8.11 圆锥曲线——最值、范围问题专项训练模拟练习-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-8.11-圆锥曲线——最值、范围问题-专项训练模拟练习 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(2，1)，渐近线方程为y＝±x，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点． (1)求双曲线C的方程； (2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值． 2．如图，已知双曲线C：－y2＝1，经过点T(1,1)且斜率为k的直线l与C交于A，B两点，与C的渐近线交于M，N两点(从左至右的顺序依次为A，M，N，B)，其中k∈. (1)若点T是MN的中点，求k的值； (2)求△OBN面积的最小值． 3．已知F(，0)是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点，点M在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且kOA＋kOB＝－(O为坐标原点)，求直线l的斜率的取值范围． 4．已知抛物线E：y2＝2px(p>0)，P(4，y0)为E上位于第一象限的一点，点P到E的准线的距离为5. (1)求E的标准方程； (2)设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线PA与PB斜率乘积为－4. ①证明：直线AB过定点； ②求|FA|·|FB|的最小值． 参考答案 1．[解析]　(1)由题设可知解得 则C：－y2＝1. (2)设点M的横坐标为xM>0， 当直线l斜率不存在时，则直线l：x＝2， 易知点M到y轴的距离为xM＝2； 当直线l斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立 整理得(4k2－1)x2＋8kmx＋4m2＋4＝0， Δ＝64k2m2－16(4k2－1)(m2＋1)＝0， 整理得4k2＝m2＋1. 则x1＋x2＝－＝－＝－， 则xM＝＝－>0，即km<0， 则x＝＝4＋>4，即xM>2， ∴此时点M到y轴的距离大于2； 综上所述，点M到y轴的最小距离为2. 2．[解析]　(1)解法一：设M(x1，y1)、N(x2，y2)， 由得＝(y1－y2)(y1＋y2)， 又T(1,1)为MN的中点，∴x1＋x2＝y1＋y2＝2， ∴k＝＝. 解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立直线l与双曲线C的方程消去y得(1－2k2)x2－4k(1－k)x－2(1－k)2－2＝0， 由韦达定理可知， x1＋x2＝，x1·x2＝， 联立直线l与其中一条渐近线方程 解得x＝，即xN＝， 同理可得xM＝， 则xM＋xN＝＝x1＋x2， 则可知AB的中点与MN中点重合． 由于T(1,1)是MN的中点，所以＝2， 解得k＝. (2)y＝k(x－1)＋1与－y2＝1联立，消去y得(1－2k2)x2－4k(1－k)x－2(1－k)2－2＝0， 由(1)知，|BN|＝|AM|＝或S△OBN＝(S△OAB－S△OMN) 由于|AB|＝·， |MN|＝·，所以 |BN|＝·， 又O到直线的距离d＝，所以 S△OBN＝|BN|·d ＝· ＝·， 整理得S△OBN＝·， 令t＝1－k∈， 则＝＝－＋－2， 当＝2，即k＝时，的最大值为2， 所以S△OBN的最小值为. 3．[解析]　(1)由题意，椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为(－，0)， 根据椭圆的定义，可得点M到两焦点的距离之和为＋＝4， 即2a＝4，所以a＝2， 又因为c＝，可得b＝＝1， 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，kOA＋kOB＝0，不符合题意． 故设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组 可得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以kOA＋kOB＝＋ ＝＝2k＋ ＝2k＋＝， 因为kOA＋kOB＝－，可得m2＝4k＋1， 所以k≥－， 又由Δ>0，可得16(4k2－m2＋1)>0，所以4k2－4k>0，解得k<0或k>1， 综上可得，直线l的斜率的取值范围是∪(1，＋∞)． 4．[解析]　(1)由题可知4＋＝5，解得p＝2. 所以E的标准方程为y2＝4x. (2)①由(1)知，y＝4×4，且y0>0， 解得y0＝4，所以P(4,4)． 设A，B，则kPA＝＝， 同理可得，kPB＝， 则kPA·kPB＝·＝－4， 即4(y1＋y2)＋y1y2＋20＝0. 当直线AB斜率存在时，直线AB的方程为 y－y1＝， 整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0. 所以4x－20－(y1＋y2)(y＋4)＝0， 即y＋4＝(x－5)， 所以直线AB过定点(5，－4)； 当直线AB的斜率不存在时y1＋y2＝0， 可得y＝20，x1＝5.综上，直线AB过定点(5，－4)． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时， 设直线AB的方程为y＝k(x－5)－4＝kx－5k－4， 与抛物线E联立得 消去x得k2x2－(10k2＋8k＋4)x＋(5k＋4)2＝0， 由题意Δ>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝＋＋1＝＋36＝202＋≥，所以当＝－，k＝－时，|FA|·|FB|的最小值为； 当直线AB斜率不存在时，x1＝x2＝5. 由抛物线定义知|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)＝36. 故|FA|·|FB|的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$