精品解析：四川省德阳市第二中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

德阳二中初2025届初三上期期中学情调研 数 学 试 卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题（本题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个正确选项） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是二元二次方程，不是一元二次方程； B、 是分式方程，不是一元二次方程； C、 是一元二次方程； D、 是一元三次方程，不是不是一元二次方程； 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把常数项移到右边，然后两边配上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， ∴ ，即， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了配方法，熟知配方法的步骤是解题的关键． 3. 对于抛物线的说法错误的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是（1，2） C. 抛物线的对称轴是直线 x＝1 D. 当x＜1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】找到题目中函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及增减性后即可得到答案． 【详解】解：y＝﹣（x﹣1）2+2中，a＝﹣＜0，开口向下；顶点坐标为（1，2）；对称轴为x＝1；当x＞1时，y随着x的增大而减小． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图像及其性质，掌握二次函数的图象性质是解此题的关键． 4. 我市某楼盘准备以每平方9000元的均价对外销售，由于考虑经济受疫情影响，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方7290元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ） A. 9% B. 8% C. 10% D. 11% 【答案】C 【解析】 【分析】设平均每次下调的百分率为x，然后根据题意可列方程进行求解． 【详解】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴平均每次下调的百分率为10％； 故选C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 5. 已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则第三边长是 （ ） A. 5 B. 5或11 C. 6 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】求出方程的解x1=11，x2=5，分为两种情况：①当x=11时，此时不符合三角形的三边关系定理；②当x=5时，此时符合三角形的三边关系定理，即可得出答案． 【详解】解：x2-16x+55=0， （x-11）（x-5）=0， x-11=0，x-5=0， 解得：x1=11，x2=5， ①当x=11时， ∵4+7=11， ∴此时不符合三角形的三边关系定理， ∴11不是三角形的第三边； ②当x=5时，三角形的三边是4、7、5， ∵此时符合三角形的三边关系定理， ∴第三边长是5． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理的应用，注意：求出的第三边的长，一定要看看是否符合三角形的三边关系定理，即a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b，题型较好，但是一道比较容易出错的题目． 6. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别计算出自变量为，和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得 故 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是本题的关键． 7. 如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解是或 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意； 方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 8. 将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， 而点向左平移2个，再向下平移3个单位可得到， 所以抛物线向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x2+2x+3． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式；二是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式． 9. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象．正确的（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答，根据题意和二次函数与一次函数的图象的特点，先求出它们的交点坐标，然后再判断哪个选项符合要求，进而即可得解． 【详解】解：令， 解得，，， 二次函数与一次函数的交点为，， 故选项、、不合题意； 选项中二次函数中，0，一次函数中，，交点符合求得的交点的情况， 故选项符合题意， 故选：． 10. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 【答案】B 【解析】 【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h-=-3，-h+=2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法． 11. 如图，等腰的边与正方形的边重合，．从如图所示位置水平向右匀速运动，直到点落在边上．设，运动过程中与正方形的重合部分面积为，则能反映与的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于△ABC是等腰直角三角形，依题意知道在开始移动时△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积逐渐增加，当点落在边DE边上，直到AB与GF重合，面积保持不变，之后面积开始逐渐减小，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积y与x函数的关系式函数二次函数，利用这些结论即可求解 【详解】∵△ABC是等腰直角三角形， 依题意知在开始移动时△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积逐渐增加， ∴ 当点落在边DE边上，直到AB与GF重合，面积保持不变， 之后面积开始逐渐减小， D选项符合题意， 故选：D. 【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出函数关系式，最后利用数形结合的思想即可解决问题. 12. 若实数a使关于x的不等式组，有且只有四个整数解；关于x的二次函数y＝x2﹣3ax+1，当时，y随着x的增大而减小，则符合条件的所有整数a的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，再结合只有四个整数解列出关于a的不等式，求出a的取值范围，然后由二次函数的增减性求出a的取值范围，最后结合两个a的范围找出符合条件的a的个数． 【详解】解：， 解：由①可得：， ， ， 由②可得：， ， , 所以不等式组的解集是：≤x＜5， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴0＜≤1， 解得：﹣2＜a≤4， ∵二次函数y＝x2﹣3ax+1图象开口向上，对称轴为直线x＝，当时，y随着x的增大而减小， ∴， 解得：a≥1， ∴1≤a≤4， ∵a为整数， ∴a可取1，2，3，4． 故选C． 【点睛】本题主要考查了已知不等式组的整数求参数的取值范围问题、已知二次函数的增减性求参数的取值范围问题，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数图象性质. 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 抛物线的图象经过，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由题意把代入抛物线即可求得结果，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 14. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程得到关于m的方程，解关于m的方程，得出m的值，再利用一元二次方程的定义确定满足条件的m的值即可． 【详解】解：把代入(m+1)x2−3x+m2−1=0得，， 解得：， ∵当时，二次项系数， ∴不符合题意， ∴m的值为1． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15. 已知是方程的两根，则代数式的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，因为是方程的两根，所以，，，再整理计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，，， 即 ∴ ， 故答案为：． 16. 二次函数在范围内的最小值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题中的函数解析式，可以得到该函数在的取值范围内，取得的最小值，从而可以解答本题． 【详解】解：， 可见该二次函数图象的对称轴是x=1，a=1>0，开口向上，且在范围内y随x的增大而增大， ∴当x=2时，． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 17. 抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有________________．     【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与轴交于点、，可知二次函数的对称轴为直线，即，可得与的关系；将、两点代入可得、的关系；函数开口向下，时取得最小值，则，可判断③；根据图象，顶点坐标，判断④；由图象知，从而可以判断⑤．本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是找出图象中和题目中的有关信息，来判断问题中结论是否正确． 【详解】解：二次函数与轴交于点、． 二次函数的对称轴为直线，即． ． ．故①正确， 二次函数与轴交于点、． ，． 又． ，． ，． ．故②错误， 抛物线开口向上，对称轴是直线． 时，二次函数有最小值． 时，． 即．故③正确， ，，是等腰直角三角形． ． 解得，． 设点坐标为． 则． 解得． 点在轴下方． 点为． 二次函数的顶点为，过点． 设二次函数解析式为． ． 解得．故④正确， 由图象可得，． 故是等腰三角形时，的值有2个．故⑤错误， 故正确，错误． 故答案为：． 18. 若关于x的方程恰有三个根，则t的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了方程的根与函数的图象的关系应用及数形结合的思想应用． 作函数的图象，从而利用数形结合解得． 【详解】的根的个数即函数与的图象的交点个数， 由题意作函数的图象如图： 结合图象可知， 当过点或与相切时，两函数图象有三个交点， 将代入得 联立和得：， 则， 解得： 或 故答案为：或． 三、解答题（本题共7个小题，共90分，解答应写过程） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用直接开平方法解方程，即可作答． （2）先化一般式，再运用因式分解法解方程，即可作答． （3）运用因式分解法解方程，即可作答． （4）运用公式法解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ， 则， ∴，． 20. 如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】（1）10 （2） 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是x，则最大数是，根据题意列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数为y，则另外三个数分别是，，，根据题意列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，由在最后一列，可得出假设不成立，即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【小问1详解】 解：设最小数是x，则最大数是， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） 答：最小数是10； 【小问2详解】 略 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求的值 （2）是否存在满足条件的常数，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） 不存在，理由如下： ∵该方程的两解是菱形的两对角线长，设菱形的两对角线长，． ∴，， ∵菱形的两对角线互相垂直平分， ∴由勾股定理得，， 则， 即， ∴， 那么， 得， 解得， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴不存在满足条件的常数． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得，求出k； （2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出k． 【小问1详解】 解：∵方程的两根为菱形相邻两边长， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 则， 那么， 得， 即； 【小问2详解】 略 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出k时，一定注意这个知识点． 22. 阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． （1）已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； （2）仿照上述方法，解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式由，得，再变形原方程便可； （2）设，则，得，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程便可． 【小问1详解】 设， 则， 可化为：， 即， 故答案为：； 【小问2详解】 设，则， 原方程可化为：， 整理得， ， 或， 或， 当时，， 解得， 当时，无解， 检验，当时，左边右边， 是原方程的解， 故原方程的解为：． 【点睛】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法． 23. 瑞安某商场购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，每天可售出件；根据销售经验，销售单价每提高元，销售量每天就相应减少件，设这种商品的销售单价为元． （1）该商品每天的销售量：______（用含的代数式表示）； （2）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求的值； （3）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？ 【答案】（1）件 （2）或 （3）元 【解析】 【分析】（1）根据销售单价每提高元，销售量每天就相应减少件，计算即可； （2）根据“利润值=（销售单价购进单价）销售量”，列出一元二次方程，即可求解； （3）设销售的总利润为元，根据题意列出函数关系式，再利用配方法求得结果． 【小问1详解】 根据题意得，该商品每天的销售量为， 故答案为：件； 【小问2详解】 根据题意得，， 解得或； 【小问3详解】 设销售的总利润为元，根据题意得， ， ∵ 当时，有最大值， 答：当商品的销售单价定为元时，该商店销售这种商品获得的利润最大． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用和配方法的应用，正确理解题意、正确列出一元二次方程是解题关键． 24. 如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． （1）填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示） （2）当t为几秒时，的长度等于？ （3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 【答案】（1） （2） （3）存在，2 【解析】 【分析】（1）由路程速度时间，可直接求解； （2）由勾股定理构建方程求解； （3）由题意可得的面积等于面积的，由三角形的面积公式可求解． 【小问1详解】 点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ，， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，的长等于； 【小问3详解】 存在，理由如下： 若四边形的面积等于面积的， 的面积等于面积的， ， ， 解得：或， 当时， 当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去， 存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的面积公式，一元二次方程的应用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25. 若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． （1）求二次函数的表达式； （2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解； （2）①先求出直线的表达式为，然后设点N的坐标为．可得．可得到，．再由，即可求解；②连接与交与点E．设点M的坐标为，则点N的坐标为 根据正方形的性质可得E的坐标为，进而得到P的坐标．再由点P在抛物线上，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点， ． 又抛物线经过点，对称轴为直线， 解得∶ 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解∶①设直线的表达式为． 点A，B的坐标为，， ∴， 解得∶ ， 直线的表达式为． 根据题意得∶点C与点关于对称轴直线对称， ． 设点N的坐标为． 轴， ． ∴ ． ， 解，得． 点M的坐标； ②连接与交与点E． 设点M的坐标为，则点N的坐标为 四边形是正方形， ，，． ∵MN⊥x轴， 轴． E的坐标为． ． ． ∴P的坐标． 点P在抛物线上， ． 解，得，． 点P在第四象限， 舍去． 即． 点M坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图形和性质，正方形的性质，一次函数的图象和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳二中初2025届初三上期期中学情调研 数 学 试 卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、单选题（本题共12个小题，每小题3分，共36分，每个小题只有一个正确选项） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 对于抛物线的说法错误的是（　　） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标是（1，2） C. 抛物线的对称轴是直线 x＝1 D. 当x＜1时，y随x的增大而减小 4. 我市某楼盘准备以每平方9000元的均价对外销售，由于考虑经济受疫情影响，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方7290元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ） A. 9% B. 8% C. 10% D. 11% 5. 已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程的一个根，则第三边长是 （ ） A. 5 B. 5或11 C. 6 D. 11 6. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（ ） A. 的解集是 B. 的解集是 C. 的解集是 D. 的解是或 8. 将抛物线通过平移后，得到抛物线的解析式为，则平移的方向和距离是（ ） A. 向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B. 向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C. 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D. 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 9. 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象．正确的（　　） A. B. C. D. 10. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 11. 如图，等腰的边与正方形的边重合，．从如图所示位置水平向右匀速运动，直到点落在边上．设，运动过程中与正方形的重合部分面积为，则能反映与的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 12. 若实数a使关于x的不等式组，有且只有四个整数解；关于x的二次函数y＝x2﹣3ax+1，当时，y随着x的增大而减小，则符合条件的所有整数a的个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分） 13. 抛物线的图象经过，则_________. 14. 已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为__________． 15. 已知是方程的两根，则代数式的值是________． 16. 二次函数在范围内的最小值为_____． 17. 抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的有________________．     18. 若关于x的方程恰有三个根，则t的值为__________． 三、解答题（本题共7个小题，共90分，解答应写过程） 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 如图所示的是2024年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 （1）若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． （2）虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 21. 已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求的值 （2）是否存在满足条件的常数，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 22. 阅读理解以下内容，解决问题： 解方程：． 解：， 方程即为：， 设，原方程转化为： 解得，，， 当时，即，，； 当时，即，不成立． 综上所述，原方程的解是，． 以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）． （1）已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______； （2）仿照上述方法，解方程：． 23. 瑞安某商场购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，每天可售出件；根据销售经验，销售单价每提高元，销售量每天就相应减少件，设这种商品的销售单价为元． （1）该商品每天的销售量：______（用含的代数式表示）； （2）若该商场当天销售这种商品所获得的利润为元，求的值； （3）当商品的销售单价定为多少元时，该商店销售这种商品获得的利润最大？ 24. 如图，在中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒． （1）填空：___________， ___________；（用含t的代数式表示） （2）当t为几秒时，的长度等于？ （3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 25. 若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C． （1）求二次函数的表达式； （2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N． ①若点N在线段上，且，求点M的坐标； ②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $