江西省赣州市南康区第十中学2024～2025学年上学期人教版九年级数学第二次月考模拟试卷

人教版上学期九年级数学 第二次月考模似试卷（含答案） 一．选择题（共10小题） 1．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 2．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+y＝3 B．3x+y﹣5＝0 C． D．x2﹣8＝0 3．一元二次方程3x﹣x2﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣1，2 B．3，﹣1，﹣1 C．﹣1，3，﹣2 D．﹣1，3，2 4．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：则当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 6 3 2 3 m … A．2＜y＜6 B．2≤y＜6 C．3＜y＜6 D．3≤y＜6 5．把抛物线y＝x2﹣4x+2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（　　） A．（5，﹣4） B．（5，0） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，0） 6．将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（　　） A． B．（﹣2，0） C． D． 7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，且正方形A'B'C'O绕点O旋转，已知AB＝2，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（　　） A．2 B． C．1 D．无法确定 8．已知⊙O的半径是6，点A是平面内一点且OA＝8，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 9．如图，将量角器放在英语作业纸上（横线之间互相平行），其中两条线与量角器外图的交点分别为A，D，B，C，连接BC，AC．若A，B两点分别在量角器外圈的60°与30°的刻度处，则∠ACB的度数为（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 10．图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜45°，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y＝x2﹣16； 结论Ⅱ：图2中，点P到杯口AB的距离为5 A．Ⅰ不对Ⅱ对 B．Ⅰ对Ⅱ不对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 二．填空题（共8小题） 11．二次函数y＝﹣x2+1的图象开口方向是 　 　（填“向上”或“向下”）． 12．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 　 　． 13．已知x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx＝0的一个根，则m＝　 　． 14．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 　 　． 15．在⊙O中，弦AB的长是⊙O的半径长的倍，则弦AB所对的圆周角等于 　 　． 16．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的格点D有 　 　个． 17．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一动点，连接AC，BC，若⊙O的半径为5，AB＝8，则三角形ABC面积最大值为 　 　． 18．△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为2.5的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ 　 　°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 　 　． 三．解答题（共9小题） 19．用适当的方法解下列方程： （1）x2+5x﹣1＝0； （2）7x（5x+2）＝6（5x+2）； 20． 若方程（m2﹣1）x2+2（m+1）x+1＝0没有实数根，试判定方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0的根的情况． 21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值． 22．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点B的对应点为D，点C的对应点为E． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接CE，若∠ACB＝120°，请判断直线BC是否经过点E，并说明理由． 23．如图，CD是⊙O的直径，A为DC的延长线上一点，点E在⊙O上，∠EOD＝81°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数． 24．如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为3m（最高点到地面的距离），把它放在直角坐标系中，其解析式为． （1）求城门洞最宽处AB的长（保留根号）； （2）现在有一高2.2m，宽1.8m的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由． 25．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ，PB，PC． （1）求证CP＝BQ； （2）若PA＝6，PB＝8，PC＝10．求四边形APBQ的面积． 26．如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是弧CD的“幸运角”，如图， （1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图3，若直径AB＝2，弦CE⊥AB，弧CD的“幸运角”为90°，求CD的长． 27．抛物线L：y1＝x2﹣2bx+c与直线L′：y2＝kx+2交于A、B两点，且A（2，0）． （1）求k和c的值（用含b的代数式表示c）； （2）当b＝0时，抛物线L与x轴的另一个交点为C． ①求△ABC的面积； ②当﹣1≤x≤5时，则y1的取值范围是 　 　． （3）抛物线L：y1＝x2﹣2bx+c的顶点M（b，n），求出n与b的函数关系式；当b为何值时，点M达到最高． （4）在抛物线L和直线L′所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当b＝﹣20时，直接写出“美点”的个数 　 　． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根，则a的值为（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．2 D．3 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝1代入方程得到关于a的一次方程，然后解一次方程即可． 【解答】解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+2＝0的一个根， ∴1+a+2＝0， ∴a＝﹣3． 故选：A． 2．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x2+y＝3 B．3x+y﹣5＝0 C． D．x2﹣8＝0 【分析】根据一元二次方程的概念进行判断即可． 【解答】解：A、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程； B、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程； C、选项中未知数出现在分母里，不是整式方程，所以不是一元二次方程； D、选项中未知数只有一个并且未知数的次数最高为2次，所以是一元二次方程； 故选：D． 3．一元二次方程3x﹣x2﹣2＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，﹣1，2 B．3，﹣1，﹣1 C．﹣1，3，﹣2 D．﹣1，3，2 【分析】将方程整理成一般形式，注意各系数需要带上前面的正负号即可． 【解答】解：根据题意可知，3x﹣x2﹣2＝0变形为：﹣x2+3x﹣2＝0，该一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是：﹣1，3，﹣2． 故选：C． 4．已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如表所示：则当0＜x＜3时，y的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 6 3 2 3 m … A．2＜y＜6 B．2≤y＜6 C．3＜y＜6 D．3≤y＜6 【分析】判断出抛物线的对称轴是直线x＝1，开口方向向上，可得结论． 【解答】解：∵x＝0或2时，y的值为3， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1， ∵x＝1时，y＝2， ∴抛物线开口向上， ∵0＜x＜3，x＝3时，y＝6， ∴2≤y＜6． 故选：B． 5．把抛物线y＝x2﹣4x+2向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（　　） A．（5，﹣4） B．（5，0） C．（﹣1，﹣4） D．（﹣1，0） 【分析】先写成平移前的抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标减，向下平移，纵坐标减解答即可． 【解答】解：抛物线y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2的顶点坐标为（2，﹣2）， ∵向左平移3个单位，再向下平移2个单位， ∴横坐标为2﹣3＝﹣1，纵坐标为﹣2﹣2＝﹣4， ∴所得抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 故选：C． 6．将△OBA按如图方式放置在平面直角坐标系xOy中，其中∠OBA＝90°，∠A＝30°，顶点A的坐标为，将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（　　） A． B．（﹣2，0） C． D． 【分析】6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可． 【解答】解：如图， ∵A（1，），∠ABO＝90°， ∴OB＝1，AB＝， ∵∠A＝30°， ∴OA＝2OB＝2， ∵将△OBA绕原点逆时针旋转，每次旋转60°， ∴第一次旋转后的坐标为（﹣1，）， 第二次旋转后的坐标为（﹣2，0）， 第三次旋转后的坐标为（﹣1，﹣）， 第四次旋转后的坐标为（1，﹣）， 第五次旋转后的坐标为（2，0）， 第六次旋转后的坐标为（1，）， •••， 6次一个循环， ∵2024÷6＝337……2， ∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（﹣2，0）， 故选：B． 7．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A'B'C'O与正方形ABCD的边长相等，且正方形A'B'C'O绕点O旋转，已知AB＝2，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（　　） A．2 B． C．1 D．无法确定 【分析】设AB与OA′交于点E，BC与OC′交于点F，证明△EOB≌△FOC，则△EOB面积＝△FOC面积，由此可得四边形EBFO面积＝△OBC面积． 【解答】解：设AB与OA′交于点E，BC与OC′交于点F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠EBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC． ∵∠EOB+∠FOB＝90°，∠FOC+∠FOB＝90°， ∴∠EOB＝∠FOC． ∴△EOB≌△FOC（ASA）． ∴△EOB面积＝△FOC面积， ∴四边形EBFO面积＝△OBC面积． ∵正方形ABCD的边长为2， 所以正方形ABCD的面积为4， 则△OBC面积＝正方形ABCD面积＝1． 故选：C． 8．已知⊙O的半径是6，点A是平面内一点且OA＝8，则点A与⊙O的位置关系是（　　） A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．无法确定 【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法对点A与⊙O的位置关系进行判断即可． 【解答】解：∵⊙O的半径为6，OA＝8， ∴点A到圆心的距离大于圆的半径， ∴点A在⊙O外． 故选：B． 9．如图，将量角器放在英语作业纸上（横线之间互相平行），其中两条线与量角器外图的交点分别为A，D，B，C，连接BC，AC．若A，B两点分别在量角器外圈的60°与30°的刻度处，则∠ACB的度数为（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 【分析】记量角器中心为点O，连接AO，BO，BC，由已知条件可得出∠AOB＝60°﹣30°＝30°，由圆周角定理，即可得出∠ACB＝15°． 【解答】解：记量角器中心为点O，连接AO，BO，BC， ∵A，B两点分别在量角器外圈的60°与30°的刻度处， ∴∠AOB＝60°﹣30°＝30°， ∴， 故选：D． 10．图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线AC，BD为某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜45°，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为y＝x2﹣16； 结论Ⅱ：图2中，点P到杯口AB的距离为5 A．Ⅰ不对Ⅱ对 B．Ⅰ对Ⅱ不对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【分析】根据题意建立的平面直角坐标系求出二次函数的解析式即可判断Ⅰ，设出点P的坐标，根据题意找出点P横坐标和纵坐标之间的关系即可求出PE的长，从而求出点P到杯口AB的距离即可判断Ⅱ． 【解答】解：过点P作PE⊥x轴， 则点A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12）， 设y＝a（x+4）（x﹣4）， 把点C的坐标代入得，﹣12＝a（﹣2+4）（﹣2﹣4）， 解得a＝1， ∴y＝（x+4）（x﹣4）＝x2﹣16，故结论Ⅰ正确； 设点P（x，y）， ∵∠ABP＝45°， ∴△PBE是等腰直角三角形， ∴PE＝BE＝4﹣x＝﹣y， ∴4﹣x＝﹣（x2﹣16）， 解得x1＝﹣3，x2＝4（舍去）， ∴y＝9﹣16＝﹣7， ∴PE＝7，即点P到杯口AB的距离为7，故结论Ⅱ不正确． 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．二次函数y＝﹣x2+1的图象开口方向是 　向下　（填“向上”或“向下”）． 【分析】依据题意，根据a的符号判断抛物线的开口方向． 【解答】解：在y＝﹣x2+1中， ∵a＝﹣1＜0， ∴二次函数y＝﹣x2+1的图象的开口方向向下． 故答案为：向下． 12．若m、n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根，则m2+4m+n的值是 　6　． 【分析】利用一元二次方程的解，可得出m2+3m＝9，利用根与系数的关系，可得出m+n＝﹣3，再将其代入m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）中，即可求出结论． 【解答】解：∵m是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的根， ∴m2+3m﹣9＝0， ∴m2+3m＝9． ∵m，n是一元二次方程x2+3x﹣9＝0的两个根， ∴m+n＝﹣3， ∴m2+4m+n＝（m2+3m）+（m+n）＝9﹣3＝6． 故答案为：6． 13．已知x＝2是关于x的一元二次方程x2﹣mx＝0的一个根，则m＝　2　． 【分析】把x＝2代入一元二次方程得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可． 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣mx＝0得4﹣2m＝0， 解得m＝2． 故答案为：2． 14．将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 　y＝﹣2（x+4）2﹣5　． 【分析】根据“左加右减，上加下减”即可求解． 【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝﹣2（x+1+3）2﹣3﹣2＝﹣2（x+4）2﹣5， 故答案为：y＝﹣2（x+4）2﹣5． 15．在⊙O中，弦AB的长是⊙O的半径长的倍，则弦AB所对的圆周角等于 　60°或120°　． 【分析】作OC⊥AB于C，∠APB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，根据垂径定理得AC＝BC，由于AB：OA＝：1，则AC：OA＝：2，在Rt△OAC中，根据余弦的定义可求出∠OAC＝30°，则∠AOB＝120°，然后根据圆周角定理得到∠APB＝∠AOB＝60°，根据圆内接四边形的性质得到∠ADB＝180°﹣∠APB＝120°． 【解答】解：作OC⊥AB于C，∠APB和∠ADB为弦AB所对的圆周角，如图， ∵OC⊥AB， ∴AC＝BC， ∵AB：OA＝：1， ∴AC：OA＝：2， 在Rt△OAC中，cos∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝30°， 而OA＝OB， ∴∠OBA＝30°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠APB＝∠AOB＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠APB＝120°， 即弦AB所对的圆周角等于60°或120°． 故答案为：60°或120°． 16．如图，点A、B、C都在方格纸的格点上，请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，这样的格点D有 　4　个． 【分析】利用轴对称图形的性质，分别得出符合题意的图形即可． 【解答】解：如图所示：符合题意有4个点． 故答案为：4． 17．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O上一动点，连接AC，BC，若⊙O的半径为5，AB＝8，则三角形ABC面积最大值为 　32　． 【分析】过点O作AB的垂线，垂足为D，延长DO交⊙O于点C1，连接OA，AC1，BC1，C1D就是点C到AB的最大距离，△ABC1的面积就是△ABC的最大面积，根据垂径定理和勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过点O作AB的垂线，垂足为D，延长DO交⊙O于点C1，连接OA，AC1，BC1， ∵AB＝8，OA＝5， ∴AD＝AB＝×8＝4， 在Rt△AOD中，OD＝＝＝3， ∴C1D＝5+3＝8， ∴点C到AB距离的最大值为8， ∴△ABC面积的最大值为． 故答案为：32． 18．△ABC是边长为5的等边三角形，△DCE是边长为2.5的等边三角形，直线BD与直线AE交于点F．如图，若点D在△ABC内，∠DBC＝20°，则∠BAF＝ 　80　°；现将△DCE绕点C旋转1周，在这个旋转过程中，线段AF长度的最小值是 　　． 【分析】第一个问题证明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠DBC＝∠EAC＝20°，可得∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°．第二个问题，如图1中，设BF交AC于点T．证明∠BCT＝∠AFT＝60°，推出点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD，求出AE，EF可得结论． 【解答】解：∵△ACB，△DEC都是等边三角形， ∴AC＝CB，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴∠DBC＝∠EAC＝20°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠BAF＝∠BAC+∠CAE＝80°． 如图1中，设BF交AC于点T． 同法可证△BCD≌△ACE， ∴∠CBD＝∠CAF， ∵∠BTC＝∠ATF， ∴∠BCT＝∠AFT＝60°， ∴点F在△ABC的外接圆上运动，当∠ABF最小时，AF的值最小，此时CD⊥BD， ∴BD＝＝＝， ∴AE＝BD＝，∠BDC＝∠AEC＝90°， ∵CD＝CE，CF＝CF， ∴Rt△CFD≌Rt△CFE（HL）， ∴∠DCF＝∠ECF＝30°， ∴EF＝CE•tan30°＝， ∴AF的最小值＝AE﹣EF＝﹣＝， 故答案为：80，． 三．解答题（共9小题） 19．用适当的方法解下列方程： （1）x2+5x﹣1＝0； （2）7x（5x+2）＝6（5x+2）； 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解答】解（1）∵x2+5x﹣1＝0， ∴a＝1，b＝5，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×（﹣1）＝29＞0， ∴， 解得； （2）∵7x（5x+2）＝6（5x+2）， ∴7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0， ∴（7x﹣6）（5x+2）＝0， ∴7x﹣6＝0或5x+2＝0， 解得； 20．若方程（m2﹣1）x2+2（m+1）x+1＝0没有实数根，试判定方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0的根的情况． 【分析】先根据方程（m2﹣1）x2+2（m+1）x+1＝0没有实数根，求出m＜﹣1，然后分两种情况：当m＜﹣1且m≠﹣3时，当m＝﹣3时，讨论方程根的情况． 【解答】解：∵（m2﹣1）x2+2（m+1）x+1＝0没有实数根， ∴[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）＜0，或m2﹣1＝0且m+1＝0， 解得：m＜﹣1或m＝﹣1， 当m＜﹣1且m≠﹣3时，方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0中， Δ＝[﹣2（m﹣3）]2﹣4（m+3）（﹣m﹣5） ＝8m2+8m+96 ＝8（m2+m）+96 ＝， 又∵， ∴， ∴Δ＞0， ∴此时方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0有两个不相等的实数根， 当m＝﹣3时，方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0可变为12x﹣2＝0， ∵方程12x﹣2＝0只有一个实数根， ∴当m＝﹣3时，方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0有1个实数根． 当m＝﹣1时，方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0可化为2x2+8x﹣6＝0， ∵Δ＝64+48＝112＞0， ∴方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0有两个不相等的实数根， 综上分析可知：方程（m+3）x2﹣2（m﹣3）x﹣m﹣5＝0有2个或1个实数根． 21．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值． 【分析】（1）把A点和B点坐标代入利用待定系数法求解即可； （2）先确定直线OB的解析式为y＝x，则平移后的直线的解析式为y＝x﹣m，利用x2﹣3x＝x﹣m有两个相等的实数解得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，然后解m的方程即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0），B（4，4）两点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x； （2）设OB的解析式为y＝kx， 把B（4，4）代入得4k＝4，解得k＝1， ∴直线OB的解析式为y＝x， ∴直线OB向下平移m个单位长度后得到的直线的解析式为y＝x﹣m， ∵直线y＝x﹣m与抛物线y＝x2﹣3x只有一个公共点D， ∴x2﹣3x＝x﹣m有两个相等的实数解， 整理得x2﹣4x+m＝0， ∵Δ＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4， 即m的值为4． 22．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点B的对应点为D，点C的对应点为E． （1）作出旋转后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）连接CE，若∠ACB＝120°，请判断直线BC是否经过点E，并说明理由． 【分析】（1）结合旋转的性质、等边三角形的性质，先分别以点A，C为圆心，线段AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，再以点E为圆心，线段BC的长为半径画弧，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AE，DE，AD即可． （2）由旋转可得，∠EAC＝60°，AE＝AC，则△ACE为等边三角形，可得∠ACE＝60°，进而可得∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝180°，则点B，C，E在一条直线上，即可得直线BC经过点E． 【解答】解：（1）如图，先分别以点A，C为圆心，线段AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，再以点E为圆心，线段BC的长为半径画弧，以点A为圆心，线段AB的长为半径画弧，两弧交于点D，连接AE，DE，AD， 则△ADE即为所求． （2）直线BC经过点E． 理由：由旋转可得，∠EAC＝60°，AE＝AC， ∴△ACE为等边三角形， ∴∠ACE＝60°， ∵∠ACB＝120°， ∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝180°， ∴点B，C，E在一条直线上， ∴直线BC经过点E． 23．如图，CD是⊙O的直径，A为DC的延长线上一点，点E在⊙O上，∠EOD＝81°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数． 【分析】由AB＝OC得到AB＝BO，则∠A＝∠2，而∠1＝∠E，因此∠EOD＝3∠A＝81°，即可求出∠A． 【解答】解：连OB，如图， ∵AB＝OC，OB＝OC， ∴AB＝BO， ∴∠A＝∠2， 而∠1＝∠A+∠2， ∴∠1＝2∠A， ∵OB＝OE， ∴∠1＝∠E， ∴∠E＝2∠A， 而∠EOD＝∠A+∠E＝81°， ∴3∠A＝81°， 所以∠A＝27°． 24．如图所示，有一城门洞呈抛物线形，拱高为3m（最高点到地面的距离），把它放在直角坐标系中，其解析式为． （1）求城门洞最宽处AB的长（保留根号）； （2）现在有一高2.2m，宽1.8m的小型运货车，问它能否完全通过此城门？请说明理由． 【分析】（1）令抛物线y＝﹣x2＝﹣4，解得A、B横坐标，可求出城门洞最宽处AB的长， （2）设小货车行驶到城门正中央，用矩形CDEF表示小货车的横侧面，F点横坐标为1.1，在抛物线上当x＝1.1时，求出G点纵坐标和小货车的高CF作比较，得出结论． 【解答】解：（1）令抛物线y＝﹣x2＝﹣3， 解得x＝±， 故城门洞最宽处AB的长为6m； （2）小货车能完全通过此城门洞． 理由：如图，设小货车行驶到城门正中间，用矩形CDEF表示小货车的横截面， 则ED、FC均垂直AB，E、F到AB的距离均为2.2m，F点的横坐标为0.9， 设CF的延长线交抛物线于点G，则点G横坐标为0.9， ∴G点纵坐标为﹣0.54，点G到AB的距离为3﹣0.54＝2.46＞2.2， 故小型运货车能完全通过此城门洞． 25．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ，PB，PC． （1）求证CP＝BQ； （2）若PA＝6，PB＝8，PC＝10．求四边形APBQ的面积． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得∠BAC＝60°，AB＝AC，再根据旋转的性质得AP＝AQ，∠PAQ＝60°，则可判断△APQ为等边三角形，所以PQ＝AP，接着证明△APC≌△ABQ得到PC＝QB； （2）利用勾股定理的逆定理证明△PBQ为直角三角形，再根据三角形面积公式，利用S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ进行计算． 【解答】（1）证明：连接PQ，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ， ∴AP＝AQ，∠PAQ＝60°， ∴△APQ为等边三角形， ∴PQ＝AP， ∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°， ∴∠CAP＝∠BAQ， 在△APC和△ABQ中， ， ∴△APC≌△ABQ（SAS）， ∴PC＝QB； （2）解：∵PA＝6，PB＝8，PC＝10， ∴PA＝6＝PQ，BQ＝PC＝10， 在△BPQ中， ∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102， 而64+36＝100， ∴PB2+PQ2＝BQ2， ∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9． 26．如图1，C，D是半圆ACB上的两点，点P是直径AB上一点，且满足∠APC＝∠BPD，则称∠CPD是弧CD的“幸运角”，如图， （1）如图2，若弦CE⊥AB，D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P，连接CP．求证：∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图3，若直径AB＝2，弦CE⊥AB，弧CD的“幸运角”为90°，求CD的长． 【分析】（1）根据垂径定理易得△CEP是等腰三角形，再根据等腰三角形“三线合一”的知识及对顶角的性质可得； （2）连接OC，OD，根据垂径定理求得∠CED＝45°，进而得出∠COD＝90°，再用勾股定理即可． 【解答】解：（1）∵AB是直径，CE⊥AB， ∴AB平分CE， ∴△CEP是等腰三角形， ∵CE⊥AB， ∴∠CPA＝∠EPA， ∵∠EPA＝∠BPD， ∴∠CPA＝∠BPD， ∴∠CPD是弧CD的“幸运角”； （2）如图，连接OC，OD， ∵弧CD的“幸运角”为90°， ∴∠CPD＝90°， ∴， ∵CE⊥AB， ∴∠CED＝90°﹣45°＝45°， ∴∠COD＝2∠CED＝90°， ∵AB＝2， ∴， ∴， 即CD的长为． 27．抛物线L：y1＝x2﹣2bx+c与直线L′：y2＝kx+2交于A、B两点，且A（2，0）． （1）求k和c的值（用含b的代数式表示c）； （2）当b＝0时，抛物线L与x轴的另一个交点为C． ①求△ABC的面积； ②当﹣1≤x≤5时，则y1的取值范围是 　﹣4≤y1≤21　． （3）抛物线L：y1＝x2﹣2bx+c的顶点M（b，n），求出n与b的函数关系式；当b为何值时，点M达到最高． （4）在抛物线L和直线L′所围成的封闭图形的边界上把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当b＝﹣20时，直接写出“美点”的个数 　90　． 【分析】（1）将点A（2，0）分别代入抛物线L与直线a解析可得结论； （2）①由b＝0可得出c＝﹣4，令x＝0，可得出x的值，进而可得出点C的坐标，联立抛物线L与直线L′的解析式，可得出点B的坐标，再根据三角形的面积公式可得出结论；②根据抛物线的性质可得出当﹣1≤x≤5时，抛物线的增减性，进而可得出y的取值范围； （3）将抛物线的解析式化为顶点式，可得出n的值，进而可得出n与b的函数关系式，根据二次函数的性质可得出结论； （4）求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“美点”的个数． 【解答】解：（1）将点A（2，0）代入直线L′：y＝kx+2， ∴2k+2＝0， ∴k＝﹣1， 将点A（2，0）代入抛物线L：y＝x2﹣2bx+c， ∴4﹣4b+c＝0， ∴c＝4b﹣4， 综上，k＝﹣1，c＝4b﹣4． （2）①当b＝0时，c＝﹣4， ∴抛物线L的解析式为：， 令y1＝0，则x＝﹣2或x＝2， ∴C（﹣2，0）， 令x2﹣4＝﹣x+2，解得：x＝﹣3或x＝2， ∴B（﹣3，5）， ∴． ②当﹣1≤x≤5时， 当x＝0时，y1＝﹣4， 当x＝5时，y1＝21， ∴当﹣1≤x≤5时，y的取值范围为：﹣4≤y1≤21． （3）∵抛物线L：y＝x2﹣2bx+4b﹣4＝（x﹣b）2﹣b2+4b﹣4， ∴抛物线的顶点为M（b，n）， ∴n＝﹣b2+4b﹣4＝﹣（b﹣2）2， ∵﹣1＜0， ∴当b＝2时，n的最大值为0，此时点M达到最高． （4）当b＝﹣20时，抛物线L：y＝x2+40x﹣84，直线L′：y＝﹣x+2， 由x2+40x﹣84＝﹣x+2得，x1＝2，x2＝﹣43， ∴抛物线L和直线L′的交点是（2，0）和（﹣43，45）， 当﹣43≤x≤2时，在L和L′上的边界上，当横坐标x是整数时，纵坐标y也是整数， ∴“美点”共有：46×2﹣2＝90个 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