上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期数学周测（2024.09）

南洋模范2024学年第一学期高三年级数学周测 2024.09 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.定义集合运算:.已知集合,则集合有 个真子集. 2.函数的定义域为 . 3.已知实数满足,且,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 4.数在上可导,若,则 . 5.已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 . 6.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则 . 7.已知函数（且,若函数的值域是,则实数的取值范围是 . 8.已知函数,若函数在区间上存在极值,则实数的取值范围为 . 9.已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为 . 10.若函数在上的最小值为1，则正实数的值为 . 11.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 12.已知函数，若函数在有6个不同的零点，则实数的取值范围是 . 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13.已知，那么下列不等式成立的是（ ）. A. B. C. D. 14.命题："函数在区间上单调递增"是命题：""的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 15.已知定义在R上的函数满足均有,则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 16.已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 三、解答题(共5道大题，共76分) 17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 已知集合，全集. (1)当时，求; (2)若""是""的必要条件，求实数的取值范围。 18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立,求实数的取值范围。 19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用。某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了"爱眼护眼"有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答。已知该班学生甲答对A组题的概率均为，答对组题的概率均为。假设学生甲每道题是否答对相互独立。 (1)求学生甲恰好答对3道题的概率； (2)设学生甲共答对了道题,求的分布列及数学期望. 20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分) 已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切。 (1)求的方程; (2)设点是椭圆上关于轴对称的两点,交于另一点, ①证明：直线经过定点；②求的内切圆半径的范围. 21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分)已知函数,其中. (1)证明:当时,; (2)若时,有极小值,求实数的取值范围; (3)对任意的恒成立,求实数的取值范围. 南洋模范2024学年第一学期高三年级数学周测 2024.09 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1.定义集合运算:.已知集合,则集合有 个真子集. 【答案】15 【解析】因为, 所以,则集合有个真子集.故答案为:15 2.函数的定义域为 . 【答案】 【解析】令,解得,故定义域为. 3.已知实数满足,且,若关于的不等式恒成立,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】，则同号，又，则只能同正. ,变形得到.则. 当且仅当，且，则取等号. 由于恒成立，则，解得. 4.数在上可导,若,则 . 【答案】12 【解析】根据导数定义可 5.已知是定义域为的函数的导函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】设, 所以函数在上单调递减，， 即,得，所以,所以不等式的解集为. 6.若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【解析】由得， 所以曲线在原点处的切线为。由得， 设切线与曲线相切的切点为。 由两曲线有公切线得，解得,则切点为. 因为切点在切线上,所以. 7.已知函数（且,若函数的值域是,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时,,函数在上单调递增,在上单调递减,所以,即;若函数的值域是,则时,.当时,在上单调递增, 此时,不合题意;当时,在上单调递减,此时,即,则,所以, 显然,解得,又,所以.综上所述,实数的取值范围是. 8.已知函数,若函数在区间上存在极值,则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意得：, 若函数在区间上存在极值,则在上有变号零点, 或,解得:, 9.已知函数的单调减区间是，过点存在与曲线相切的3条切线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】设函数，可得， 根据题意，可得的解集为， 可得且，解得，即 设点是过点A的直线与曲线的切点， 则点处的切线方程为，即， 因为切线过点,可得,又因为存在三条切线, 所以方程有三个实根，设， 只需函数有3个零点，又由，令，解得或， 当时，单调递增；当时，单调递减； 当时，单调递增，所以当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 要使得函数有3个零点，则满足，解得， 10.若函数在上的最小值为1，则正实数的值为 . 【答案】 【解析】由题可得， 因为函数在[0,2]上的最小值为1, 当时,在上,在单调递减,单调递增, 所以,解得（舍）； 当时，在上在单调递减，单调递增， 所以，解得（舍）； 当时，在［0,2]上，在单调递减，单调递增， 所以，解得。 11.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】令，设， 则对任意的恒成立， 所以在上单调递增,从而。 ①若，则当时，恒成立，符合题意. ②若,易知在上单调递增, 因为，所以，所以，即， 所以 因为,所以，所以。 因为在上单调递增,其图象是一条连续的曲线,且，所以存在唯一的，使得，当时,，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为。 12.已知函数，若函数在有6个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【解析】当时,, 当时,, 画出函数图象，如图所示： 函数在有6个不同零点有以下四种可能： ①方程有两个不同的实根和且方程有两个根， 且方程有四个不同的实根，由函数的图象知，且， 令,则需，解得； ②方程有两个不同的实根和且方程有零个根， 且方程有六个不同的实根，函数的图象知， 且，由于，则需，解得； ③方程有两个不同的实根和且方程有1个根， 且方程有5个实根成立，则需，此时无解； ④方程有且只有1个根且方程有6个根, 计算得或或，不合题意； 综上所述：或. 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13.已知，那么下列不等式成立的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 14.命题："函数在区间上单调递增"是命题：""的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】命题在内单调递增,则, 即在上恒成立,令,由于，则，则的 最小值为0，则必有，所以是的充分不必要条件，故选A。 15.已知定义在R上的函数满足均有,则不等式的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设，则，其定义域为R，定义域关于原点对称，故为R上的奇函数， 不妨设，故，即， 故为上的增函数，故为R上的增函数. 又， 故即，所以，故， 故原不等式的解集为.故选：B。 16.已知函数，若对于定义域内的任意实数，总存在实数使得，则实数的取值范围为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题意可知，的定义域为，因为对于定义域内的任意实数, 总存在实数使得,所以函数在上没有最小值, , 当时,当时,;当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减. 当时，取得最大值为， 值域为在内无最小值,因此. 当时,令,当时,; 当时,;所以在上单调递增,在上单调递减。 当时,取得最大值为,显然,即, 在同一坐标系内作出直线与函数的图象,如图所示 当时,有两个根, 不妨设, 当或时,; 当或时,; 所以在和上单调递减,在和上单调递增. 所以在与处都取得极小值,,不符合题意, 当时，，当且仅当时取到等号， 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得最小值为，不符合题意，综上所述，实数的取值范围为，故选D. 三、解答题(共5道大题，共76分) 17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 已知集合，全集. (1)当时，求; (2)若""是""的必要条件，求实数的取值范围。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当时，集合，则或， 所以。 （2）若""是""的必要条件，则，因为， 则，可知，可得,解得, 所以实数的取值范围. 18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立,求实数的取值范围。 【答案】（1） （2） 【解析】(1)因为,所以, 当时,,，故， 所以曲线在点处的切线方程为，即 （2）由（1）得，因为，所以由，得，所以当时，单调递减；当时，单调递增；所以， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 良好的用眼习惯能够从多方面保护眼睛的健康，降低近视发生的可能性，对于保护青少年的视力具有不可替代的重要作用。某班班主任为了让本班学生能够掌握良好的用眼习惯，开展了"爱眼护眼"有奖知识竞赛活动，班主任将竞赛题目分为两组，规定每名学生从两组题目中各随机抽取2道题作答。已知该班学生甲答对A组题的概率均为，答对组题的概率均为。假设学生甲每道题是否答对相互独立。 (1)求学生甲恰好答对3道题的概率； (2)设学生甲共答对了道题,求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】(1)学生甲恰好答对3道题有以下两种情况: 第一种情况是学生甲答对A组的2道题和组的1道题, 其概率; 第二种情况是学生甲答对A组的1道题和组的2道题, 其概率. 故学生甲恰好答对3道题的概率. （2）由题意可知的所有可能取值为, , ，由（1）可知，则的分布列为 故. 20.（本题满分16分.本题共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分) 已知椭圆左焦点为，离心率为，以坐标原点为圆心，为半径作圆使之与直线相切。 (1)求的方程; (2)设点是椭圆上关于轴对称的两点,交于另一点, ①证明：直线经过定点；②求的内切圆半径的范围. 【答案】（1） （2）①见解析 ② 【解析】(1)依题意,解得,所以的方程为. （2）①因为不与轴重合，所以设的方程为， 设点，则 联立,得, 则 因为点三点共线且斜率一定存在，所以， 所以，将，代入化简可得，故，解得，满足 所以直线过定点，且为椭圆右焦点 ②设所求内切圆半径为，因为， 所以 令,则,所以， 因为,对勾函数在上单调递增，所以,则。 所以内切圆半径的范围为. 21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数,其中. (1)证明:当时,; (2)若时,有极小值,求实数的取值范围; (3)对任意的恒成立,求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】(1)因为,则对任意恒成立, 可知在内单调递减,则,所以当时,. （2）因为，则, 令,则对任意恒成立, 可知在内单调递增,则, 当,即时,则对任意恒成立, 即,可知在内单调递增,无极值,不合题意; 当,即时,则在内存在唯一零点, 当时,,即；当时，， 即；可知在内单调递减,在内单调递增, 可知存在极小值,符合题意;综上所述:实数的取值范围为. （3）令, 则,原题意等价于对任意恒成立,且, 则,解得,若,因为,则, 则,可知在内单调递增,则,即符合题意; 综上所述:实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$