22.1.1 二次函数 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

问题引入 1.二次函数的一般形式是 ； 若其中的b=0,c=0，则该解析式为 ； 此时自变量x的取值范围是 . 让我们不妨从一个具体的函数 y=x2开始吧！ x取任意实数 2.图像是研究函数的重要工具，那么函数 的图像是怎样的呢？ 初探——猜想、验证 1.用什么方法画一次函数 y=x 的图像？它的图像是什么？ 3.函数 y=x2 的图像可能是直线、双曲线吗？你是怎么判断的？ 用描点法，描出两点连线. 它的图像是直线. 用描点法，在一、三象限内各描出六点分别连线. 它的图像是双曲线. 不可能 取点（0,0）、（1,1） 画直线，函数中的第三个点（2,4）不在该直线上，所以函数的图像不是直线线.用同样的方法说明函数的图像不是双曲线. 因为反比例函数中自变量x不能取0，而函数中的自变量能取0，因此函数的图像不是双曲线. 因为一次函数、反比例函数的函数值能取到负数，而函数的函数值只有非负数，所以函数的图像既不是直线，也不是双曲线. 2.用什么方法画反比例函数 的图像？列表时，x能 取任意值吗？它的图像是什么？ 再探——列表、交流 活动一：列表. x y=x² 讨论：列表取x值时有哪些注意点？ 例1　画出函数y＝x2的图像． 2、从小到大排列，均匀对称； 3、两端须用省略号表示； 4、还要便于计算和画图. 1、取x值时不漏0； x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ... 三探——操作、展示 例1　画出函数y＝x2的图像． 活动二:描点、连线. x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ... y＝x2 事实上，我们可以描出更多的点，点越密集越接近准确的图像，我们把这种曲线称为抛物线. 你能画出y=-x2的图像吗? 写坐标，以表中各对x、y的值为点的坐标。 x y 0 -6 -4 -2 2 4 6 6 4 2 -2 y=x2 y=-x2 -4 -6 归纳总结 4、观察二次函数图像有什么共同的特征? 1、它们的图像的形状都是抛物线。 2、这些抛物线都是轴对称图形 ,关于y轴对称（即y轴是对称轴）。 3、抛物线和对称轴的交点我们叫做抛物线的顶点。 例如:二次函数y=x2与y=-x2的图象的 对称轴都是y轴,顶点都是(0,0)。 质疑展示 活动三: 下面是两个同学画的y =x2的图像,你认为他们的作图错在哪里? y＝x2 y＝x2 （1） （2） 无延伸方向 光滑曲线 知识应用 在平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图像. 合作探究 图像都是抛物线，对称轴均为y轴，顶点都在原点（0，0）． 当 时， 当 时， 抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点． 抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点． 归纳总结 二次函数y＝ax²的图像，大致是什么样？ 思考：对于a取任意非0实数时 归纳特征 　　1．二次函数y＝ax²的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴． 　　2．当a＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点． 　　3．当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点． 观察y＝ax²的图像，你还能发现什么？ 思考与观察 a＞0时，y轴左边的图像下降，y轴右边的图像上升. a＜0时，y轴左边的图像上升，y轴右边的图像下降. 如何用x、y的值的变化来描述图像的上升、下降？ 思考与观察 a＞0时，由y轴左边（ ）的图像下降可以知道： a＜0时，由y轴左边（ ）的图像上升可以知道： 图像“上升”可以用“x增大时，y也增大”来描述。 图像“下降”可以用“x增大时，y减小”来描述。 当x＜0时，随着x增大y减小。 当x＜0时，随着x增大y增大。 归纳总结 （1）a＞0时， 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大； 当x＝0时，y的值最小，最小值是0。 （2）a＜0时， 当x＜0时，y随x的增大而增大； 当x＞0时，y随x的增大而减小； 当x＝0时，y的值最大，最大值是0。 二次函数y＝ax²的图像性质： 类比概括 向上 向下 (0 ,0) (0 ,0) y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 当x<0时， y随着x的增大而减小; 当x>0时， y随着x的增大而增大。 当x<0时, y随着x的增大而增大; 当x>0时， y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 （1）y＝－3x² （2）y＝0.6x² （3）y＝0.75x² （4）y＝－100x² 巩固提升 说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最值 拓展延伸 解：（1）由题意知：m－1＜0且m²＋m＝2，则m＝－2。 　　（2）当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小。 　　已知二次函数　　 的图像开口向下。 　　（1）求m的值和函数表达式。 　　（2） 若y随x的增大而增大，求x的取值范围；若y随x的增大而减小呢？ 本节课我们学习了什么？你还有什么疑问？ 小结反思 共勉 数缺形时少直观， 形少数时难入微， 数形结合百般好， 隔离分家万事休. --华罗庚 $$