线与直线所成角的最大值. 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为，所以M是线段上的中点， 因此有， 因为是矩形，N是线段上的中点， 所以， 因此有， 所以四边形是平行四边形，所以有， 而平面，平面，所以直线平面； （2）不存在，理由如下： 假设存在实数，使直线同时垂直于直线，直线， 因为四边形是矩形，所以， 即，而平面， 所以平面， 因为是矩形，所以， 因为平面，平面， 所以，而平面， 所以平面，因此，显然不可能，所以假设不成立， 因此不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线； （3）最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理和性质，结合线线的位置关系进行判断即可； （3）根据异面直线所成的角的定义，结合余弦定理、换元法、配方法进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 不存在实数，使直线同时垂直于直线，直线，理由略； 【小问3详解】 当时，由（2）可知：， 所以是直线与直线所成角，设， 由（2）可知，所以， 在中，由余弦定理可知： ， 令，所以， 于是有， 当时，有最小值，最小值为， 所以有最大值，最大值为. 21. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 【答案】（1） 由题意， 在四棱锥中， ⊥面ABCD，,， ∴， 在直角梯形中，， ∵， ∴ ∵ ∴ （2） 由题意及（1）得，存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD， 在四棱锥中，， 作出空间直角坐标系如下图所示： 由几何知识得，，，，，， ∴，，， 设，则, ∴ ∴， 若AM⊥面PCD 解得： ∴ （3） 【解析】 【分析】（1）通过定义法证明线面垂直，即可证出两线垂直. （2）通过建立空间直角坐标系，表达坐标点，进而根据线面垂直的性质，证明直线AM与和都垂直，求出点M的坐标，进而求出线段AM的长. （3）通过向量关系表达出，再表达出， 列出直线CQ与DP所成的角的表达式，求出最值和最值成立的条件，进而求出线段BQ的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意及（1）（2）得， ，， 设 ∴， 设，， ∴ 当且仅当即时，最大，为， 在中，上是减函数， ∴最大时，直线CQ与DP所成的角最小， ∵， ∴， ∴当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松江一中2024学年度第一学期期中考试卷 高二数学 考生注意：本卷满分150分，考试时间120分钟，答案全部做在答题纸上. 一.填空题（第1至第6题每题4分，第7至第12题每题5分） 1. “平面经过直线”用集合符号语言可表示为_______． 2. 在正方体中，所在直线与平面所成的角为_____. 3. 若单位向量、满足，则________． 4. 已知某水平放置的四边形的斜二测画法直观图是边长为1的正方形，如图所示，则四边形的面积是_________. 5. 已知所在平面外一点，且二面角、、大小相等，则点在平面内的射影应为的_____心. 6. 一圆锥的侧面展开图为一圆心角为的扇形，该圆锥母线长为6，则圆锥的底面半径为________． 7. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为5，侧面积为，则圆台的高为_________. 8. 如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______. 9. 如图，在一个轴截面为正三角形的圆锥形容器中注入高为h的水，然后，将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，则这个球的半径为_______. 10. 已知空间向量、、的模长分别为、、，且两两夹角均为，点为的重心，则_____． 11. 已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为______． 12. 如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①当点是中点时，直线平面； ②直线到平面的距离是； ③点到的距离为； ④存在点，使得. 其中所有正确的结论是_____. 二.选择题（第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13. 若直线不垂直于平面，那么平面内（ ） A. 不存在与l垂直的直线 B. 只存在一条与l垂直的直线 C. 存在无数条直线与l垂直 D. 以上都不对 14. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若是异面直线，，则 D. 平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 15. 已知圆锥的母线长为4，过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则该圆锥底面半径的取值集合为（ ） A. B. C. D. 16. 设分别是四棱锥侧棱上的点.给出以下两个命题，则（ ）. ①若是平行四边形，但不是菱形，则可能是菱形； ②若不是平行四边形，则可能是平行四边形. A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三.简答题（14+14+14+18+18） 17. 如图，在长方体中，，，. （1）求证：； （2）若该长方体沿着截面去掉三棱锥，求剩下的多面体的体积. 18. 如图，在正四棱锥中，，. （1）求四棱锥的表面积； （2）求二面角的大小.（结果用反三角表示） 19. 陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成（如图）.已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上. （1）若圆柱的高为，求该陀螺的体积及表面积； （2）规定陀螺圆锥的顶点S到圆柱中离它远的底面距离为陀螺的高，要使陀螺的圆柱的侧面积最大.此时陀螺的高是多少呢？ 20. 如图，已知四边形是矩形，平面，且，M､N是线段､上的点，满足. （1）若，求证：直线平面； （2）是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由； （3）若，求直线与直线所成角的最大值. 21. 如图，在四棱锥中，已知平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，，，. （1）证明：； （2）线段CP上是否存在一点M，使得直线AM垂直平面PCD，若存在，求出线段AM的长，若不存在，说明理由； （3）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $