22.1.2 二次函数y＝ax²的图象和性质 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 学习目标 1．用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关. （难点） 2．掌握二次函数y=ax2的性质：能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.．（重点） 1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0) 2.下列函数中,哪些是二次函数？ ① ⑤ ④ ③ ② 复习引入 3.一次函数的图象是一条 . 4.通常怎样画一个函数的图象？ 直线 列表、描点、连线 那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图像 一、二次函数y=ax2的图象和性质 探究归纳 二次函数y=x2的性质 解析式 图像 x的范围：全体实数 y的范围：非负数 平面直角坐标系 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … … 请用描点法画二次函数y=x2的图象 9 4 1 0 1 9 4 1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值： 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y 2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标 平面中描点（x,y） 3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2 的图象． x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … … 9 4 1 0 1 9 4 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y 观察：二次函数y = x2的图象像什么？ 事实上，二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向上或者向下． 一般地，二次函数 y=ax²+bx+c （a≠0）的图象叫做抛物线y=ax²+bx+c. 二次函数 y = x2的图象形如物体抛射时所经过的路线，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 这条抛物线关于 y轴对称,y轴就是它的对称轴. 顶点坐标是（0，0） 是抛物线上的最低点. 观察思考 2 4 -2 -4 O 3 6 9 x y x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 问题1 从二次函数y=x2的图象你还发现了什么性质？ 在对称轴左侧，抛物线y=x2从左往右下降； 当x＜0时，y随x的增大而减小； 在对称轴右侧，抛物线y=x2从左往右上升 当x＞0时，y随x的增大而增大. 一、二次函数y=ax2的图象和性质 y=x2 文字语言 数学语言 图像 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 抛物线 向上 y轴 x=0 （0，0） 原点 最小值（最低点） 当x=0时， 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 二、二次项系数a的绝对值大小与开口大小的关系 解：分别填表，再画出它们的图象，如图 x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· 8 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 4.5 4.5 8 2 0.5 0 8 4.5 2 0.5 探究归纳 例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． ①开口都向上；对称轴都是y轴； 问题1 从二次函数 的图像上来看，有什么共同点和不同点？ a的值越大，开口越小. ②增减性相同：当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. ③顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最低点； 共同点： 不同点： 总结归纳 一般地，当a>0时，抛物线y＝ax2 的开口_____，对称轴是____，顶点是_____，顶点是抛物线的______， a越大，抛物线的开口_____. 向上 y轴 原点 最低点 越小 练一练：画出函数y=-x2的图象，并根据图象说出它有哪些性质？ x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … … -9 -4 -1 0 -1 -9 -4 一、二次函数y=ax2的图象和性质 y=-x2 文字语言 数学语言 图像 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 抛物线 向下 y轴 x=0 （0，0） 原点 最大值（最高点） 当x=0时， 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小. 练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象． x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ··· ··· ··· x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· ··· ··· －8 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 －4.5 －4.5 －8 －2 －0.5 0 －8 －4.5 －2 －0.5 问题2 从二次函数 的图像上来看，有什么共同点和不同点？ a的值越大，开口越小. 共同点： 不同点： ①开口都向下；对称轴都是y轴； ②增减性相同：当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. ③顶点都是原点(0，0)，顶点是抛物线的最高点； 总结归纳 一般地，当a<0时，抛物线y＝ax2的开口_____，对称轴是_____，顶点是_____，顶点是抛物线的______， a越小，抛物线的开口______. 向下 y轴 原点 最高点 越小 函数（抛物线 y＝ax2（a>0） y＝ax2（a<0） 图象 位置开 口方向 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 归纳总结 函数（抛物线 y＝ax2（a>0） y＝ax2（a<0） 对称性 顶点最值 增减性 关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0） 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 2、说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： 开口方向 对称轴 顶点 向上 向下 向下 向上 y轴 y轴 y轴 y轴 （0,0） （0,0） （0,0） （0,0） 1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象,则k的取值范围是 . k>1 ②③⑤ ① ①④ > 三、抛物线y=ax2与y=-ax2的关系 问题1 观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a>0)的关系是什么？ 二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称. x y O y=2x2 y=-2x2 课堂小结 二次函数y=ax2图象及性质 画法 描点法 以对称轴为中心对称取点 图象 抛物线 轴对称图形 性质 重点关注4个方面 开口方向及大小 对称轴 顶点坐标 增减性 $$