精品解析：宁夏回族自治区银川市贺兰县第一中学2025届高三上学期第二阶段考试数学试卷

贺兰一中2024~2025学年第一学期高三年级第二阶段考试试卷（数学） 命卷人：南江华 审卷人：马应龙 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义直接求解即可. 【详解】集合或，所以. 故选：C 2. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由任意角三角函数值的定义可求得，利用二倍角的正弦公式求得结果. 【详解】终边与单位圆交于 ， 故选： 【点睛】本题考查任意角三角函数值的定义、二倍角正弦公式的应用，属于基础题. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】证明函数为奇函数，确定函数图象关于原点对称，排除AC，再通过计算，确定正确选项. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称，选项AC错误； 又，所以选项B错误. 选项D满足以上特征. 故选：D． 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将化简，再根据充分必要条件关系判断. 【详解】或， 由成立可以推出或，但或成立不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，则，，，再利用作商得，可得. 【详解】，，，，， 又，，. 故选：D. 6. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（　　）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案. 【详解】由及正弦定理，得， 又，故，又，故． 因为，由余弦定理，得， 所以，所以是以为直角的直角三角形． 故选：B 7. 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可. 【详解】因为，所以， 令，则方程有2个根， 所以，解得， 则的取值范围是． 故选：B 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 函数有11个零点 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项：根据为奇函数，为偶函数，得到的对称中心、对称轴和周期，然后根据周期性和解析式即可判断；对于B选项：根据关于对称和的周期为8，可得到关于直线对称，进而判断；对于C选项：根据解析式、对称性和周期性画出函数图象，然后根据图象即可判断；对于D选项：将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标，然后结合图象即可判断． 【详解】因为为奇函数， 所以关于点对称，即， 因为为偶函数， 所以关于直线对称，即， 所以， 所以， 所以， 可得到周期为8， 对于A选项：因为，所以， 所以，故选项A正确； 对于B选项：因为关于直线对称，周期为8， 所以关于直线对称， 所以为偶函数，故B正确； 对于C选项：结合图象可得在上为减函数，故C选项错误； 对于D选项：画出函数与图象， 可知这两个图象只有11个交点， 所以函数有11个零点，故D选项正确． 故选：C． 【点睛】方法点睛：函数零点问题的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项由正弦定理计算判断即可；B选项由余弦定理计算判断即可；C选项由三角形面积公式计算判断即可；D选项利用余弦定理可求得，进而可得，结合正弦定理求解即可. 【详解】因为，，，所以由正弦定理，得，故A正确； 由余弦定理得，，因为，所以，故B错误； 的面积为，故C正确； 由余弦定理，得，因为，所以， 因为，是的角平分线，所以， 所以. 在中，由正弦定理，得·解得，故D错误. 故选：AC. 10. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的解析式可以为 C. 函数在上的值域为 D. 若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据图象确定函数的解析式，分析函数的性质，可判断AC的真假，结合诱导公式判断B的真假，结合函数的图象变换可判断D的真假. 【详解】由图象可知：，，所以，又，所以. 又由，且，所以. 所以. 对A：因为，所以不是函数的对称中心，故A错误； 对B：因为，故B正确； 对C：由，所以，所以，故C正确； 对D：把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得，再把所得函数图象向右平移个单位，得，故D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：三角函数的图象平移时，“左加右减”要注意在“”上加减. 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 若满足，则 D. 当时，若在上有最大值，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据导数的形式讨论导数的符号后可判断A的正误，再讨论单调性后可判断BD的正误，根据题设中的恒等式可求的值，故可判断C的正误. 【详解】对于A，， 当时，或时，；当时，， 故为的极大值点，故A正确； 对于B，当时，由A的分析同理可得： 当或时，；当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 而，， ，故只有一个零点； 对于C， ， 由题设可得恒成立， 故即，故C正确. 对于D，取，由B的分析可得： 在为增函数，在上为减函数，在为增函数， 而，，此时在无最大值， 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 【详解】，根据弧长公式， 则，所以扇形的面积为. 故答案为： 13. 某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先在中利用正弦定理求出，再在中利用余弦定理求出. 【详解】在中，，则， 由正弦定理得，， 得，得， 在中，，， 则由余弦定理得， 所以. 故答案为： 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正余弦定理，结合三角恒等变换得到，再利用基本不等式即可得解. 【详解】由余弦定理得， 两式相减得， 因为，所以， 由正弦定理得， 即， 所以， 则， 因为在中，不同时为，，故， 所以， 又，所以，则，故，则， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最大值为. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 四、解答题：本题共5小题，其共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2）最小正周期，， 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由余弦二倍角公式得到，从而得到； （2）利用三角恒等变换得到，利用得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间. 【小问1详解】 因为，且， 所以，， 所以． 【小问2详解】 ， 所以函数的最小正周期． 由，， 解得，． 所以函数的单调递减区间，． 16. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求a的值，并求函数的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为 （2）最大值为，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）求导，根据得到，由求出单调递增区间，由求出单调递减区间； （2）在（1）求出单调性的基础上，得到最值. 【小问1详解】 ， 由题意得，解得， ，定义域为R， ， 令得或，令得， 故单调递增区间为，单调递减区间为， 此时函数在处取得极小值，满足题意； 【小问2详解】 由（1）知，故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 又，其中， 故在区间上的最小值为1， 综上，在区间上的最大值为，最小值为1. 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元，设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润． 【答案】（1） （2）当时，取得最大值为3680万元 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，，分别求出当时和当时的年利润，即可求解； （2）分类讨论，当时根据二次函数的单调性求出最大值，当时，根据基本不等式求出最大值，综合分析即可求解． 【小问1详解】 因为当生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元， 所以，解得， 当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元， 所以，解得， 当时， ， 当时， ， 综上所述，． 【小问2详解】 当时，单调递增，所以； 当时，， 由于， 当且仅当，即时取等号，此时的最大值为， 综上所述，当时，取得最大值为3680万元． 18. 如图，在四边形ABCD中，，，，． （1）求的大小； （2）求的面积的最大值 （3）若，求的面积． 【答案】（1） （2）的面积的最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得出，再根据，即可得出； （2）由余弦定理结合基本不等式得出，最后由三角形的面积公式得出面积的最大值. （3）利用两角和的正弦公式可求得，再利用正弦定理可求得，可求的面积. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得， 因为，，所以， 因为，所以，所以， 所以； 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理可得 ，即，当且仅当时取等号， 所以， 故的面积的最大值为； 【小问3详解】 因为，所以， 所以 ， 在中，由正弦定理可得，即， 所以， 所以， 所以的面积为. 19. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程. （2）讨论的单调性. （3）求证：若，有且仅有一个零点. 【答案】（1）； （2）当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，； 当时，函数的递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，. （3）证明:①当时，函数在上单调递减，而，， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； ②当时，函数在处取得极小值， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， ，当时，，则， 因此存在唯一使，则有且仅有一个零点； ③当时，函数在处取得极小值，， 同理存在唯一使，则有且仅有一个零点， 所以有且仅有一个零点. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）根据给定条件，按，，，分类，利用导数求出单调区间. （3）利用（2）的结论，结合零点存在性定理推理证明即可. 【小问1详解】 当时，，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为， 求导得， ①当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减； ③当时，，函数在上单调递减； ④当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，； 当时，函数的递减区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺兰一中2024~2025学年第一学期高三年级第二阶段考试试卷（数学） 命卷人：南江华 审卷人：马应龙 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合或，则（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知 则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．则为（　　）． A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 7. 已知函数在区间上有且仅有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 函数有11个零点 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知△ABC中，内角的对边分别为为延长线上一点，的平分线交直线于，若，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 10. 在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的图象关于点成中心对称 B. 函数的解析式可以为 C. 函数在上的值域为 D. 若把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位，则所得函数是 11. 设函数，则（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 当时，有三个零点 C. 若满足，则 D. 当时，若在上有最大值，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 13. 某海警船在处看灯塔在它的北偏东，距离为，在处看灯塔在海警船的北偏西，距离为，海警船由处向正北航行到处时，再看灯塔在南偏东，则灯塔与处之间的距离为_______． 14. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，其共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间． 16. 已知函数（）在处取得极小值. （1）求a的值，并求函数的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 17. 学习机是一种电子教学类产品，也统指对学习有辅助作用的所有电子教育器材，某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元，设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （2）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润． 18. 如图，在四边形ABCD中，，，，． （1）求的大小； （2）求的面积的最大值 （3）若，求的面积． 19. 已知函数. （1）若，求在处的切线方程. （2）讨论的单调性. （3）求证：若，有且仅有一个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $