8.5 椭圆 专项训练模拟练习-2025届高三数学一轮复习

2025高考数学一轮复习-8.5-椭圆-专项训练模拟练习 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值为( ) A．5 B．3 C．5或3 D．20 2．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( ) A. B． C． D． 3．过点，且与双曲线－y2＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为( ) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 4．设椭圆＋＝1的左右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足·＝9，则|PF1|·|PF2|的值是( ) A．14 B．17 C．20 D．23 5．已知点P为椭圆C：＋y2＝1上的一个动点，点F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，当△F1F2P的面积为1时，∠F1PF2＝( ) A. B． C. D． 6．设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a＝( ) A. B． C. D． 7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－2，则椭圆C的方程为( ) A.＋＝1 B．＋＝1 C.＋＝1 D．＋＝1 8．若点(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则的最小值为( ) A．1 B．－1 C．－ D．以上都不对 9．已知F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且＝2，·＝0，则椭圆C的离心率为( ) A. B． C． D． 二、多选题 10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且|PF1|的最大值为3，最小值为1，则( ) A．椭圆C的离心率为 B．△PF2F1的周长为4 C．若∠F2PF1＝60°，则△PF2F1的面积为3 D．若|PF1||PF2|＝4，则∠F2PF1＝60° 11．已知椭圆C：＋＝1焦点在x轴上，且F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上一点，则下列结论正确的是( ) A.<m<1 B．C的离心率为 C．存在m，使得∠F1PF2＝90° D．△F1PF2面积的最大值为 三、填空题 12．已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为 　 　 　. 13．已知A(3,1)，B(－3,0)，P是椭圆＋＝1上的一点，则|PA|＋|PB|的最大值为 　 　 　　. 14．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|AF2|，AF2⊥x轴，则椭圆的离心率为 　 　 　. 15．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，若F关于直线y＝－x的对称点P落在C上或C内，则椭圆C的离心率的取值范围为 　 　 　　. 【B级　能力提升】 1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C上，且PF1⊥F1F2.直线PF2与C交于另一点Q，与y轴交于点M，若＝2，则C的离心率为( ) A. B． C． D． 2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为点F1(－c,0)，F2(c,0)，若椭圆C上存在一点M使得△MF1F2的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的最大值是( ) A. B． C． D． 3．已知椭圆＋＝1，F1，F2为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，cos∠F1PF2＝，则|PO|＝( ) A. B． C． D． 4．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上的一点，则|PF1|·(|PF2|＋2)的最大值为 　 　 　　. 5．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：(x－3)2＋(y－2)2＝1上任意一点，则|MN|－|MF1|的最小值为 　 　 　　. 6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－＝0与圆x2＋y2＝b2相切． (1)求椭圆的方程； (2)过点N(4,0)的直线l与椭圆交于不同两点A，B，线段AB的中垂线为l′，若l′在y轴上的截距为，求直线l的方程． 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( C )[解析]　因为焦距是2，所以c＝1，当焦点在x轴时，a2＝m，b2＝4，∴c2＝a2－b2＝m－4＝1，解得m＝5，当焦点在y轴时，a2＝4，b2＝m，∴c2＝a2－b2＝4－m＝1，解得m＝3，故选C. 2．( B )[解析]　不妨设直线l：＋＝1，即bx＋cy－bc＝0⇒椭圆中心到l的距离＝⇒e＝＝，故选B. 3．( D )[解析]　由题意c＝2，双曲线－y2＝1的左焦点为F1(－2,0)，右焦点为F2(2,0)，设P，则2a＝|PF1|＋|PF2| ＝＋＝2， 所以a＝，b2＝10－4＝6， 所以椭圆的方程为＋＝1.故选D. 4．( D )[解析]　由题意知a＝5，b＝4，∴c＝＝3. 且||＋||＝10，又·＝9，∴||·||·cos ∠F1PF2＝9. 又62＝||2＋||2－2||·||·cos ∠F1PF2 ＝(||＋||)2－2||·||－18＝82－2||·||， ∴|PF1|·|PF2|＝23.故选D. 5．( D )[解析]　易知焦点三角形F1F2P的面积为1，故S△F1F2P＝b2tan＝1，所以tan＝1，则∠F1PF2＝，故选D. 6．( A )[解析]　由e2＝e1，得e＝3e，因此＝3×，而a>1，所以a＝.故选A. 7．( B )[解析]　显然离心率e＝＝＝，解得＝，即b2＝a2，A1，A2分别为C的左右顶点，B为上顶点，则A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，于是＝(－a，－b)，＝(a，－b)，而·＝－2，即－a2＋b2＝－2，又b2＝a2，因此联立解得a2＝8，b2＝6，所以椭圆的方程为＋＝1.故选B. 8．( C )[解析]　设直线y＝k(x－2)，代入椭圆方程消去y得(4＋k2)x2－4k2x＋4k2－4＝0，令Δ＝16k4－4(4＋k2)(4k2－4)＝0，解得k＝±，由图可知，直线与椭圆相切时k取得最值，所以kmin＝－，即的最小值为－.故选C. 9．( C )[解析]　连接NF2，设|NF1|＝n，则|MF1|＝2n， |MF2|＝2a－2n，|NF2|＝2a－n， 在Rt△MNF2中(3n)2＋(2a－2n)2＝(2a－n)2， ∴9n2＋4a2－8an＋4n2＝4a2－4an＋n2， ∴12n2＝4an，n＝， ∴|MF1|＝，|MF2|＝. 在Rt△MF1F2中，4c2＝＋， ∴36c2＝20a2， e2＝＝，又∵e∈(0,1)，∴e＝，故选C. 二、多选题 10．( AD )[解析]　由题意a＋c＝3，a－c＝1，故a＝2，c＝1，故A正确；△PF2F1的周长为2a＋2c＝6，故B错误；若∠F2PF1＝60°，则|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|，即(2c)2＝(2a)2－3|PF1|·|PF2|，故|PF1|·|PF2|＝4，故S△PF2F1＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝，故C错误；由余弦定理|F2F1|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos∠F2PF1＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|(1＋cos∠F2PF1)，即4＝16－2×4(1＋cos∠F2PF1)，解得cos∠F2PF1＝，故∠F2PF1＝60°，故D正确．故选AD. 11．( ACD )[解析]　椭圆C：＋＝1的焦点在x轴上，故m>1－m>0，解得<m<1，A正确；设F1(－c,0)，F2(c,0)，则c2＝m－(1－m)＝2m－1，故C的离心率为＝，B错误；由c2－b2＝a2－2b2＝3m－2≥0得m≥，即当≤m<1时，以F1F2为直径的圆与椭圆有公共点P，此时∠F1PF2＝90°，C正确；S△F1PF2≤cb＝≤＝，D正确．故选ACD. 三、填空题 12．[解析]　因为P，Q为C上关于坐标原点对称的两点， 且|PQ|＝|F1F2|，所以四边形PF1QF2为矩形， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则m＋n＝8，m2＋n2＝48， 所以64＝(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2＝48＋2mn， mn＝8，即四边形PF1QF2面积等于8. 13．[解析]　根据题意可得：a＝4，b＝，c＝3， 则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点F(3,0)， ∴|PB|＋|PF|＝8，即|PB|＝8－|PF|， ∵＋<1，即点A在椭圆内 |PA|＋|PB|＝|PA|－|PF|＋8≤|AF|＋8＝9， 当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立． 14．[解析]　由|AF1|＝3|AF2|，得|AF1|＋|AF2|＝4|AF2|＝2a，所以|AF2|＝，|AF1|＝，因为AF2⊥x轴，所以|AF2|2＋|F1F2|2＝|AF1|2，即＋4c2＝，所以＝，即椭圆的离心率为. 15．[解析]　设C的半焦距为c，则F(－c,0)关于直线y＝－x的对称点P的坐标为(0，c)，因为P落在C上或C内，所以b≥c，所以a2－c2＝b2≥c2，即e2＝2≤⇔e≤.又0<e<1，所以e∈. 【B级　能力提升】 1．( D )[解析]　如图，连接F1Q，由＝2，得|PF2|＝4|F2Q|，设|F2Q|＝t，则|PF2|＝4t，|PF1|＝2a－4t，|QF1|＝2a－t.由余弦定理得|QF1|2＝|PF1|2＋|PQ|2－2|PF1||PQ|cos∠F1PQ，即(2a－t)2＝(2a－4t)2＋(5t)2－2(2a－4t)×5t×，整理得t＝a，则|F1F2|＝＝＝a，故e＝＝＝. 2．( C )[解析]　由题意可得|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，所以S△MF1F2＝(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·＝，又S△MF1F2＝|F1F2|·|yM|＝c·|yM|，所以|yM|＝，又|yM|≤b，所以≤b＝，化简，得≤a2－c2，即≤a－c，解得≤，所以e的最大值为.故选C. 3．( B )[解析]　解法一：设∠F1PF2＝2θ，0<θ<， 所以S△PF1F2＝b2tan＝b2tan θ， 由cos∠F1PF2＝cos 2θ＝＝＝，解得tan θ＝， 由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝6，c2＝a2－b2＝3， 所以S△PF1F2＝×|F1F2|×|yP|＝×2×|yP|＝6×，解得y＝3， 即x＝9×＝， 因此|OP|＝＝＝.故选B. 解法二：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12②，联立①②， 解得|PF1||PF2|＝，|PF1|2＋|PF2|2＝21， 而＝(＋)， 所以|OP|＝||＝|＋|， 即||＝|＋| ＝ ＝＝.故选B. 解法三：因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝6①， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos ∠F1PF2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝12②，联立①②， 解得|PF1|2＋|PF2|2＝21， 由中线定理可知，(2|OP|)2＋|F1F2|2＝2(|PF1|2＋|PF2|2)＝42，易知|F1F2|＝2，解得|OP|＝.故选B. 4．[解析]　因为点P是椭圆C上的一点，所以|PF1|＋|PF2|＝8，又由均值不等式可得|PF1|(|PF2|＋2)≤2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|＋2，即|PF1|＝5，|PF2|＝3时等号成立． 5．[解析]　由题意椭圆C：＋＝1，M为椭圆C上任意一点， N为圆E：(x－3)2＋(y－2)2＝1上任意一点， 故|MF1|＋|MF2|＝4，|MN|≥|ME|－1，当且仅当M，N，E共线时等号成立， 故|MN|－|MF1|＝|MN|－(4－|MF2|)＝|MN|＋|MF2|－4≥|ME|＋|MF2|－5≥|EF2|－5， 当且仅当M，N，E，F2共线时等号成立， 而F2(1,0)，E(3,2)， 故|EF2|＝＝2， 即|MN|－|MF1|的最小值为2－5. 6．[解析]　(1)由题意得，e2＝＝＝， 即a2＝b2， 直线x＋y－＝0与圆x2＋y2＝b2相切得， b＝＝，∴a＝2. 故椭圆的方程是＋＝1. (2)由题意得直线l的斜率k存在且不为零，设l：y＝k(x－4)，k≠0，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点Q(x0，y0)， 联立消去y并整理得 (3＋4k2)x2－32k2x＋64k2－12＝0， x1＋x2＝， 又Δ＝(－32k2)2－4(3＋4k2)(64k2－12)>0， 解得－<k<且k≠0， x0＝＝，y＝k(x0－4)＝－， 得Q， 由l′：y－y0＝－(x－x0)， 即y＋＝－， 化简得y＝－x＋，令x＝0得＝， 解得k＝或k＝3， 由于－<k<且k≠0，故k＝， 直线l的方程为y＝(x－4)，即x－4y－4＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$